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第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)


第二届(2010 年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案 (非数学类)
(150 分钟) 一、 (25 分,每小题 5 分) (1)设 xn ? (1 ? a )(1 ? a ) ? (1 ? a ), 其中 | a |? 1, 求 lim xn .
2 2n

n ??

? 1? (2)求 lim e ?1 ? ?

。 x ?? ? x?
?x

x2

(3)设 s ? 0 ,求 I ?

?

?

0

e? sx xn dx(n ? 1, 2,?) 。
?2 g ?2 g ?1? x 2 ? y 2 , g ( x, y ) ? f ? ? ,求 2 ? 2 。 ?x ?y ?r?

(4)设函数 f (t ) 有二阶连续导数, r ?

(5)求直线 l1 : ?

?x ? y ? 0 x ? 2 y ?1 z ? 3 与直线 l2 : 的距离。 ? ? 4 ?2 ?1 ?z ? 0
2 2n 2 2n

解: (1) xn ? (1 ? a )(1 ? a ) ? (1 ? a ) = xn ? (1 ? a)(1 ? a)(1 ? a ) ? (1 ? a ) / (1 ? a) = (1 ? a )(1 ? a ) ? (1 ? a ) / (1 ? a) = ? = (1 ? a
2 2 2n 2n?1

) / (1 ? a)

? lim xn ? lim(1 ? a2 ) / (1 ? a) ? 1/ (1 ? a)
n?? n??
ln e ? x (1? ) x x 2 ln(1? ) ? 1? x x ? lim e (2) lim e ? 1 ? ? ? lim e x ?? x ?? x ?? x? ? ?x 1
2

n?1

x2

1

?x

令 x=1/t,则
(ln(1? t ) ?t )

原式= lim e
t ?0

t2

? lim e
t ?0

1/(1? t ) ?1 2t

? lim e
t ?0

?

1 2(1?t )

?e

?

1 2

? ? 1 ? 1 I n ? ? e ? sx x n dx ? (? ) ? x n de ? sx ? (? )[ x n e ? sx |? ? ? e ? sx dx n ] ? 0 0 0 s 0 s (3) n ? ? sx n ?1 n n(n ? 1) n! n! ?0 e x dx ? s I n?1 ? s 2 I n?2 ? ? ? s n I 0 ? s n?1 s

(4)略(不难,难得写) (5)用参数方程求解。答案好像是 14 二、 (15 分)设函数 f ( x) 在 (??, ??) 上具有二阶导数,并且

f ??( x) ? 0, lim f ?( x) ? ? ? 0, lim f ?( x) ? ? ? 0, 且存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 。
x ??? x ???

证明:方程 f ( x) ? 0 在 (??, ??) 恰有两个实根。 解: (简要过程) 二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为 f(x)有小于 0 的值,所以只需在两边 找两大于 0 的值。 将 f(x)二阶泰勒展开

f ( x) ? f (0) ? f ' (0) x ?

f '' (? ) 2 x 2

因为二阶倒数大于 0,所以
x ???

lim f ( x) ? ?? , lim f ( x) ? ??
x ???

证明完成。

? x ? 2t ? t 2 (t ? ?1) 所确定,其中? (t ) 具有二阶 三、 (15 分)设函数 y ? f ( x) 由参数方程 ? ? y ? ? (t )
导数,曲线 y ? ? (t ) 与 y ?

?

t2

1

e?u du ?
2

3 在 t ? 1 出相切,求函数? (t ) 。 2e

t2 2 d2y ? 3 解: (这儿少了一个条件 2 ? )由 y ? ? (t ) 与 y ? ? e?u du ? 在 t ? 1出相切得 1 dx 2e

? (1) ?

3 2 ' ,? (1) ? 2e e

dy dy / dt ? ' (t ) ? ? dx dx / dt 2 ? 2t

d 2 y d (dy / dx) d (dy / dx) / dt ? '' (t )(2 ? 2t ) ? 2? ' (t ) ? ? =。。 。 ? dx dx / dt (2 ? 2t )3 dx 2
上式可以得到一个微分方程,求解即可。 四、 (15 分)设 an ? 0, S n ?
??

? a , 证明:
k ?1 k

n

(1)当 ? ? 1 时,级数

? S?
n ?1 n

an

收敛;
??

(2)当 ? ? 1且 sn ? ?(n ? ?) 时,级数 解: (1) an >0, sn 单调递增 当

? S?
n ?1 n

an

发散。

?a
n ?1

?

n

收敛时,?

an an an a ? ? ,而 ? 收敛,所以 n 收敛; ? sn s1 s1 sn?



?a
n ?1

?

n

发散时,

lim sn ? ?
n ??

?

sn dx sn dx an sn ? sn ?1 ? ?? ?? ? ? ? sn?1 s sn?1 x? sn sn n

所以,

? sn dx sn dx an a1 a1 ? ? ??? ? s ? s n?2 sn?1 x? ? s ? ? ?s1 x? n ?1 n 1 1

?



