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2016届高考数学复习 第六章 第三节 等比数列及其前n项和 理(全国通用)


第三节

等比数列及其前n项和

考点一 等比数列中的运算问题 1.(2015·新课标全国Ⅱ,4)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7 =( A.21 ) B.42 C.63 D.84
2 4

解析 设等比数列{an}的公比为 q,则由 a1=3,a1+a3+a5=

21 得 3(1+q +q )=21,解 得 q =-3(舍去)或 q =2,于是 a3+a5+a7=q (a1+a3+a5)=2×21=42,故选 B. 答案 B 2.(2014·重庆,2)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( A.a1,a3,a9 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列
2 2 2 2

)

解析 由等比数列的性质得,a3·a9=a6≠0,因此 a3,a6,a9 一定成等比数列,选 D. 答案 D 3.(2013·江西,3)等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A.-24 B.0
2

)

C.12

D.24

解析 由题可得(3x+3) =x(6x+6), 解得 x=-3 或 x=-1(舍),故第四项为-24. 答案 A 4.(2015·安徽,14)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的 前 n 项和等于________. 解析 由等比数列性质知 a2a3=a1a4, 又 a2a3=8, a1+a4=9,所以联立方程?
? ?a1=1, ?a4=8 ? ? ?a1=8, ?a4=1, ? ?a1a4=8, ?

?a1+a4=9, ?



得?

或?

又数列{an}为递增数列,∴a1=1,a4=8,从而 a1q =8,∴q=2.
n

3

1-2 n ∴数列{an}的前 n 项和为 Sn= =2 -1. 1-2 答案 2 -1 5.(2014·江苏,7)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值 是________.
1
n

解析 设等比数列{an}的公比为 q, q>0.则 a8=a6+2a4 即为 a4q =a4q +2a4, 解得 q =2(负 值舍去),又 a2=1,所以 a6=a2q =4. 答案 4 6.(2012·浙江,13)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3a2+2,S4= 3a4+2,则 q=________. 解析 由 S2=3a2+2,S4=3a4+2 作差可得 a3+a4=3a4-3a2,即 2a4-a3-3a2=0,所以 3 2 2q -q-3=0,解得 q= 或 q=-1(舍). 2 答案 3 2
4

4

2

2

7.(2014·新课标全国Ⅱ,17)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1.
? 1? (1)证明?an+ ?是等比数列,并求{an}的通项公式; 2? ?

1 1 1 3 (2)证明 + +…+ < . a1 a2 an 2 1? 1 ? 证明 (1)由 an+1=3an+1 得 an+1+ =3?an+ ? 2? 2 ? 1 3 又 a1+ = , 2 2
? 1? 3 所以?an+ ?是首项为 , 2? 2 ?

公比为 3 的等比数列.

an+ = ,因此{an}的通项公式为 an=
1 2 (2)由(1)知 = n . an 3 - 1 因为当 n≥1 时,3 -1≥2×3
n n-1

1 3 2 2

n

3 -1 . 2

n

1 1 ,所以 n ≤ n-1. 3 -1 2×3

1 1 1 1 1 于是 + +…+ ≤1+ +…+ n-1 a1 a2 an 3 3 1? 3 3? = ?1- n?< . 2? 3 ? 2 1 1 1 3 所以 + +…+ < . a1 a2 an 2 8.(2013·陕西,17)设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. (1)解 设{an}的前 n 项和为 Sn,

2

当 q=1 时,Sn=a1+a1+…+a1=na1; 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q +…+a1q
2

n-1

,①

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②
①-②得,(1-q)Sn=a1-a1q , ∴Sn=
n

a1(1-qn) , 1-q ?na1,q=1,

∴Sn=?a1(1-qn) ,q≠1. ? ? 1-q (2)证明 假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N+, (ak+1+1) =(ak+1)(ak+2+1),
2

?

a2 k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
2k k k-1 k+1 k+1 k+1 a2 ·a1q +a1q +a1q , 1q +2a1q =a1q

∵a1≠0,∴2q =q
2

k

k-1

+q

k+1

.

∵q≠0,∴q -2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾, ∴数列{an+1}不是等比数列. 考点二 等比数列的性质 1. (2014·大纲全国, 10)等比数列{an}中, a4=2, a5=5, 则数列{lg an}的前 8 项和等于( A.6 B.5 C.4 D.3
4 4

)

解析 lg a1+lg a2+…+lg a8=lg(a1·a2·…·a8)=lg(a4·a5) =lg(2×5) =4,故选 C. 答案 C 2. (2012·安徽, 4)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数, 且 a3a11=16, 则 log2a10=( A.4 B.5
n-1

)

C.6 ,且 a1>0,

D.7

解析 由题意可设 an=a1×2 1 ∵a3a11=16,∴a1= , 16

1 9 5 ∴log2a10=log2 ×2 =log22 =5,故选 B. 16 答案 B 3.(2014·天津,11)设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1,

S2,S4 成等比数列,则 a1 的值为________.
3

1 2 2 解析 由已知得 S1·S4=S2,即 a1·(4a1-6)=(2a1-1) ,解得 a1=- . 2 1 答案 - 2 4.(2014·广东,13)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e ,则 ln a1+ln a2 +…+ln a20=________. 解析 由等比数列的性质可知 a10a11+a9a12=2e ? a1a20=e ,于是 a1a2…a20=(e ) =e , ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20)=ln e =50. 答案 50 5.(2015·湖南,14)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3 成等差数 列,则 an=________. 解析 由 3S1,2S2,S3 成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得 a3=3a2,∴公比 q=3,故等比 数列通项 an=a1q 答案 3
n-1 n-1
50 5 5 5 10 50 5

=3

n-1

.

