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必修二圆与方程第一讲(教师)


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4.1.1 圆的标准方程 一、学习目标 知识与技能:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。2、 会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思 想,通过圆的标准方 程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习 数学的热情和兴趣。 二、学习重点、难点: 学习重点: 圆的标准方程 学习难点: 会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。 三、使用说明及学法指导: 1、先阅读教材 118—120 页,然后仔细审题,认真思考、独立规范作答。2、不 会的,模棱两可的问题标记好。3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成 90℅以上,平行班完成 80℅以上 四、知识链接: 1.两点间的距离公式? 2.具有什么性质的点的轨迹称为圆?圆的定义? 平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径. 五、学习过程:(自主探究) A 问题 1 阅读教材 118 页内容,回答问题

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已知在平面直角坐标系中,圆心 A 的坐标用(a,b)来表示,半径用 r 来表示, 则我们如何写出圆的方程?

问题 2 圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么?

例 1:1 写出下列各圆的方程: (1)圆心在原点,半径是 3; (2) 圆心在 C(3,4),半径是 5

(3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3); 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径: (1) (x-1)2 + y2 = 6 (3) ( x ? a)2 ? ( y)2 ? a2 例 2:写出圆心为 A(2, ?3) 半径长等于 5 的圆的方程,判断 M1 (5, ?7), M2 (? 5, ?1) 是否 在这个圆上。 (2) (x+1)2+(y-2)2= 9

问题 3 点 M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上、内、外的条件是什么? 例 3 △ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C(2, ?8), 求它的外接圆的方程

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例 4 已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求圆心为
C 的圆的标准方程.

注:比较例 3、例 4 可得出 △ABC 外接圆的标准方程的两种求法: 1.根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写出圆 的标准方程. 2.根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写 出圆的标准方程. 六、达标检测 1、已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3),求以 P1P2 为直径的圆的方程,试判断点 M(6, 9)、N(3,3)、 Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外?

2、求圆心 C 在直线 x+2y+4=0 上,且过两定点 A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。

3、从圆 x2+y2=9 外一点 P(3,2)向该圆引切线,求切线方程。

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4、求以 C(1,3)为圆心,并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆的方程.

C5. 求过点 A(3,2),圆心在直线 y=2x 上,且与直线 y=2x+5 相切的圆的方程:

七、小结与反思 ①圆的方程的推导步骤:建系设点→写条件→列方程→化简→说明 ②圆的方程的特点:点(a,b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径; ③求圆的方程的两种方法:(1)待定系数法;确定 a,b,r; 【金玉良言】临渊羡鱼不如退而结网。

高一数学必修 2 导学案

主备人: 组长: 4.1.2 圆的一般方程

备课时间:

备课

一、学习目标: 知识与技能:(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数 特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示 圆的条件.(2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待 定系数法求圆的方程。(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 过程与方法:通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,培养学生 探索发现及分析解决问题的实际能力。 情感态度与价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整 体素质,激励学生勇于创新,勇于探索。 二、学习重点、难点: 学习重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知 条件确定 方程中的系数 D、E、F. 学习难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用. 三、学法指导及要求: 1、认真研读教材 121---123 页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问 题,每一道习题,不会的先绕过,做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知 识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆. 3、A:自 主学习;B:合作探究;C:能力提升 4、小班、重点班完成全部,平行班至少完 成 A.B 类题.平行班的 A 级学生完成 80%以上 B 完成 70%~80%C 力争完成 60%

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以上. 四、知识链接:圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 圆心 (a, b) ;半径:r. 五、学习过程:问题的导入: 问题 1: 方程 x2+y2-2x+4y+1=0 表示什么图形?方程 x2+y2-2x-4y+6=0 表示什么图 形?

问题 2:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 在什么条件下表示圆?

问题 3:什么是圆的一般方程?

问题 4:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?

典型例题: 例 1:求过三点 O(0,0)M1(1,1)M2(4,2)的圆的方程

例 2:已知:线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在(x+1)2+y2=4 上运动, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

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变式:已知一曲线是与两个定点 O(0,0),A(3,0)距离比为 的点的轨迹,求此 曲线的方程并画出曲线。

六、达标检测 1,已知方程 x2+y2+kx+(1-k)y+ 13 =0 表示圆,则 k 的取值范围 (
4

)

A

k>3

B

k ? ?2

C

-2<k<3 )

D k>3 或 k<-2

2,方程 x ? 1 ? A.一个圆

1 ? ( y ? 1) 2

表示的曲线是( B.两个半圆

C.两个圆
y x

D.半圆 .

