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高二数学直线与圆锥曲线同步测试3


安陆一中高二数学同步测试 直线与圆锥曲线(三)
一.选择题 2 1.过点(2,4)作直线与抛物线 y =8x 只有一个公共点,这样的直线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 ) D.4 条

x2 y2 ? 2.设椭圆 =1 的长轴两端点为 M、N,异于 M、N 的点 P 在椭圆上,则 PM 与 PN 的 4 3
斜率之积为( A.- ) B.-
2 2

3 4

4 3

C.

3 4

D.

4 3

3.双曲线 x -y =1 的左焦点为 F,点 P 为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线 PF 的 斜率的变化范围是( ) A.(-∞,0) B.(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 4. 若双曲线 x -y =1 的右支上一点 P(a, b)到直线 y=x 的距离为 2 , 则 a+b 的值为 (
2 2



A.-

1 2
2

B.

1 2

C.±

1 2

D.±2 ) D.1

5.曲线 y=x -|x|-12 与 x 轴相交,则两交点间的距离为( A.8 B.0 C.7

二.填空题 2 6.一个正三角形的顶点都在抛物线 y =4x 上,其中一个顶点在坐标原点,则这个三角形的 面积是_____. 7.已知(4,2)是直线 l 被椭圆
2 2

x2 y2 ? =1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是_____. 36 9

8. 过椭圆 3x +4y =48 的左焦点 F 引直线交椭圆于 A、 B 两点, 若|AB|=7, 则此直线的方 程为______. 9.已知双曲线 x -
2

y2 =1,过 P(2,1)点作一直线交双曲线于 A、B 两点,并使 P 为 AB 的 3

中点,则直线 AB 的斜率为______.

三.解答题 10、如图所示,抛物线 y =4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为
2

? 的直线 l 与线段 OA 4

相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、 N 两点, 求△AMN 面积最大时直线 l 的方程, 并求△AMN 的最大面积.

1、 已知双曲线 C:2x -y =2 与点 P(1,2) (1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点,没有交点. (2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为中点的弦是否存在.

2

2

12、如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一 个交点为 B, 且|F1B|+|F2B|=10, 椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件: |F2A|、 |F2B|、 |F2C| 成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m,求 m 的取值范围.

13、(2004 年北京春卷 18) 已知点 A(2,8) , B( x1 ,y1 ) ,C( x2 ,y2 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px 上,

?ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合(如图)
(I)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (II)求线段 BC 中点 M 的坐标; (III)求 BC 所在直线的方程.
A O

y B

F

M

x

C

14、(2004 年天津卷理 22) 椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0) ( c ? 0 )的准线l 与 x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点. (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程;

(3)设 AP ? ? AQ( ? ? 1 ) ,过点 P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点 M,证明

FM ? ?? FQ .

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点是 F1 (?c,0) 与 F2 (c,0) (c>0),且 15、(2004 年全国卷Ⅳ21)设椭圆 m ?1
椭圆上存在点 P,使得直线 PP1 与直线 PF2 垂直. (Ⅰ)求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)设 L 是相应于焦 点 F2 的准线,直线 PF2 与 L 相交于点 Q , 若

QF 2 ? 2 ? 3 , 求直线 PF2 的方程. PF2

16、(2004 年湖北卷)直线l : y ? kx ? 1 与双曲线 C: 2 x ? y ? 1的右支交于不同的两点 A、
2 2

B. (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C

的右焦点 F?若存在,求出 k 的值.若不存在,说明理由. 17.求过点(0,2)的直线被椭圆 x +2y =2 所截弦的中点的轨迹方程. 18.已知抛物线 C:y=-x +mx-1,点 A(3,0),B(0,3),求 C 与线段 AB 有两个不同交点的充 要条件(用 m 的取值范围表示). 19.如图 8—4,椭圆的长轴 A1A2 与 x 轴平行,短轴 B1B2 在 y 轴上,中心为 M(0,r) (b>r> 0).
2 2 2

