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平面几何中的一些重要定理及其


编号

学士学位论文
平面几何中的一些重要定理及其 应用
学生姓名: 学 系 专 年 号: 部: 业: 级: 如先古力·阿布拉 20040101053 数 学 系 数学与应用数学 2004-(3)班 阿吉木·优勒达希 年 5 月 10 日

指导教师:

完成日期: 2009

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BACHELOR ’S THESIS

摘要
在初等几何中有很多著名的定理,在本论文中主要介绍了其中的梅涅劳斯定 理,德萨格定理,锡瓦定理,斯特瓦尔特定理,托勒密定理,西姆松定理等一些著 名而重要的定理并且通过实例说明了上述定理在平面几何中的一些比较复杂的问 题上具体应用。 关键词:共线点;重心;截线;共点线;垂心。

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目录
摘要 ..................................................................................................................................... 2 目录 ..................................................................................................................................... 3 引言 ..................................................................................................................................... 4 1.梅涅劳斯(MENELAUS)定理 ......................................................................................... 4 2.德萨格(DESARGUES)定理 ........................................................................................... 6 3.锡瓦(CEVA)定理 ......................................................................................................... 9 4.斯特瓦尔特(STEWAVT)定理 ..................................................................................... 11 5.托勒密(PTOLEMY)定理 ............................................................................................. 12 6.西姆松(SIMSON)定理 ............................................................................................... 14 总结 ................................................................................................................................... 16 参考奉献 ........................................................................................................................... 17 致谢 ................................................................................................................................... 18

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引言
几何学是一门非常古老的数学科学, 它以现实世界的空间形式作为主要研究对 象。几何学起源于土地测量。人们在几千年的历史过程中对几何学进行了繁复而深 入的研究得到了很多的结果,并且现已把几何学发展成为一门具有严密的逻辑体系 的数学分支。人们在研究过程中从少量的公里出发,经过演绎推理在理论和实际方 面得到了不少结论,把这些结论通过了逻辑证明后成为定理,平面几何中有不少定 理,其中有一些很著名的定理。这些定理不仅在初等几何,而且在高等几何,解析 几何射影几何中的应用范围特别广。在这些定理的基础下我们可以推出很完美的数 学思想方法。这些定理的证明方法及其引申出的结论体现了数学的完美,使人感到 学几何是一种享受,使人开阔眼界,活跃思想。下面我介绍一些著名的定理和它们 在实际问题中的具体应用:

1.梅涅劳斯(Menelaus)定理
梅涅劳斯(Menelaus,约公元 100 年)定理是亚历山大后期的数学家和天文学 家,著有“球面论”及几何学,三角学书籍,初等几何中用于证明三点共线的“梅 涅劳斯定理”便是首先发现的,后来他又把这定理推广到球面几何。 定理:一条直线截 ?ABC 的三条边 AB, AC, BC (或其延长线)所得交点分别为

X , Y , Z ,则

AX BZ CY ? ? ? 1. XB ZC YA

证明:如图,注意以 XZ 为底的三角形面积,可得

AX S? AXZ ? XB S? BXZ BZ S? BXZ ? ZC S? CXZ CY S? CXZ ? YA S? AXZ

(1)

A

(2)

X Y

(3)
B C Z

(1) ? (2) ? (2)得

AX BZ CY ? ? ? 1。 XB ZC YA

说明:此定理是证明点共线的有力工具,它有多种证法,例如可利用线段的比

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证之,上面采用的三角形面积法是其中之一。 逆定理:在 ?ABC 的三条边 AB, AC, BC (或其延长线)上分别取点 X , Y , Z ,使

AX BZ CY ? ? ? 1 ,则 X , Y , Z 在同一直线上。 XB ZC YA
证明:延长 ZY 与 AB 相较于点 X ? ,则由梅涅劳斯定理

AX ? BZ CY ? ? ? 1.由 X ?B ZC YA

题义

AX BZ CY ? ? ? 1, XB ZC YA ? AX ? AX ? 且 X , X ? 都在 AB 上 X ?B XB

A

X(X') Y Z

这说明点 X 与 X ? 分别内分线段 AB 所得两 线段的比相等。 故 X 与 X ? 重合,即 X , Y , Z 在同一直线上。
B

C

例 1:设 AD 是 ?ABC 的边 BC 的中线,任作一条直线分别交 AB, AD, AC 与

P, Q, R ,求证:

