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高中数学必修1人教A教案导学案3.1.1方程的根与函数的零点


3.1.1 方程的根与函数的零点教案

【教学目标】 1. 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的 零点与方程根的联系; 2. 掌握零点存在的判定条件. 【教 学重难点】 教学重点:方程的根与函数的零点的关系。 教学难点:求函数零点的个数问题。 【教学过程】 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑

,使教学具有了针对性。 (二)情景导入、展示目标。 探究任务一:函数零点与方程的根的关系 问题: ① 方程 x2 ? 2x ? 3 ? 0 的解为 , 函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 的图象与 x 轴有 个 交点,坐标为 . ② 方程 x2 ? 2x ? 1 ? 0 的解为 ,函数 y ? x2 ? 2 x ? 1 的图象与 x 轴有 个交 点,坐标为 . 2 ③ 方程 x ? 2x ? 3 ? 0 的解为 , 函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 的图象与 x 轴有 个交 点,坐标为 . 根据以上结论,可以得到: 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根就是相应二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的图象与 x 轴交点的 . 你能将结论进一步推广到 y ? f ( x) 吗? 已经布置学生们课前预习了这部分,检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑 说出来。 新知:对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点(zero point). 反思: 函数 y ? f ( x) 的零点、方程 f ( x) ? 0 的实数根、函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横 坐标,三者有什么关系? 试试: (1)函数 y ? x2 ? 4 x ? 4 的零点为 ; (2)函数 y ? x2 ? 4 x ? 3 的零点 为 . 小结:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有 零点. 探究任务二:零点存在性定理 问题: ① 作出 y ? x2 ? 4 x ? 3 的图象,求 f (2), f (1), f (0) 的值,观察 f (2) 和 f (0) 的符号 ② 观察下面函数 y ? f ( x) 的图象,
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在区间 [a, b] 上 在区间 [b, c] 上 在区间 [c, d ] 上

零点; f ( a) f ( b) ? 零点; f ( b) f ( c) ? 零点; f ( c) f ( d ) ?

0; 0; 0.

新 知 : 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 [ a , b ] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有 f (a)?f (b) <0,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 , 这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根. 讨论:零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析. (三)典型例题 例 1 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数. 解析:引导学生借助计算机画 函数图 像,缩小解 的范围。 解:用计算器或计算机做出 x, f ( x) 的对应值表和图像(见课本 88 页) 知 f (2) ? 0, f (3) ? 0, 则 f (2) f (3) ? 0 ,这说明函数 f (x) 在区间 (2,3) 内有零点。由于函 数 f (x) 在定于域 (0,??) 内是增函数,所以它仅有一个零点。 点评:注意计算机与函数的单调性在本题中的应用。 变式训练 1:求函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点所在区间. 小结:函数零点的求法. ① 代数法:求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ② 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零点. 例 2 求函数 y ? 2 x ? 3 的零点大致所在区间. 分析;方程的根与函数的零点的应用,学生小组讨论自主完成。 变式训练 2 求下列函数的零点: (1) y ? x2 ? 5x ? 4 ; (2) y ? ( x ? 1)( x2 ? 3x ? 1) . (四)小结:今天的学习内容和方法有哪些?你有哪些收获和经验?课堂上师生主要解 决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进行当堂 检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。 【板书设计 】 一、函数零点与方程的根的关系 二、例题 例1 变式 1 例2 变式 2 【作业布置】课本 88 页 1,2

3.1.1

方程的根与函数的零点导学案
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课前预习学案
一、预习目标 预习方程的根与函数零点的关系。 二、预习内容 (预习教材 P86~ P88,找出疑惑之处) 复习 1:一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的解法. 判别式 ? = . 当? 0,方程有两根,为 x1,2 ? ; 当? 当? 0,方程有一根,为 x0 ? 0,方程无实数. ;

复习 2:方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的根与二次函数 y=ax 2 +bx+c (a ? 0)的图象之间有什么 关系? 判别式 一元二次方程 二次函数图象

??0
??0 ??0
三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1. 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的 零点与方程根的联系; 2. 掌握零点存在的判定条件. 学习重难点:方程的根与函数的零点的关系,求函数零点的个数问题 二、学习过程 探究任务一:函数零点与方程的根的关系 问题: ① 方程 x2 ? 2x ? 3 ? 0 的解为 , 函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 的图象与 x 轴有 个 交点,坐标为 . 2 ② 方程 x ? 2x ? 1 ? 0 的解为 ,函数 y ? x2 ? 2 x ? 1 的图象与 x 轴有 个交 点,坐标为 . 2 ③ 方程 x ? 2x ? 3 ? 0 的解为 , 函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 的图象与 x 轴有 个交 点,坐标为 . 根据以上结论,可以得到: 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根就是相应二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)
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的图象与 x 轴交点的

.

你能将结论进一步推广到 y ? f ( x) 吗?

新知:对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点(zero point). 反思: 函数 y ? f ( x) 的零点、方程 f ( x) ? 0 的实数根、函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横 坐标,三者有什么关系?

试试: (1)函数 y ? x2 ? 4 x ? 4 的零点为 为 .

; (2)函数 y ? x2 ? 4 x ? 3 的零点

小结:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有 零点. 探究任务二:零点存在性定理 问题: ① 作出 y ? x2 ? 4 x ? 3 的图象,求 f (2), f (1), f (0) 的值,观察 f (2) 和 f (0) 的符号

② 观察下面函数 y ? f ( x) 的图象,

在区间 [a, b] 上 在区间 [b, c] 上 在区间 [c, d ] 上

零点; f ( a) f ( b) ? 零点; f ( b) f ( c) ? 零点; f ( c) f ( d ) ?

0; 0; 0.

新 知 : 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 [ a , b ] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有 f (a)?f (b) <0,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 , 这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根. 讨论:零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析.

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三、 典型例题 例 1 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数.

变式一:求函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点所在区间.

小结:函数零点的求法. ① 代数法:求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ② 几何法: 对于不 能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零点. 例 2 求函数 y ? 2 x ? 3 的零点大致所在区间.

变式训练二 求下列函数的零点: (1) y ? x2 ? 5x ? 4 ; (2) y ? ( x ? 1)( x2 ? 3x ? 1) .

四、反思总结 图像连续的函数的零点的性质: (1)函数的 图像是连续的,当它通过零点时(非偶次零点) ,函数值变号. 推论: 函数在区间 [a, b] 上的图像是连续的, f (a) f (b) ? 0 , 且 那么函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上至少有一个零点. (2)相邻两个零点之间的函数值保持同号. 五、当堂达标 1. 求函数 y ? x3 ? 2 x2 ? x ? 2 的零点所在区间,并画出它的大致图象.

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课后练习与提高
1. 函数 f ( x) ? ( x2 ? 2)( x2 ? 3x ? 2) 的零点个数为( ). ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.若函数 f ( x) 在 ? a, b ? 上连续,且有 f (a)?f (b) ? 0 .则函数 f ( x) 在 ? a, b ? 上( A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点 C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定 3. 函数 f ( x) ? e x ?1 ? 4 x ? 4 的零点所在区间为( A. (?1,0) B. (0,1) C. (1, 2) D. (2,3)

).

4. 函数 y ? ? x 2 ? x ? 20 的零点为 . 5. 若函数 f ( x) 为定义域是 R 的奇函数,且 f ( x) 在 (0, ??) 上有一个零点.则 f ( x) 的零 点个数为 . 6. 已知函数 f ( x) ? 2(m ? 1) x 2 ? 4mx ? 2m ? 1 . (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; (2)若函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 值.

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