图 8—4 (Ⅰ)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率; (Ⅱ)直线 y=k1x 交椭圆于两点 C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0);直线 y=k2x 交椭圆于两点 G(x3, y3),H(x4,y4)(y4>0). 求证:

k xx k1 x1 x2 ? 2 3 4 ; x1 ? x2 x3 ? x4

(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的 C、D、G、H,设 CH 交 x 轴于点 P,GD 交 x 轴于点 Q. 求证:|OP|=|OQ|. (证明过程不考虑 CH 或 GD 垂直于 x 轴的情形) 本小题主要考查直线与椭圆等基本知识,考查分析问题和解决问题的能力.

20.已知双曲线 x -

2

y2 =1 与点 P(1,2),过 P 点作直线 l 与双曲线交于 A、B 两点,若 P 为 2

AB 的中点 (1)求直线 AB 的方程. (2)若 Q(1,1),证明不存在以 Q 为中点的弦.

21.中心在坐标原点、焦点在 x 轴上的椭圆,它的离心率为 M、N 两点,若以 MN 为直径的圆经过坐标原点,求椭圆方程.

3 ,与直线 x+y-1=0 相交于 2

22.在抛物线 y =4x 上恒有两点关于直线 y=kx+3 对称,求 k 的取值范围.

2

23.以椭圆

x2 ? y 2 =1(a>1)的短轴的一个端点 B(0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角 a2

三角形,问这样的直角三角形是否存在.如果存在,请说明理由,并判断最多能作出几个这样的 三角形?如果不存在,请说明理由.

24.已知椭圆的一个焦点 F1(0, -2 2 ), 对应的准线方程为 y=-

9 2 , 且离心率 e 满足: 4

2 4 ,e, 成等比数列. 3 3
(1)求椭圆方程; (2)是否存在直线 l,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 x=- 平分.若存在,求出 l 的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由.

1 2

直线与圆锥曲线(三)参考答案
一.选择题 1.B 2.A 二.填空题 6.48 3 3.C 4.B 5.A

7.x+2y-8=0

8.y=±

3 (x+2) 2

9.6

三.解答题 10.解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0,

?y ? x ? m 由方程组 ? 2 ,消去 y, ? y ? 4x
得 x +(2m-4)x+m =0 ① ∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, 2 2 ∴方程①的判别式Δ =(2m-4) -4m =16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) , 2 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m , ∴|MN|=4 2(1 ? m) , 点 A 到直线 l 的距离为 d=
2 2

5? m 2

.

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△ =4(1-m)(5+m)
2

2

=2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2(

2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 ) =128. 3

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8

2.

11.解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1,与曲线 1C . 当 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),代入 C 的方程,并整理得 2 2 2 2 (2-k )x +2(k -2k)x-k +4k-6=0 ① (ⅰ)当 2-k =0,即 k=± 2 时,方程 ① 有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k ≠0,即 k≠± 2 时 Δ =[2(k -2k)] -4(2-k )(-k +4k-6)=16(3-2k) ①当Δ =0,即 3-2k=0,k=
2 2 2 2 2 2

3 * 时,方程( )有一个实根,l 与 C 有一个交点. 2

②当Δ >0,即 k< ,又 k≠± 2 ,

3 2

故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 时,方程 ①有两不等实根,l 与 C 有两个 交点. ③当Δ <0,即 k> 时,方程 ①无解,l 与 C 无交点.

3 2

3 2

综上知:当 k=± 2 ,或 k=

3 ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 2

当 2 <k< ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点;

3 2

当 k> 时,l 与 C 没有交点. (2)假设以 Q 为中点的弦存在,设为 AB, 且 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2x1 -y1 =2,2x2 -y2 =2 两式 相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1 -y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 , ∴2(x1 -x2)=y1 -y1 , 即 kAB=
2 2 2 2

3 2

y1 ? y 2 =2 x1 ? x 2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为中点的弦不 存在. 12.解:利用椭圆的定义、等差数列的定义,处理直线与圆锥曲线的方法. (1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= a 2 ? c 2 =3 故椭圆方程

x2 y2 ? 为 =1. 25 9
(2)由点 B(4,yB)在椭圆上, 得|F2B|=|yB|=

9 25 4 .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 ,根 5 5 4

据椭圆定义,有|F2A|=

4 25 4 25 ( -x1),|F2C|= ( -x2),由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得 5 4 5 4
设弦 AC 的中点为 P(x0,y0), 则

4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2 × , 由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5

x0=

x1 ? x2 =4. 2
(3)解析法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.