PB QD RC 成等差数列。 , , PA QA RA PB QD RC PB QD RC ,故 成公差为零的等差 ? ? , , PA QA RA PA QA RA

证明:若 PR / / BC ,则 数列。

若 PR 与 BC 不平行, PR 与 BC 有交点, 则 设交点为 S ,如图,则在 ?ABD 和 ?ADC 中分 别运用梅涅劳斯定理,可得

BS DQ AP DS CR AQ ? ? ? 1, ? ? ? 1, SD QA PB SC RA QD
于是有,

PB QD BS RC QD SC , , ? ? ? ? PA QA SD RA QA SD
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PB RC QD BC ? SC , 而 D 为 BC 的中点,所以 BS ? SC ? 2SD . ? ? ? PA RA QA SD
从而

PB RC QD PB QD RC ,即 成等差数列。 ? ?2 , , PA RA QA PA QA RA
例 2 :如图,⊙和⊙与 ?ABC 的三边所在的三条直线都相切, E, F , G, H 为切

点,并且 EG, FH 的延长线交于 P 点.求证:直线 PA 与 BC 垂直. 证明:延长 PA 交 BC 于点 D 直线 PHF 与 ? ABD 的三边延长线都相交,直线

PGE 与 ?ADC 的三边延长线都相交,由梅涅劳斯定理,有

AH BF DP DP AG CE ? ? ?1, ? ? ?1 BH DF AP AP CG DE
于是

AH BF AG CE , ? ? ? BH DF CG DE
BH ? BF , CE ? CG ,

所以

AH AG . ? DF DE
连接 OG, O1E, O1 A, O2 A, O2 H , O2 F , 1

则 O1 AO2 为一条直线,且

O1G ? GC, O2 H ? BH .又 ?O1 AG 相似于

?O2 AH ,则
直。

OA AG DE 1 ? ? O2A AH DF

, 于是 AD / /O1E ,故 AD ? EF 即直线 PA 与 BC 垂

2.德萨格(Desargues)定理
德萨格(Desargues,1593-1662)法国数学家,射影几何的创始人。 定理:如两个三角形的对应顶点的连线共点,则对应边的交点共线。 分析: ?ABC 和 ?A?B?C ? 中,对应顶点的连线 AA?, BB?, CC? 交于同一点 S ,三
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对对应边 AB 与 A?B? , BC 与 B?C ? , CA 与 C ?A? (所在直线)的交点是 D, E , F . 我们证明 D, E , F 三点共线即可。 证明:直线 A?B?D 与 ?SAB 的三边所在直线 SA, AB, BS 分别交于 A?, D, B? .由 梅涅劳斯定理

SA? AD BB? ? ? ?1, A?A DB B?S

同理可得直线 A?C?F , B?C?E 分别于 ?SCA,

?SBC 交于 C ?, F , A? 和 B?, E , C ? ,
所以

SC? CF AA? SB? BE CC? ? ? ?1, ? ? ?1 C?C FA A?S B?B EC C?S
把上面三式的两边分别相乘得

AD BE CF ? ? ? 1,即 ?ABC 的三边 DB EC FA
AB, BC, CA 所在直线上的点 D, E , F 满足上式, 由梅涅劳斯定理知 D, E , F 在同一直
线上。 德萨格逆定理:设两个三角形

?ABC 和 ?A?B?C ? 彼此对应,使得对应边 BC (所在直线) 与 B?C ? 的交点 L, CA 与 ,

C ?A? 的交点 M,AB 与 A?B? 的交点 N 共线,
则对应顶点的连线 AA?, BB?, CC? 必共点或 互相平行。 证明: 设 O 为 AA? 与 CC ? 的交点, 我 们证明 BB? 也通过点 O 。 在 ?LCC ? 与 ?NAA? 中,由于对应顶 点的连线 LN , CA, C?A? 共点于 M,根据定理本身,下列三点,即 LC 与 NA 的交点 B ,
CC ? 与 AA? 的交点 O , LC ? 与 NA? 的交点 B? 必共线。即是说 BB? 应通过 AA? 和 CC ? 的