?

sn

s1

s 1?? ? s11?? a1 s 1?? dx a1 ? ? ? lim n ? ? ? 1 ? k ,收敛于 k。 x? s1 n?? 1 ? ? s1 ? ? 1

所以,

? s ? 收敛。
n ?1 n
n ??

?

an

(2)? lim sn ? ?

所以

? an 发散,所以存在 k1 ,使得 ? an ? a1
n ?1
n?2

?

k1

a k1 an an ? n 1 2 ? ? 于是, ? ? ? ? sk1 2 2 sn 2 sn
k1

k1

依此类推,可得存在 1 ? k1 ? k2 ? ... 使得

?s?
ki n

ki ?1

an

?

1 成立 2
1 2

所以

?s?
1 n

kN

an

?N?

当 n ?? 时, N ? ? 所以

? s ? 发散
n ?1 n
2 2 2

?

an

五、 (15 分)设 l 是过原点、方向为 (? , ? , ? ) , (其中 ? ? ? ? ? ? 1) 的直线,均匀椭球

x2 y 2 z 2 ? ? ? 1 ,其中( 0 ? c ? b ? a, 密度为 1)绕 l 旋转。 a 2 b2 c 2
(1)求其转动惯量;

(2)求其转动惯量关于方向 (? , ? , ? ) 的最大值和最小值。 解: (1)椭球上一点 P(x,y,z)到直线的距离

d 2 ? (1 ? ? 2 ) x 2 ? (1 ? ? 2 ) y 2 ? (1 ? ? 2 ) z 2 ? 2?? xy ? 2?? yz ? 2?? zx

? ??? xydV ? ??? yzdV ? ??? zxdV ? 0
? ? ?
2 2 ??? z dV ? ? z dz ? ?c c

x2 a

? 2

y2 b

??
?1? 2

z2 c2

dxdy ? ? ? ab(1 ?
?c

c

z2 2 4 ) z dz ? ? abc3 2 c 15

由轮换对称性,

??? x dV ? 15 ? a bc, ??? y dV ? 15 ? ab c
2 3 2 3 ? ?

4

4

I ? ??? d 2 dV ? (1 ? ? 2 )
?

4 4 4 ? a3bc ? (1 ? ? 2 ) ? ab3c ? (1 ? ? 2 ) ? abc3 15 15 15

4 ? abc[(1 ? ? 2 )a 2 ? (1 ? ? 2 )b2 ? (1 ? ? 2 )c 2 ] 15 (2)? a ? b ? c 4 ?当 ? ? 1 时, I max ? ? abc(a 2 ? b 2 ) 15 4 当 ? ? 1 时, I min ? ? abc(b 2 ? c 2 ) 15 ?
六、(15 分)设函数 ? ( x) 具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 C 上,曲线 积分

? ?
c

2 xydx ? ? ( x)dy 的值为常数。 x4 ? y 2
2 2

(1)设 L 为正向闭曲线 ( x ? 2) ? y ? 1, 证明 (2)求函数 ? ( x) ;

? ?
c

2 xydx ? ? ( x)dy ? 0; x4 ? y 2

(3)设 C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求 解:

? ?
c

2 xydx ? ? ( x)dy 。 x4 ? y 2

(1) L 不绕原点,在 L 上取两点 A,B,将 L 分为两段 L1 , L2 ,再从 A,B 作一曲线 L3 , 使之包围原点。 则有

? ?
L

2 xydx ? ? ( x)dy 2 xydx ? ? ( x)dy 2 xydx ? ? ( x)dy ? ? 4 2 ?L x 4 ? y 2 ? ?? ? x ?y x4 ? y 2 L1 ? 3 L ?L
2 3

(2) 令 P ?

2 xy ? ( x) ,Q ? 4 2 x ?y x ? y2
4

由(1)知

?Q ?P ? ? 0 ,代入可得 ?x ?y

? ' ( x)( x 4 ? y 2 ) ? ? ( x)4 x3 ? 2 x5 ? 2 xy 2
上式将两边看做 y 的多项式,整理得

y 2? ' ( x) ? ? ' ( x) x 4 ? ? ( x)4 x3 ? y 2 (?2 x) ? 2 x5
由此可得

? ' ( x) ? ?2 x

? ' ( x) x 4 ? ? ( x)4 x3 ? 2 x5
解得: ? ( x) ? ? x
4
2

(3) 取 L' 为 x ? y ? ? ,方向为顺时针
2 4

?

?Q ?P ? ?0 ?x ?y
2 xydx ? ? ( x)dy 2 xydx ? ? ( x )dy 2 xydx ? ? ( x )dy ? ? 4 2 ? ' x4 ? y 2 ? ? x4 ? y 2 ?? x ?y c? L L'
L' ?

?? ?
c

?

1

?

4

? 2 xydx ? x dy ? ? ?
2

(最后一步曲线积分略去,不知答案对不对)


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