? ?9 x1 ? 25 y1 ? 9 ? 25 得? 2 2 ? ?9 x 2 ? 25 y 2 ? 9 ? 25
2 2

① ②

, ①-②得 9(x1 -x2 )+25(y1 -

2

2

2

y22)=0,
即 9× (

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 ) ? 25( 1 )?( 1 ) =0(x1≠x2) 2 2 x1 ? x 2



x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 ? x0 ? 4, 1 ? y0 , 1 ? ? (k≠0) 2 2 x1 ? x 2 k

代入上式,得 9×4+25y0(-

1 25 )=0(k≠0) 即 k= y0(当 k=0 时也成立). k 36
25 16 y0=- y0. 9 9 9 5 16 <m 5

由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m,所以 m=y0-4k=y0-

由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部,得- <y0< ,所以-

9 5



16 . 5
解析法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为 y-y0=-

1 (x-4)(k≠0) k

③ , 将③代入椭圆方程

x2 y2 2 2 2 2 ? =1,得(9k +25)x -50(ky0+4)x+25(ky0+4) -25×9k =0 25 9

所以 x1+x2=

50( k 0 ? 4) 25 =8,解析得 k= y0.(当 k=0 时也成立) 2 9k ? 25 36

(以下同解析法一). 13.解: (I)由点 A(2,8)在抛物线 y ? 2 px 上,有8 ? 2 p ? 2 ,
2 2

解得 p ? 16 . 所以抛物

线方程为 y ? 32 x ,焦点 F 的坐标为(8,0)
2

(II)如图,由 F(8,0)是 ?ABC 的重心,M 是 BC 的中点,所以 F 是线段 AM 的定比分点,



AF ?2 FM
设点 M 的坐标为 ( x 0 ,y 0 ) ,则 所以点 M 的坐标为 (11, ? 4)

2 ? 2 x0 8 ? 2 y0 ? 8, ? 0 解得 x0 ? 11,y0 ? ?4 1? 2 1? 2

(III)由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上,所以 BC 所在的直线不垂直于 x 轴. 设 BC 所成直线的方程为 由?

y ? 4 ? k ( x ? 11)( k ? 0)
消 x 得 ky 2 ? 32 y ? 32(11k ? 4) ? 0 所以 y1 ? y 2 ?

? y ? 4 ? k ( x ? 11) ? y ? 32 x
2

32 k

由( II )的结论得

y1 ? y 2 ? ?4 , 2

解得 k ? ?4

, 因此 BC 所在直线的方程为

y ? 4 ? ?4( x ? 11)

即 4 x ? y ? 40 ? 0 .

?a 2 ? c 2 ? 2, x2 y2 ? ? 1(a ? 2 ) .由已知得 ? 14.解:(1)由题意,可设椭圆的方程为 2 ? a2 2 a c ? 2 ( ? c). ? c ?
解得 a ?

6 , c ? 2 . 所以椭圆的方程为

x2 y2 6 ? ? 1 ,离心率 e ? . 6 2 3

(2) 〖解〗由(1)可得 A(3,0) .设直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 3) .由方程组

? x2 y2 ? 1, ? ? 得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 2 ?6 ? y ? k ( x ? 3) ?
依题意 ? ? 12(2 ? 3k ) ? 0 ,得 ?
2

6 6 . ?k? 3 3

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) , 则

x1 ? x 2 ?

18k 2 , 3k 2 ? 1



x1 x2 ?