交点 O 。
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若 AA? / / CC ? 则 AA? 与 BB? 必不相交,否则根据刚才的证明,CC ? 应通过他们的 交点了,与 AA? / / CC ? 的假设矛盾,所以这时 AA?, BB?, CC? 互相平行。 说明:德萨格定理和它的逆定理在射影几何中占重要地位。此定理的重要意 义不仅在于从它可以推出一系列射影几何命题,还在于它是平面射影几何的基础之 一。此地证明时利用了综合法,也可以用线性代数证明。因此,要构作平面射影几 何公里体系,往往把它作为公理。 例 3.证明三角形的外心,重心和垂心三点共线。 证明:通常这一定理是用比例相似形证明的,而用德萨格定理去证明就及其简 便,现介绍如下: 设 H , G 和 O 分别为 ?ABC 的垂心,重心 和外心。 连接 AG, BG 分别交 BC, CA 于 D, E 。如 图,则 D, E 分别是 BC, CA 的中点于是在
?ABH , ?DEO 中,

因为 AH / / DO, BH / / EO, AB / / DE . 即 ?ABH 与 ?DEO 的三双对应边的交点皆 为无穷远点。故皆在无穷远直线上,则由 德 萨 格 定 理 知 AD, BE 与 HO 共 点 , 而
A D, B E 的交点是重心 G .

故 G 在 HO 上,即垂心,重心和外心 共线。 例 4.证明三角形的三中线共点。 证明:如图,若 ?ABC 的三边中点分 别为 D, E , F , 则 EF / / BC, DE / / AB, DF / / AC .

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对 ?ABC 和 ?DEF ,它们的对应边交点共无穷远直线. 由德萨格逆定理,可 知其对应顶点的连线 AD, BE , CF 共点 O 。

3.锡瓦(ceva)定理
证明共点线除上述方法外,还有一个有力工具,称为锡瓦定理。此定理是意大 利数学家锡瓦(ceva)在 1678 年发表的。 定 理: ?ABC 的顶点与一点 O 所连的直线依次交对 方(所 在直线)于点 XB YC ZA BX CY AZ ? ? ? ?1 或 ? ? ?1 X , Y , Z (如图),则 XC YA ZB XC YA ZB

证明:应用梅涅劳斯定理于 ?AXC 和截线 BOY 得 仿此, ?AXB 被直线 COZ 所截。又得出

XB CY AO ? ? ? ?1 BC YA OX

XC BZ AO ? ? ? ?1 , CB ZA OX BX CY AZ ? ? ? 1. 两端相除得(? CB ? ? BC ) XC YA ZB

逆定理:设在 ?ABC 三边(所在直线) BC , CA, AB 上个取一点 X , Y , Z ,使有
BX CY AZ ? ? ? 1 ,则直线 AX , BY , CZ 平行或共点。 XC YA ZB CY CB ? 证明:如上图,首先 AX / / BY ,则 , YA BX AZ XC ? 代入已知条件得 . 这表明 CZ / / AX / / BY . ZB CB 其次,若 AX 交 BY 于一点 O ,以 Z ? 表示表示直线 CO 于 AB 的交点,

根据定理本身得

BX CY AZ ? AZ AZ ? ? ? ? 1和已知条件比较得 ? . XC YA Z ?B ZB Z ?B

由于出现的都是有向线段,可知 Z ? 和 Z 重合。所以直线 AX , BY , CZ 共点 O 。 说明:本定理出现的比值都是有向线段的比。
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例 5.证明 ?ABC 的个顶点与对边上内切圆切点相连所得三线共点。 证明:考察有向线段之比的积(如图)

