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2015年高一上学期期末考试数学试卷及答案


2015 年高一上学期期末考试数学试卷
第Ⅰ 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1. 设集合 U ? ?1,2,3,4,5? , A ? ?1,2,3?, B ? ?2,5? ,则 A A. ?2? 2.函数 B.

?CU B? ?
D. ?1,3?

/>( )

?2,3?

C. ?3? )

f ( x) ?

1 ? 2 ? x 的定义域为( x ?1
B. ? ?2,1?

A. [?2, ??)

?1, ???

C. R

D.

? ??, ?2?

3.下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A. y ? x与y ? C. y ?
3

x2

B. y ? 2 lg x与y ? lg x 2 D. y ? x ? 1与y ?

x 3 与y ? x

x2 ?1 x ?1
4 ,则 x 的值为( ) 5
D. ? 4 )

4.已知点 P( x,3) 是角 ? 终边上一点,且 cos ? ? ? A.5 B. ?5 C.4

5.已知 a ? 0.7 0.8 , b ? log2 0.8, c ? 1.10.8 ,则 a , b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c 6.设函数 y=x 与 y ? ( )
3

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b D. b ? c ? a )

1 2

x?2

的图像的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( C.(2,3) D.(3,4)

A.(0,1)

B.(1,2)

7.已知 tan ? ? 3 ,则 2 sin 2 ? ? 4 sin ? cos? ? 9 cos2 ? 的值为( )

A.

1 30

B.

1 3

C.

21 10

D. 3

8.若两个非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ? 2 a ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角是( )

A.

9.已知函数 y ? f ( x) 是 ( ?1,1) 上的偶函数,且在区间 (?1,0) 是单调递增的, A, B, C 是锐角 ?ABC 的三个内角,则下列不等式中一定成立的是( )

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

A. f (sin A) ? f (cos A) C. f (cosC ) ? f (sin B)

B. f (sin A) ? f (cosB) D. f (sin C ) ? f (cosB)

1

10 . 已 知 函 数 f ( x) ? x ? [ x], x ? R , 其 中 [ x ] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 如 ? ? ? ? ?2 , 2

? 3? ? ?

?5? [?3] ? ?3, ? ? ? 2 ,则 f ( x) 的值域是( ) ?2?
A. (0,1) B. (0,1] ) C. [0,1) D. [0,1]

11. 函数 y ? 2 x ? x 2 的图像大致是 (

A

B

C

D
2

12.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ?x ? 6? ? f ?x?,当 ? 3 ? x ? ?1 时, f ( x) ? ??x ? 2? ; 当

? 1 ? x ? 3时,f ( x) ? x, 则f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2012 ) ?(
A.335 B.338 C.1678 D.2012



第 II 卷(非选择题 , 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 13.已知 tan ? ? 2 ,则 cos 2? ? 14.已知函数 f ( x) ? ? .

?3x , x ? 1

, ,若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ? ? x, x ? 1
? 个单位得到图像的函数解析是 6


15.把函数 y=3sin2x 的图象向左平移 16.有下列五个命题: ① 函数 f ( x) ? a
x ?1

? 3 (a ? 0, a ? 1) 的图像一定过定点 P(1, 4) ;

② 函数 f ( x ? 1) 的定义域是 (1, 3) ,则函数 f ( x ) 的定义域为 (2, 4) ; ③ 已知 f ( x) = x ? ax ? bx ? 8 ,且 f (?2) ? 8 ,则 f (2) ? ?8 ;
5 3

④ 函数 y ? log 1 ( ? x 2 ? 2 x ? 3) 的单调递增区间为 (?1, ? ?) .
2

其中正确命题的序号是__________. (写出所有正确命题的序号)

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知集合 A = x 1 ? x ? 7 , B ? x 2 ? x ? 10 , C ? x x ? a ,全集 U ? R . (1)求

?

?

?

?

?

?

A ? B ; (CU A) ? B .

(2)如果 A ? C ? ? ,求 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 已知 A, B, C 的坐标分别为 A(3,0) , B(0,3) , C (cos? , sin ? ) , ? ? ( (1)若 | AC |?| BC |, 求角 ? 的值; (2)若 AC ? BC ? ?1, 求

? 3?
2 , 2

)

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan?

19.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? x ?16 x ? q ? 3 :
2

(1) 若函数的最小值是-60,求实数 q 的值; (2) 若函数在区间 ??1,1? 上存在零点,求实数 q 的取值范围.

3

20.(本小题满分 13 分) 辽宁号航母纪念章从 2012 年 10 月 5 日起开始上市. 通过市场调查, 得到该纪念章每 1 枚的市场价 y (单位:元)与上市时间 x (单位:天)的数据如下: 上市时间 x 天 市场价 y 元 4 90 10 51 36 90

(1)根据上表数据结合散点图, 从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系并说明理由:① y ? ax ? b ;② y ? ax2 ? bx ? c ;③ y ? a logb x . (2)利用你选取的函数,求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.

21.(本小题满分 13 分) 已知: a ? (2 cos x, sin x) , b ? ( 3 cos x,2 cos x) ,设函数 f ( x) ? a ? b ? 3( x ? R) 求: (1) f ( x ) 的最小正周期; (2) f ( x ) 的单调递增区间; (3)若 f (

?