27k 2 ? 6 . 3k 2 ? 1



由直线 PQ 的方程得 y1 ? k ( x1 ? 3),

y2 ? k ( x2 ? 3) .于是

y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)(x2 ? 3) ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] .
∵ OP ? OQ ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 . 由①、②、③、④得 5k 2 ? 1 ,从而 k ? ? ④



5 6 ? (? , 5 3

6 ). 3

所以直线 PQ 的方程为 x ? 5 y ? 3 ? 0 或 x ? 5 y ? 3 ? 0 (3)证明: AP ? ( x1 ? 3, y1 ), AQ ? ( x2 ? 3, y2 ) .由已知得方程组

? x1 ? 3 ? ? ( x 2 ? 3), ? y ? ?y , 2 ? 1 2 2 ? x1 y ? ? 1 ? 1, 2 ?6 ? x2 y2 ? 2 ? 2 ? 1. 2 ?6


注意 ? ? 1 ,解得 x 2 ?

5? ? 1 因 F (2, 0), M ( x1 , ? y1 ) , 2?

FM ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? (?( x2 ? 3) ? 1, ? y1 ) ? (
而 FQ ? ( x 2 ? 2, y 2 ) ? (

1? ? ? ?1 , ? y1 ) ? ?? ( , y2 ) . 2 2?

? ?1 , y 2 ) ,所以 FM ? ?? FQ . 2?
m .设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ), 由 PF1 ? PF2 , 得
x ? y ? m.
2 0 2 0

15.解:(Ⅰ) 由题设有 m>0, c ?

y0 y ? 0 ? ?1 , 化简得 x0 ? c x0 ? c
联立,解得 x0 ?
2



2 x0 2 ? y0 ?1 将①与 m ?1

m2 ?1 2 1 m2 ?1 2 , y 0 ? . 由 m>0. x0 ? ? 0, 得 m≥1. m m m m ?1 m

所以 m 的取值范

围是 m≥1. (Ⅱ)准线 L 的方程为 x ?

. 设点 Q 的坐标为 ( x1 , y1 ), 则 x1 ?

m ?1 m

.

m ?1 QF2 x ?c ? 1 ? PF1 c ? x0

? m m . m ? x0



将 x0 ?

m2 ?1 代入②,化简得 m

QF2 PF2

?

1 m ? m2 ?1

? m ? m 2 ? 1.







QF 2 PF2

? 2 ? 3,



m ? m 2 ? 1 ? 2 ? 3, 无解,
将 x0 ? ?

m2 ?1 代入②, 化简得 m

QF2 PF2

?

1 m ? m ?1
2

? m ? m 2 ? 1. 由 题 设

QF2 PF2

? 2 ? 3, 得 m ? m2 ? 1 ? 2 ? 3. 解得 m=2.

从而 x0 ? ?

3 2 , y0 ? ? , c ? 2 , 得到 PF2 的方程, y ? ?( 3 ? 2)(x ? 2 ). 2 2
2 2

16.解:(Ⅰ)将直线l 的方程 y ? kx ? 1 代入双曲线 C 的方程 2 x ? y ? 1 后,整理得

(k 2 ? 2) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 .…………①


依题意,直线l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,

k2 ? 2 ? 0,

? ? (2k ) 2 ? 8(k 2 ? 2) ? 0 ,
? 2k ? 0, k ?2
2

2 ? 0 . 解得 k 的取值范围为 ? 2 ? k ? ? 2 . k ?2
2

(Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,则由①得

x1 ? x 2 ?

2k 2 , x1 ? x 2 ? 2 .………………② 2 2?k k ?2

假设存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0) ,则由 FA⊥FB 得

( x1 ? c)(x2 ? c) ? y1 y2 ? 0 .即 ( x1 ? c)(x2 ? c) ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? 0 .
整理得 (k ? 1) x1 x2 | (k ? c)(x1 ? x2 ) ? c ? 1 ? 0 .……………………③
2 2

把②式及 c ?

