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函数的概念(1)新课


函数的概念
(第一课时)

区间的概念

区间的概念
设a,b是两个实数,且a<b,
定义 名称 符号 [a,b] ________ (a,b) ________ [a,b) ________ 几何表示

{x|a≤x≤b} 闭区间 {x|a<x<b} 开区间 左闭右 开区间 左开右 闭区间

{x|a≤x<b}

{x|a<x≤b}

(a,b] ________

无穷大的概念

(1) 实 数 集 R 用 区 间 表 示 为
_______________,∞读作“
(-∞,+∞)

无穷大”或“无穷”,-∞读
作“负无穷大”或“负无穷” ,+∞读作“正无穷大”或“

正无穷”.

x≥a x >a
x≤b x<b

( -∞ ,b]
(a,+∞) (-∞,b) [a,+∞)

(2)无穷区间的表示
定 义 {x|x∈R} {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}

符 号

(-∞,+ ∞)

[a,+∞)

(a,+∞) (-∞,a]

(-∞,a)

想一想 3. 不等式 x + 2 > 3 的解集用区间怎 么表示? 提示:解x+2>3得x>1,即不等

式x+2>3的解集为(1,+∞).

函数的概念:
设A和B是两个非空数集,如果按照某种对应关 系f,使A的任何一个x,在B中都有唯一确定的 f(x)和它对应,那么就称 f:A B为从集 合A到集合B的一个函数.记作:

y ? f (x),x?A
x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,

与x的值对应的y值叫做函数值. 函数值的集合{f ? x? | x ? A }叫做函数的值域.

问题思考
? 设A={1,2,3},B={1,4,8,9},对应关系是 f:平方。问对应f:A B是否为从A到B 的一个函数? ? 这个函数的定义域是什么?值域C又是 什么?一般情况下,C与B之间有关什么 关系?

下列图象中不能作为函 数y ? f ( x )的 图象的是 (
y
o
x

)
y
o
x

y
o
x

y

o

x

1. 一次函数y=ax+b(a≠0)定义域是

R. 值域是 R.
2.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的
定义域是 R. 值域是

当 a > 0 时 ,为 :

当 a < 0 时 ,为 :

问题解决
反比例函数的定义域、对应关系、 值域各是什么?请用函数的定义来描 述。 k
x ? y ? R y ? 0?. ?x ? R x ? 0?值域C ? _________ A ? _________, 反比例函数 y? ( k ? 0)的 定 义 域

对于A中的任意一个x,在C中都有唯一的一个数 k y= (k ? 0)和它对应。 x

例1 已知函数 f ? x ? ?

x?3 ?

(1)求函数的定义域 2 (2)求 f (?3), f ( 3 ) 的值

1 x?2

(3)当a>0时,求 f (a), f (a ?1) 的值

解(1)x ? 3 有意义的实数x的集合是{x|x≥-3} 1 x ? 2 有意义的实数x的集合是{x|x≠-2} 所以 这个函数的定义域就是 {x | x ? ?3} ? {x | x ? ?2} ? {x | x ? ?3, x ? ?2}

例1 已知函数 f ? x ? ?

x?3 ?

(1)求函数的定义域 2 (2)求 f (?3), f ( 3 ) 的值

1 x?2

(3)当a>0时,求 f (a), f (a ?1) 的值
解( 1 ) ? f ( x) ? ?{ x?3? 0 x?2?0 x?3 ? 1 x?2

解得,x ? ?3, 且x ? ?2 ? f ( x)的定义域为 {x | x ? ?3, 且x ? ?2}

(2) f (?3) ? ? 3 ? 3 ?

1 ? ?1 ?3? 2 2 2 1 11 3 3 33 f( )? ?3? ? ? ? ? 2 3 3 3 8 8 3 ?2 3 (3)因为a>0,所以f(a),f(a-1)有意义

1 f (a) ? a ? 3 ? a?2
1 1 f (a ? 1) ? a ? 1 ? 3 ? ? a?2? a ?1 ? 2 a ?1

课堂练习:P19练习1

函数三要素:
定义域 对应关系 值域

函数

*值域是由定义域和对应关系决定的。 *如果两个函数的定义域相同,对应关 系完全一致,这两个函数相等。

例2下列函数哪个与函数y=x相等

(1) y ? (

x)

2

( 2) y ? 3
( 4) y ?

x3
x2

(3) y ?

x2
2

x

y ? ( x ) ? x( x ? 0) ,这个函数与y=x(x∈R) 解(1) 对应一样,定义域不不同,所以和y=x (x∈R)不相等
(2)y ? x3 ? x ( x ? R ) 这个函数和y=x (x∈R) 对应关系一样 ,定义域相同x∈R,所以和y=x (x∈R)相等
3

-x,x<0 定义域相同x ∈R,但是当x<0时,它的对应关系为y=-x 所以和y=x(x∈R)不相等

(3) y

?

x

2

?| x |?

x,x≥0

这个函数和y=x(x∈R)

x2 (4) y ? x
y ?
x2

x

? x

的定义域是{x|x≠0},与函数

y=x(x∈R)的对应关系一样,但是定义域 不同,所以和y=x(x∈R)不相等

课堂练习:P19 练习3

1.本节课探讨了用集合与对应的语言描述 函数的概念,并引入了函数符号y=f(x).
2.突出了函数概念的本质:两个非数集间 的一种确定的对应关系. 3.明确了函数的三个构成要素:定义域、 对应关系和值域.

4.判断函数相等:定义域、对应关系.
5.判断函数相等:定义域、对应关系.

一、举出初中学习的函数的例子(两个以上), 并用集合与对应的语言来描述函数,同时 说出函数的定义域、值域和对应关系.
二、例题变式


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