? ? ? ? ? ) ? f ( ? ) ? 6 ,且 ? ? ( , ? ) ,求 ? 的值. 2 2 6 2 12

22.(本小题满分 14) 设函数 f ( x) ? log 2

x ?1 ? log 2 ? x ? 1? ? log 2 ? p ? x ? . x ?1

(1)求函数的定义域; (2)当 p ? 3 时,问 f ? x ? 是否存在最大值与最小值?如果存在,请把它写出来;如果不存在,请 说明理由.

4

2015 年高一上学期期末考试数学试卷
一、选择题: 1-5 DBCCD 6-10 BCCCC 11-12 AB 二、填空题: 13.

?

3 5

14. log3 2

15.y=3sin(2x+ ) 16.①

三、解答题: 17. ①A

B ? B ? ? x 1 ? x ? 10? , CR A ? ? x x ? 1或x ? 7? --3 分 B ? ? x 7 ? x ? 10? ; (2) ?1, ?? ?

所以 C R A

18. (1)? AC ? (cos? ? 3, sin ? ), BC ? (cos? , sin ? ? 3)

? AC ? (cos? ? 3) 2 ? sin 2 ? ? 10 ? 6 cos? , BC ? cos2 ? ? (sin ? ? 3) 2 ? 10 ? 6 sin ?
由 AC ? BC 得 sin ? ? cos ? ,又? ? ? (

? 3?
2 , 2

),?? ?

5? 4

(2)由 AC ? BC ? ?1 得 (cos? ? 3) cos? ? sin ? (sin ? ? 3) ? ?1

? sin ? ? cos ? ?

2 ① 3

2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? ? 2 sin ? cos? sin ? 1 ? tan? 1? cos?
又由①式两分平方得 1 ? 2 sin ? cos ? ?

4 9

5 2 sin 2 ? ? sin 2? 5 ? 2 sin ? cos ? ? ? , ?? 9 1 ? tan? 9

19. (Ⅰ )

f ? x ?min ? f ? 8? ? ?61 ? q ? ?60 ? q ? 1;
2

(Ⅱ )∵二次函数 f ( x) ? x ?16 x ? q ? 3 的对称轴是 x ? 8 ∴函数 f ( x ) 在区间 ??1,1? 上单调递减 ∴要函数 f ( x ) 在区间 ??1,1? 上存在零点须满足 f (?1) ? f (1) ? 0

5

即 (1 ? 16 ? q ? 3) ? (1 ? 16 ? q ? 3) ? 0 解得 ?20 ? q ? 12

20. (1)∵随着时间 x 的增加, y 的值先减后增,而所给的三个函数中 y ? ax ? b 和 y ? a logb x 显 然都是单调函数,不满足题意, ∴ y ? ax2 ? bx ? c . (2)把点(4,90),(10,51),(36,90)代入 y ? ax 2 ? bx ? c 中,

?16a ? 4b ? c ? 90 ? 得 ?100a ? 10b ? c ? 51 ?1296a ? 36b ? c ? 90 ?
错误!未找到引用源。解得 a ? 找到引用源。 ∴y?

1 , b ? ?10 , c ? 126 4

错误!未

1 2 1 x ? 10 x ? 126 ? ( x ? 20) 2 ? 26 , 4 4

∴当 x ? 20 时, y 有最小值 ymin ? 26 . 21.解 f ( x) ? a ? b ? 3 ? 2 3 cos2 x ? 2 sin x cos x ? 3

? sin 2 x ? 3 (2 cos 2 x ? 1) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ) 3 2? ?? (1)函数 f(x)的最小正周期为 T ? 2 ? ? ? 5? ? ? x ? k? ? , k ? Z (2)由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z 得 k? ? 2 3 2 12 12 5 ? ? ? 函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z 12 12
(3)? f ?

?

?? ? ? ?? ? ? ? ? ? f ? ? ? ? 6 ,? 2 sin ? ? 2 cos? ? 6 ?2 6? ? 2 12 ?

?? ?? 3 ? ? ? 3? ? ? ? ?? ? ? 2 2 sin?? ? ? ? 6 ,?sin?? ? ? ? ,?? ? ? , ? ?,?? ? ? ? , ? 4? 4? 2 4 ?4 4 ? ? ? ?2 ?
?? ?
4 ?

?
3



2? 7? 11? , ?? ? 或 … 3 12 12

6

? x ?1 ? x ?1 ? 0 ? ?x ? 1 22.解: (1)由 ? x ? 1 ? 0 解得 ? ① x ? p ? ?p? x ? 0 ? ?
当 p ? 1 时,①不等式解集为 ? ; 当 p ? 1 时,①不等式解集为 x 1 ? x ? p ,? f ? x ? 的定义域为 ?1, p ?? p ? 1? .
2 2 ? ? p ? 1 ? ? p ? 1? ? (2)原函数即 f ? x ? ? log 2 ? ?, ?? x ? 1?? p ? x ? ? ? ? log 2 ? ? ? x ? 2 ? ? 4 ? ? ? ? ? ?

?

?

即 p ? 3 时,函数 f ? x ? 有最大值 2log2 ? p ?1? ? 2 ,但无最小值

7


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