6 代入③式化简得 5k 2 ? 2 6k ? 6 ? 0 . 2

解得 k ? ?

6? 6 6? 6 或k ? . ? (?2,? 2 ) (舍去) 5 5
6? 6 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点. 5

可知 k ? ?

17.解:设直线方程为 y=kx+2, 2 2 把它代入 x +2y =2 2 2 整理得 (2k +1)x +8kx+6=0 要使直线和椭圆有两个不同交点,则Δ >0,即 k<-

6 6 , 或k ? 2 2

设直线与椭圆两个交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),中点坐标为 C(x,y),则 x=

x1 ? x 2 ? 4k ? 2 2 2k ? 1

y=

? 4k 2 2 ?2? 2 2 2k ? 1 2k ? 1

? 4k ? x? 2 ? 6 6 ? 2k ? 1 从参数方程 ? (k<- 或 k> ) 2 2 2 ?y ? ? 2k 2 ? 1 ?
消去 k 得 x +2(y-1) =2 且|x|<
2 2

1 6 ,0<y< . 2 2
6 1 ,0 ? y ? 2 2
2

综上,所求轨迹方程为 x 2 ? 2( y ? 1) 2 ? 2 ,其中| x |?

18.解:线段 AB 所在直线方程为 x+y=3,与方程 y=-x +mx-1 消去 y 得: 2 x -(m+1)x+4=0 曲线 C 与线段 AB 有两个交点的充要条件是该方程在[0,3]上有两个不同解, 2 令 f(x)=x -(m+1)x+4,则

19.解(1) 椭圆方程为

x 2 (y ? r) 2 ? ? 1. a2 b2

焦点坐标为 F1(- a 2 ? b 2 , r ),F2( a 2 ? b 2 , r ), 离心率 e=

a 2 ? b2 . a

(Ⅱ)【证明】将直线 CD 的方程 y=k1x 代入椭圆方程,得 2 2 2 2 2 2 b x +a (k1x-r) =a b , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 整理得(b +a k1 )x -2k1a rx+(a r -a b )=0. 根据韦达定理,得 x1+x2=

2k1a 2 r b 2 ? a 2 k1
2

, x1x 2 ?

a 2r 2 ? a 2b2 b 2 ? a 2 k1
2

所以

x1 x2 r 2 ? b2 ? x1 ? x2 2k1r



将直线 GH 的方程 y=k2x 代入椭圆方程,同理可得

x3 x 4 r 2 ? b2 . ? x3 ? x 4 2k 2 r
由①,②得



k1 x1 x2 r 2 ? b 2 k 2 x3 x4 . ? ? x1 ? x2 2r x3 ? x 4

所以结论成立. (Ⅲ)【证明】设点 P(p,0),点 Q(q,0). 由 C,P,H 共线,得

x1 ? p k1 x1 (k ? k 2 ) x1 x4 ,解得 p= 1 . ? x4 ? p k 2 x4 k1 x1 ? k 2 x4

由 D,Q,G 共线,同理可得 q=

(k1 ? k 2 ) x2 x3 . k1 x2 ? k 2 x3



k xx k1 x1 x2 ? 2 3 4 变形得 x1 ? x2 x3 ? x4



x 2 x3 x1 x4 , ? k1 x2 ? k 2 k 3 k1 x1 ? k 2 x4
(k1 ? k 2 ) x2 x3 (k1 ? k 2 ) x1 x4 . ? k1 x2 ? k 2 x3 k1 x1 ? k 2 x4

即-

所以|p|=|q|,即|OP|=|OQ|. 所以结论成立. 20.解(1)设过 P(1,2)点的直线为 y-2=k(x-1)代入双曲线方程得 2 2 2 2 (2-k )x +(2k -4k)x-(k -4k+6)=0 由 AB 中点为 P(1,2) ∴ x1+x2=