BX CY AZ ? ? XC YA ZB
首先观察符号,三个比值都是正的。所以乘 积是正的。其次就线段的长度论,

BX ? ZB, CY ? XC, AZ ? YA ,
所以有

BX CY AZ ? ? ? 1, XC YA ZB

从而 AX , BY , CZ 共点。 (因为 AX , BY , CZ 显然不平行, 例如 BY 和 CZ 被 BC 所 截,所得同旁内角和

?YBC ? ?ZCB ? ?ABC ? ?ACB ? 180? )。
例 6.一圆交 ?ABC 的各边(所在直线)于两点(这两点可能重合) ,设 BC 边 上的交点为 X , X ? , CA 边上的交点为 Y , Y ? , AB 边上的交点为 Z , Z ? , AX , BY , CZ 若 共点,则 AX ?, BY ?, CZ ? 三线共点或平行。 证明:由假设有

BX CY AZ ? ? ? 1. XC YA ZB
但 AY ? AY ? ? AZ ? AZ ? ,即

AZ Y ?A ? . YA AZ ?

仿此有

BX Z ?B CY X ?C ? , ? , ZB BX ? XC CY ?

将最后三个式两端相乘,并适当交换顺序得

BX CY AZ X ?C Y ?A Z ?B ? ? ? ? ? ,此式左端等于 1,颠倒右端分式分母便得 XC YA ZB BX ? CY ? AZ ?

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BX ? CY ? AZ ? ? ? ? 1 ,所以 AX ?, BY ?, CZ ? 共点或平行。 X ?C Y ?A Z ?B
说明:读者考虑怎么样作图,可以使 AX ? / / BY ? / / CZ ? ,而 AX , BY , CZ 共点。

4.斯特瓦尔特(Stewavt)定理
定理: ?ABC 顶点 A 与对边 BC 上任一点 P 间的距离 AP 由下列等式确定:

AB2 ? PC ? AC 2 ? BP ? AP2 ? BC ? BP ? PC ? BC
证明:设 ?APB ? ? ,如图,则

?APC ? 180? ? ? ? AB2 ? AP2 ? PC 2 ? 2PC ? AP ? cos? ,

? AB2 ? PC ? AC 2 ? BP ? AP2 (PC ? BP) ? BP ? PC(BP ? PC )
即 AB2 ? PC ? AC 2 ? BP ? AP2 ? BC ? BP ? PC ? BC 说明:为了便于运用,上面等式可以改写为

AP 2 ? AB 2 ?

PC BP PC BP ? AC 2 ? ? BC 2 ? ? 。 BC BC BC BC

根据斯特瓦尔特定理,我们可以推到三角形的中线,高,内外角平分线的计 算公式。 在 ?ABC 中,设三边长分别为 a, b, c ,过顶点 A 的中线,高线,内外角平分

? 线分别为 ma , ha , ta , ta ,令 ?ABC 的半周长为 s ?
ma ? ha ? ta ? 1 2(b2 ? c 2 ) ? a 2 2 2 s( s ? a)( s ? b)(s ? c) a 2 bcs( s ? a) b?c
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1 (a ? b ? c) ,则有 2

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? ta ?

1 bc( s ? b)( s ? a) b?c

例 7.证明:平面上任意一点到三角形三顶点距离平方之和,当这一点与三角 形重心重合时,其值为最小。 证明:如图,设 G 为 ?ABC 的重心, D 为 BC 的中点, M 为平面上的任意一 点。 在 ?MAD 中,运用斯特瓦尔特定理,得

1 2 2 MG 2 ? MA2 ? MD 2 ? AD 2 3 3 9
在 ?MBC 和 ?ABC 中运用中线式,得

A

M

MD 2 ?