3,动圆 x2 ? y2 ? (4m ? 2) x ? 2my ? 4m2 ? 4m ? 1 ? 0 的圆心的轨迹方程是 4,如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,那么 的最大值是________。 5,求下列各题的圆心坐标、半径长 (1)x2+y2-6x=0

(2) x2+y2+2by=0 (3) x2+y2-2 a x-2 3 y+3 a 2=0 6,下列各方程各表示什么图形? (1)x2+y2=0

(2)x2+y2-2x+4y-6=0

(3) x2+y2+2 a x-b2=0

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7,已知圆 C:x?+y?-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1)求直线 AB 的方程

七、小结与反思 掌握圆的一般方程的形式,理解其特点,能确定出圆心坐标和 半径。 【励志良言】知识改变命运,勤奋造就人生!

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4.2.1 直线与圆的位置关系 一、学习目标:

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1、知识与技能:(1)理解直线与圆的位置的种类;(2)利用平面直角坐标系中 点到直线的距离公式求圆心到直线的距离;(3)会用点到直线的距离来判断直 线与圆的位置关系. 2、 过程与方法:通过学习直线与圆的位置关系, 掌握解决问题的方法――代数法、 几何法。 3、情感态度与价值观:让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系, 培养学生数形结合的思想. 二、学习重、难点: 重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系. 三、学法指导及要求 1、 认真研读教材 126---128 页, 认真思考、 独立规范作答, 认真完成每一个问题, 每一道习题,研究最佳答案准备展示,不会的先绕过,做好记号。 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整 理在解题本,多复习记忆。 (尤其是直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方 法必需牢记) 3、A:自主学习;B:合作探究;C:能力提升 4、小班、重点班完成全部,平行班完成 A.B 类题。平行班的 A 级学生完成 80% 以上 B 级完成 70%~80%C 级力争完成 60%以上。

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四、知识链接
港口

1、点和圆的位置关系有几种? 设点 P(x0,y0),圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心 (a,b)到 P(x0,y0)的距离为 d,则 点在圆内 (x0 -a)2+(y0 -b)2<r2 点在圆上 (x0 -a)2+(y0 -b)2 =r2 点在圆外 (x0 -a)2+(y0 -b)2>r2 d<r, d=r, d>r.
轮船

问题:一艘轮船在沿直线返回港口的途中 ,接到气象台的台风预报 :台风中心位于 轮船正西 70KM 处,受影响的范围是半径为 30KM 的圆形区域.已知港口位于台风 中心正北 40KM 处,如果轮船不改变航线,那么这艘轮船是否会受到台风的影响? 五、学习过程 A 问题 1.初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类? A 问题 2.直线与圆的位置关系有哪几种呢? A 问题 3.在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?
例1 已知直线l : 3x ? y ? 6 ? 0和圆心为C的圆x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0, 试判断直线l与圆的位置 关系; 如果相交, 求它们交点的坐标.

B 问题 4.你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗?

例2已知过点M (?3, ?3)的直线l被圆x2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0所截得的弦长为4 5, 求直线l的方程.

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C例3 .已知圆C : x 2 ? y 2 ? 4和直线l : y ? x ? b ,b为何值时, 直线l与圆C

?1? 相交,? 2? 相切, ? 3? 相离.

六、达标检测 A1. 1、从点 P(x.3)向圆(x+2)2+(y+2)2=1 作切线,则切线长度的最小值是( A. 4
2 6



B.

C.5

D. 5.5

A2、M(3.0)是圆 x2+y2-8x-2y+10=0 内一点,则过点 M 最长的弦所在的直线方程 是( ) A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0 )

B3、直线 l: x sin ? ? y cos ? ? 1 与圆 x2+y2=1 的关系是( A.相交 B.相切 C. 相离

D.不能确定

B4、设点 P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4 内部一点,则以 P 为中点的弦所在的直线方 程是_______ B5.已知直线 y=x+1 与圆 x2 ? y2 ? 4 相交于 A,B 两点,求弦长|AB|的值

七、小结与反思 【教师寄语】长风破浪会有时,直挂云帆济沧海 !

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【答案 30】圆的标准方程 例 1: 1, (1) x2+y2=9 2, (1) (1,0) (2) (x-3)2+(y-4)2=5
6

(3) (x-8)2+(y+3)2=25 (-a,0)
a

(2) (-1,2)

3 (3)

例 2:(x-2)2+ (y+3)2=25 M1 在 M2 不在。 例 3:设所求外接圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2 因为 都在圆上, 则有: ?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2
? 2 2 2 ?(7 ? a) ? (?3 ? b) ? r ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?

A(5,1), B(7,-3), C(2,-8)

A(5, ?a ? 2

? ?b ? ?3 ?r ? 5 ?



所以所求外接圆的方程为 (x-2)2+(y+3)2=25

例 4:解:因为 A(1,1)和 B(2,-2),所以线段 AB 的中点的坐标为 直线 AB 的斜率
k AB ? ?2 ? 1 ? ?3 2 ?1

?3 1? ? ,? ? ?2 2?



y?

因此线段 AB 的垂直平分线 l′的方程是:
?x ? 3y ? 3 ? 0 ? ? x ? y ?1 ? 0

1 1? 3? ? ?x? ? 2 3? 2?

x ? 3y ? 3 ? 0



圆心 C 的坐标是方程组 C(-3,-2)

? x ? ?3 ? ? y ? ?2

的解;解得:



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r ? AC ?

