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《抛物线的几何性质》课件(新人教选修2-1).


抛物线的几何性质
第一课时

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类比探索
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质: (1)范围 x≥0,y∈R

(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. (3)顶点
抛物线和它的轴的交点.

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(4)离心率

始终为常数1 |PF|=x0+p/2

y

P

(5)焦半径
(6)通径

O

F

x

通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相 交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。

通径的长度:2P 思考:通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗?
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特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线 ; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.

P越大,开口越开阔
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图 形
y
l O F

方程

焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴

e

y2 = 2px p p F ( , 0 ) x?? x (p>0) 2 2
l

y
F O

y2 = -2px p p F ( ? ,0) x ? 2 x(p>0) 2 x2 = 2py p p F (0, ) y ? ? 2 2 x (p>0) x2

y∈R
(0,0) 1 y≥0 x∈R y轴 y≤0

y
O

F

l

y
O F

= -2py F (0,? p ) y ? p 2 x(p>0) 2

l

x∈R
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例题
例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, ?2 2)的抛物线有几条,求它的标准方程, 当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为 y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论 例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.

焦点弦的长度
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练习:1.过抛物线 y2 = 8x 的焦点,作倾斜角为450

的直线,则被抛物线截得的弦长为
2.过抛物线的焦点做倾斜角为 ? 的直线L,设 L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求|AB| 的最小值.

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方程
图 形 范围

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y l
x

x2 = 2py (p>0) y
F x

x2 = -2py (p>0) y
x l

(p>0) y
l O F

l x

F

O

O

O

F

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0
关于y轴对称

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )
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焦点弦 的长度

p ? x1 ? x2

p ? ( x1 ? x2 )

p ? y1 ? y2

例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点, 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
y

A

F
O D B

x

练习:P68 T3
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例、正三角形的一个顶 点位于坐标原点,另外 两个顶点在抛物线 y 2 ? 2 px(p ? 0 )上,求这个 正三角形的边长 .
y A

O
B

x

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解:如图,设正三角形 OAB的顶点A、B在抛物 线上,且坐标分别为( x1,y1 )、(x2,y2 ),则 y12 ? 2 px1,
2 1 2 2 2 y2 ? 2 px2 . 2 2 又 | OA |?| OB | ,所以:x12 ? y12 ? x2 ? y2 ,

即:x ? x ? 2 px1 ? 2 px2 ? 0, ? (x1 ? x2 )(x1 ? x2 ? 2 p) ? 0. ? x1 ? 0,x2 ? 0, 2 p ? 0, ? x1 ? x2 . 由此可得 | y1 |?| y2 | ,即线段AB关于x轴对称.
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因为x轴垂直于AB,且?AOx ? 30 ,所以
o

y1 3 o ? t an30 ? . x1 3 y ? x1 ? , 2p ? y1 ? 2 3 p. ? | AB |? 2 y1 ? 4 3 p.
2 1

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等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P>0),O 为抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为 A. 8p2 B. 4p2 C. 2p2 D. p2

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1、已知抛物线的顶点在原点,对称

轴为x轴,焦点在直线3x-4y-12=0上,那
么抛物线通径长是

16

.

2、一个正三角形的三个顶点,都在抛
物线

y ? 4x 上,其中一个顶点为坐标
2

原点,则这个三角形的面积为 48 3 。

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例 2 、已知直线 l : x=2p 与抛物线 y 2 =2px(p>0) 交于 A 、 B 两点, y 求证:OA⊥OB. y2=2px A 证明:由题意得,A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 KOA =1,KOB =-1 因此OA⊥OB 推广 1 若直线 l 过定点 (2p,0) 且与抛物线 两点,求证:OA⊥OB. 证明:设l 的方程为y=k(x-2p) 或x=2p 代入y2=2px得, k 2 x 2 ? (4 pk2 ? 2 p) x ? 4 p 2k 2 ? 0 2 x ? x ? 4 p 可知 A B 2 2 又 yA ? yB ? 4 p 2 xA xB ? 16 p 2
O

C(2p,0) B
L:x=2p

x

y

2

=2px(p>0) 交于 A 、 B
y

A

y2=2px

O

C(2p,0)

x

? y A ? yB ? ?4 p 2 ? xA xB ? y A yB ? 0
所以OA⊥OB.

B
l

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2 y 推广2: 若直线l与抛物线 =2px(p>0)交于A、B两点,且OA⊥OB , 直线l过定点(2p,0) 则__________

验证:由

?

y2 A ? 2 px A 2 yB ? 2 px B



k AB

y A ? yB 2p ? ? x A ? xB y A ? yB

2p 2p y A yB ( x ? xA ) 即 y ? (x ? ) 所以直线l的方程为 y ? y A ? y A ? yB y A ? yB 2p 2 而因为OA⊥OB ,可知 xA xB ? y A yB ? 0 推出 y A yB ? ?4 p ,代入

2p ( x ? 2 p) 得到直线l 的方程为 y ? y A ? yB
所以直线过定点(2p,0).

y

A y2=2px
C(2p,0)
x

O

B
l

高考链接:过定点Q(2p,0)的直线与y2 = 2px(p>0)交于相异两点A、B,以
线段AB为直径作圆H(H为圆心),试证明抛物线顶点在圆H上。
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小结:
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、

离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 焦点坐标及解决其它问题;

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