1 1 ( MB 2 ? MC 2 ) ? BC 2 2 4
B

G D C

1 1 AD 2 ? (b2 ? c 2 ) ? a 2 2 4
代入上式得:

1 2 ?1 1 1 ? ? 2 ?1 MG 2 ? MA2 ? ? (MB2 ? MC 2 ) ? BC 2 ? ? ? (b2 ? c 2 ) ? a 2 ? 3 3 ?2 4 4 ? ? 9 ?2
1 1 ? ( MA2 ? MB 2 ? MC 2 ) ? (a 2 ? b2 ? c 2 ) 3 9 1 ? MA2 ? MB 2 ? MC 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 3MG 2 3
显然, MG ? 0 时,即 M 与 G 重合时, MA2 ? MB2 ? MC 2 的值最小。

5.托勒密(ptolemy)定理
托勒密(ptolemy,约公元 85-165 年)是古代天文学的集大成者。一般几何教 科书的“托勒密定理” ,实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书 中摘出。从这个定理可以推出正弦,余弦的和差公式及一系列的三角恒等式。 定理:圆内接四边形中两对角线乘积等于两双对边乘积之和. 证明:从圆内接四边形 ABCD 的一个顶点,例如 A,作
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射线 AE 交 BD 于 E (如图)

?BAE ? ?CAD ,
在 ?ABE 和 ?ACD 中,除上两角相等外, 还有 ?ABE ? ?ACD , 所以 ?ABE ~ ?ACD ,从而 即 AB ? CD ? AC ? BE

AB BE . ? AC CD

(1)

在 ?ABC 和 ?AED 中,除 ?ACB 和 ?ADE 对同弧外,还有

?BAC ? ?BAE ? ?EAC ? ?CAD ? ?EAC ? ?EAD .
于是 ?ABC ~ ?ADE ,从而 将(1)和(2)式相加得

AC BC ,即 AD ? BC ? AC ? ED ? AD ED

(2)

AB ? CD ? AD ? BC ? AC( BE ? ED) ? AC ? BD .证完。
说明: (1)托勒密定理可以如下推广: “在凸四边形 ABCD 中 AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD , 当且仅当四边形是圆内接四 边形时,等号成立。 ” (2)托勒密定理逆定理也成立。 逆定理:如果一个四边形中两个对角线乘积等于两双对边乘积之和,那么这个 四边形是圆内接四边形。 例 8.如图, x, y , z 为 ?ABC 的外心 O 到三边的距 离, R, r 分别为 ?ABC 的外接圆和内接圆半径。求证:

x? y?z ? R?r。
证明:连接 OB, DF ,记 ? ABC 三边长

AB ? c, BC ? a, CA ? b ,
则 DF ?

1 b, OB ? R ,因 O, F , B, D 四点共圆。由托勒密定理得 2

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1 1 1 BD ? DF ? BF ? OD ? BO ? DF ,即 az ? cx ? R ? b , az ? cx ? R ? b 2 2 2
同理 ay ? bx ? R ? c , bz ? cy ? R ? a , 又 S?ABC ?

1 r (cz ? ax ? by ) ? (a ? b ? c) ,即 cz ? ax ? by ? r (a ? b ? c) 2 2

上述四式相加即得结论 x ? y ? z ? R ? r 。 例 9.如图,已知正七边形为

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 ,
求证:

1 1 1 ? ? A1 A2 A1 A3 A1 A4

分析:由正七边形的性质,设

A1 A2 ? a, A1 A3 ? b, A1 A4 ? c ,则原式相当于
bc ? ab ? ac 。于是在正七边形中选出某四
个点组成四边形且其四条边为 a, a, b, c ,对 角线为 b, c 证明:由正七边形的性质,设边长为 a ,隔一点的对角线长为 b ,隔两点的对 角线长为 c ,在四边形 A1 A3 A4 A5 中,

A3 A5 ? A1 A3 ? b, A3 A4 ? A4 A5 ? a, A1 A5 ? A1 A4 ? c
由托勒密定理知 b ? a ? a ? c ? b ? c , 两边同除以 abc ,得