2k 2 ? 4k =2,解得 k=1, k2 ? 2

又 k=1 时,使Δ =16>0,从而直线 AB 方程为 x-y+1=0 (2)【证明】按同样方法求得 k=2,而 k=2 使此时Δ <0,所以直线 CD 不存在 21.解:设椭圆方程

x 2 y2 ? =1(a>b>0) a 2 b2
2 2

∵e=

3 2

∴a =4b ,即 a=2b

∴椭圆方程为

x2 y2 ? =1 4b 2 b 2
2 2

把直线方程代入化简得 5x -8x+4-4b =0 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= (4-4b )

8 5

1 5

2

∴y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2= (1-4b ) 由于 OM⊥ON ∴x1x2+y1y2=0 解得 b = ,a =
2

1 5

2

5 8

2

5 2

所以椭圆方程为

2 2 8 2 x + y =1. 5 5
2

22.解:设 B、C 关于直线 y=kx+3 对称,直线 BC 方程为 x=-ky+m 代入 y =4x 得, 2 y +4ky-4m=0, 设 B(x1,y1)、C(x2,y2),BC 中点 M(x0,y0),则 y0=

y1 ? y 2 2 =-2k,x0=2k +m 2

∵点 M(x0,y0)在直线 l 上, 2 ∴-2k=k(2k +m)+3, ∴m=-

2k 3 ? 2 k ? 3 k

又 BC 与抛物线交于不同两点, 2 ∴Δ =16k +16m>0, 把 m 代入化简得

k 3 ? 2k ? 3 <0 k



(k ? 1)(k 2 ? k ? 3) <0, k

解得-1<k<0. 23.解:由题意可知:直角边 BA,BC 不可能垂直或平行于 x 轴.故可设 BC 边所在直线方程为 y=kx+1(不妨设 k<0 ) ,则 BA 边所在直线方程为 y=-

1 x+1. k

? y ? kx ? 1 ? ∵? x 2 消去 y 得: 2 ? 2 ? y ?1 ?a
(1+a k )x +2a kx=0 解得 x1=0,x2=-
2 2 2 2

2a 2 k 1 ? a 2k 2

∴|BC|= 1 ? k 2 |x1-x2|=

2a 2 | k | 1 ? k 2 1 ? a 2k 2

用-

1 2a 2 1 ? k 2 代替上式中的 k 得|AB|= k a2 ? k2
2 2 2 2

由|BC|=|BA|,得|k|(a +k )=1+a k

注意到 k<0 得 2 2 (k+1)[k +(a -1)k+1]=0
2 2



当(a -1) -4<0 即 1<a< 3 时,①有惟一解 k=-1; 当 a= 3 时,①有惟一解 k=-1; 当 a> 3 时,①有三个不同的解. 综上所述:当 1<a≤ 3 时,只能作出一个三角形;当 a> 3 时,能作出三个三角形. 24.解:依题意 e=

2 2 . 3

a2 9 2 2 2 2 (1)∵ -c= ?2 2 ? , 又e ? c 4 4 3
∴a=3,c=2 2 ,b=1, 又 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y=-

9 2 . 4

∴椭圆中心在原点,所求方程为 x +

2

1 2 y =1 9 1 平分,∴直线 l 的斜率 2

(2)假设存在直线 l,依题意 l 交椭圆所得弦 MN 被 x=- 存在.设直线 l:y=kx+m

? y ? kx ? m ? 由? 2 y2 消去 y,整理得 x ? ?1 ? 9 ?
(k +9)x +2kmx+m -9=0 ∵l 与椭圆交于不同的两点 M,N, 2 2 2 2 ∴Δ =4k m -4(k +9)(m -9)>0 2 2 即 m -k -9<0 ① 设 M(x1,y1),N(x2,y2) ∴
2 2 2

x1 ? x 2 ? km 1 ? 2 ?? , 2 k ?9 2


k2 ?9 ∴m= 2k

把②代入①式中得

( k 2 ? 9) 2 2 -(k +9)<0 4k 2
∴k> 3 或 k<- 3 ∴直线 l 倾斜角α ∈(

? ? ? 2? , )∪( , ) 3 3 2 2


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