?1 ? 3? ? ?1 ? 2?
2

2

?5

圆心为 C 的圆的半径长: 的圆的标准方程是:

所以,圆心为 C

? x ? 3?

2

? ? y ? 2 ? ? 25
2

【达标检测】 1, 因为以 P1P2 为直径的圆的方程为 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 10 所以点 M 在 圆上;点 N 在圆外;点 Q 在圆内。 2, ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ?
4 3 4 3 50 9

3,
196

x=3 或 5x+12y-39=0

2 2 4,( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 25

5, ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 5或( x ? 2) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 5 【答案 31】圆的一般方程 例 1 解:设所求的圆的方程为: ?F ? 0
? ?D ? E ? F ? 2 ? 0 (1,1 C(4,2)在圆上 ?), ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0

4 5

8 5

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

因为 A(0,0),B

D ? ?8, E ? 6, F ? 0

x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0

所以 例 2 解;设点 M(x,y),点 A 的坐标是(x0,y0),由于点 B 的坐标是(4,3)且点 M 是线段 AB 的中点 ,
x0 ? 4 2 y0 ? 3 2

所以 x=

y=

所以 x0=2x-4,y0=2y-3;因为点 A 在圆(x+1)2+y2=4 上运动,所以点 A 的坐标满足 方程(x+1)2+y2=4;即(x0+1)2+y02=4 即:(2x-4+1)2+(2y-3)2=4;整理得

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3 3 3 3 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1;所以点 M的轨迹是以( , )为圆心, 1为半径的圆 2 2 2 2

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变式: 解: 设P (x,y) 是曲线上任意点, 则 【达标检测】 1,已知方程 x2+y2+kx+(1-k)y+ A 2,方程 k>3 B
k ? ?2

x2 ? y2 ( x ? 3) ? y
2 2

?

1 整理得: 3x2+3y2+6x-9=0 2

13 =0 表示圆,则 k 的取值范围 ( 4

D

)

C

-2<k<3 A

D k>3 或 k<-2 ) D.半圆

x ? 1 ? 1 ? ( y ? 1) 2

表示的曲线是(

A.一个圆

B.两个半圆

C.两个圆

3, 动 圆 x2 ? y2 ? (4m ? 2) x ? 2my ? 4m2 ? 4m ? 1 ? 0 的 圆 心 的 轨 迹 方 程 是 x-2y-1=0 .
y x

4,如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,那么 的最大值是__ 3 ______。 5, 求下列各题的圆心坐标、半径长 (1)x2+y2-6x=0 (3,0); r=3 (2) x2+y2+2by=0
2

(0,-b) ; r= b

(3) x2+y2-2ax-2 3 y+3a2=0

(a, 3 ); r= 3 ? 2a

6,下列各方程各表示什么图形? (1)x2+y2=0 径圆 (3) x2+y2+2ax-b2=0 以(-a,0)为圆心, a 2 ? b2 为半径圆 (0,0) (2)x2+y2-2x+4y-6=0 以 (1,-2)为圆心,
11 为半

7,已知圆 C:x?+y?-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1)求直线 AB 的方程 解:点差(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)-4(x1-x2)=0 直线 AB 的方程为 x+y-4=0 即 6+2×k-4=0 k=-1

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【答案 32】直线与圆的位置关系 例 1:解:因已知圆的圆心到直线的距离为 解得其交点为(1,3);(2,0) 例 3:解法一(利用△):解方程组 消去 y 得: 2x2+2bx+b2-4=0 方程①的判别式 ①
10 ?r? 2 5 所以直线与圆相交。

⊿=(2b)2-4×2(b2-4)=4(2 +b)(2 - b).

当-2 <b<2 时,⊿>0, 直线与圆相交; 当 b=2 当 b>2 或 b=-2 或 b<-2 时, ⊿=0, 直线与圆相切; 时,⊿<0,直线与圆相离。

解法二(利用 d 与 r 的关系):圆 x2+y2=4 的圆心为(0,0),半径为 r=2 圆心到直线的
d? 0?0?b 2 ? b 2

距离为

(1)当-2 (2)当 b=2 (3)当 b>2 达标检测:1,B 5, 解: 由 ? x 2

<b<2

时,d<r, 直线与圆相交 时, d=r, 直线与圆相切 时,d>r,直线与圆相离。

或 b= -2 或 b<-2 2,C

3,B 4,x+y-5=0

消去y ? y2 ? 4 ? 得2 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0

? y ? x ?1

?1 ? 7 ?1 ? 7 , x2 ? 2 2 1? 7 1? 7 ? y1 ? , y2 ? 2 2 ?1 ? 7 1 ? 7 ?1 ? ? A( , ), B ( 2 2 2 ? | AB |? 14 ? x1 ?

7

,

1? 7 ) 2

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