1 1 1 1 1 1 ? ? ,即 ; ? ? a b c A1 A2 A1 A3 A1 A4

6.西姆松(simson)定理
19 世纪时, 通常认为西姆松线是 simson (1687-1768) 发现的, 所以叫做 simson 线,但后来经过 Maskay(玛开)研究核实,才知道这条直线 Wallace 于 1797 年首 先发现的。Simson 发现的说法是误传,但通称为 Simson 线已很久,所以至今仍沿
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用这习惯名称。 定理:三角形外接圆周上任意一点在三边(所在直线)上的射影共线。 分析:如图, P 是 ?ABC 外接圆周上任一点, X , Y , Z 是 P 在直线 BC, CA, AB 上的射影,即作过 P 垂直于 BC, CA, AB 的直线时,垂足分别是 X , Y , Z ,现在我们 只证明 X , Y , Z 三点共线即可。 证明:不妨设 P 在 BC 弧上,连接
A

XY , XZ , PB, PC .? PY ? CA, PX ? BC ? P, C, Y , X 四点共圆,所以 ?PCA ? ?PXY ? 180?
同样,? PX ? BC, PZ ? AB
B Z P X Y C

? P, X , B, Z 四点共圆,又已知 P, B, A, C 四点共
圆.

??PXZ ? ?PBZ ? ?PCA

? ?PCA ? ?PXY ? 180? 所以 X , Y , Z 三点共线。
说明:这条直线通常叫做点 P 关于 ?ABC 的 simson 线。 例 10.设 ?ABC 的三边高线 AD, BE, CF 的高线足分别为 D, E , F ,从点 D 作

AB, BE, CF , AC 的垂线,垂足分别为 P, Q, R, S ,则 P, Q, R, S 在同一直线上。
证明:如图设 ?ABC 的垂心为 H ,则

A

F P Q R

E S

?HEC ? 90? ? ?HDC .所以 H , D, C, E 四点
共圆,即 D 在 ?HCE 的外接圆上。 Q, R, S 分 别是 D 在 HE, HC, CE 上的射影。

B

D

C

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所以 Q, R, S 三点在一直线上(simson 线) 。 同理可证 D 在 ?FBH 的外接圆上三点 P, Q, R 在点 D 关于 ?FBH 的 simson 线。 综上所证, P, Q, R, S 在同一直线上

总结
平面几何中有很多重要定理,其中许多可以用于高等几何,射影几何中的一些 定理来证明十分简单,有些定理有好几种证明方法。 上述是其中最著名的几个定理,它们的应用范围特别广,有些很复杂的例题当 中利用这些定理问题变得极其简单。有些问题不利用这些定理甚至都无法解决。这 些定理不但提高我们的思考,解决问题能力,还会在我们发现新问题过程中起到很 重要的作用。

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参考文献
[1] 张雪霖.西姆松定理的应用.数学通讯(1998.3) ,[J].湖北省数学学会,武汉 数学学会,华中师范大学合编(第 5-6 页) [2] 高中数学奥林匹克竞赛教程, [M].浙江教育出版社, 浙江省教育学会分会编写. (第 243-248 页) [3] 朱德祥,高等几何,[M].高等教育出版社.(第 128-129 页) [4] 朱德祥,初等几何研究,[M].高等教育出版社. (第 60-63 页,第 68-71 页,第 96-97 页) [5] 王林全,郭宝熙,初等几何研究教程,[M]. (第 111 页,第 127-128 页,第 133-134 页,第 265-267 页) [6] 悔 向 明 , 刘 增 贤 , 王 汇 淳 , 王 智 秋 , 高 等 几 何 ,[M]. 高 等 教 育 出 版 社 . (第 24-27 页) [7] H.S.M 考克塞特,S.L.格雷策著,几何学的新探索,[M].北京大学出版社. (第 78-81 页) [8] 1998 年初中数学竞赛,[M].中学(1998.3). (第 35-38 页)

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致谢
在喀什师范学院的教育下经过五年的学习, 使我在做人做事各个方面得到了很 大的提高。 在老师的指导下我的毕业论文顺利通过,他帮我批阅了好多次,提供了这方面 的资料和很好的意见,非常感谢他的帮助,在老师耐心的指导下,我学会了论文的 三步骤:怎么样开头,怎样继续,怎样结束。 非常感谢指导老师,也非常感谢我系的个位老师,在他们的教育下,使我在个 方面得到了很大的提高,为以后工作打下了良好的基础。 此致

敬礼 如先古力.阿布拉 2009 年 05 月 10 日

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