1 6.(2011·北京,11)在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,则公比 q=________;|a1|+ 2 |a2|+…+|an|=________.

a4 1 3 n-1 解析 ∵q = =-8,∴q=-2,则 an= ×(-2) , a1 2
1 n (1-2 ) 2 1 1 n-2 n-1 ∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= +1+2+…+2 = =2 - . 2 1-2 2 答案 -2 2
n-1

1 - 2
2

7.(2011·新课标全国,17)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列? ?的前 n 项和. ?bn?



(1)设数列{an}的公比为 q.
2 2 2

由 a3=9a2a6,得 a3=9a4, 1 2 所以 q = . 9 1 由条件可知 q>0,故 q= . 3 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,

4

1 所以 a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an =-(1+2+…+n) =-

n(n+1)
2 2

, 1 1 =-2( - ), n n+1

1 故 =-

bn

n(n+1)

1 1 ?? 1? ?1 1? + +…+ =-2??1- ?+? - ?+…+ b1 b2 bn ?? 2? ?2 3? 1

?1- 1 ??=- 2n . ?n n+1?? n+1 ? ??
?1? 2n 所以数列? ?的前 n 项和为- . b n n +1 ? ?

考点三 等比数列的综合应用 1.(2014·安徽,12)数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数 列,则 q=________. 解析 法一 因为数列{an}是等差数列,所以 a1+1,a3+3,a5+5 也成等差数列,又 a1 +1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,所以 a1+1,a3+3,a5+5 是常数列,故 q =1. 法二
2

因为数列{an}是等差数列,所以可设 a1=t-d,a3=t,a5=t+d,故由已知得(t
2

+3) =(t-d+1)(t+d+5),得 d +4d+4=0,即 d=-2,所以 a3+3=a1+1,即 q= 1. 答案 1 1 n * 2.(2013·湖南,15)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1) an- n,n∈N ,则: 2 (1)a3=________; (2)S1+S2+…+S100=________. 1 n 解析 (1)∵Sn=(-1) an- n. 2 1 当 n=3 时,a1+a2+a3=-a3- ,① 8 1 当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=a4- , 16
5

1 ∴a1+a2+a3=- ,② 16 1 由①②知 a3=- . 16 1 n (2)∵Sn=(-1) an- n 2 1 ? ?S =a -2 , ①当 n 为奇数时,? 1 ? ?S =-a -2 ,
n+1 n+1 n+1 n n n

两式相减得

an+1=an+1+an+
∴an=- 1 2
n+1

1 2

n+1




n+1 n+1 n+1

1 ? ?S =-a -2 ②当 n 为偶数时,? 1 ?S =a -2 , ?
n n n



1 两式相减得 an+1=-an+1-an+ n+1, 2 1 1 即 an=-2an+1+ n+1= n, 2 2

n+1 ?1? ? - ? ? ? ?2? ,n为奇数, 故 a =? n ?1? ,n为偶数. ? ? ? ??2?
n

1 ? ?- n+1,n为奇数, ∴Sn=? 2 ? ?0,n为偶数. ∴S1+S2+…+S100 1? ?1 1 1 =-? 2+ 4+ 6+…+ 100? 2 ? ?2 2 2 1 1? 1- 100? ? ? 4? 2 ? 1? 1? =- =- ?1- 100? 1 3? 2 ? 1- 4 1? 1 ? = ? 100-1?. 3?2 ? 1 答案 (1)- 16 1? 1 ? (2) ? 100-1? 3? 2 ?

3.(2015·湖北,18)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公比为 q,
6

已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
? ?10a1+45d=100, ? ?2a1+9d=20, (1)由题意有,? 即? ?a1d=2, ?a1d=2, ? ?

an bn



? ? ? ?a1=1, ? ?an=2n-1, ? 解得 或? 2 故? 或 n-1 ?d=2 ? ? ?bn=2 ?d= .
a1=9,
9

?

1 ? ?a =9(2n+79), ? n-1 ?2? b =9·? ? . ? ? ?9?
n n

(2)由 d>1,知 an=2n-1,bn=2

n-1

2n-1 ,故 cn= n-1 ,于是 2

Tn=1+ + 2+ 3+ 4+…+

3 2

5 2

7 2

9 2

2n-1 n-1 ,① 2

1 1 3 5 7 9 2n-1 Tn= + 2+ 3+ 4+ 5+…+ n .② 2 2 2 2 2 2 2 ① -②可得

1 1 1 1 2n-1 2n+3 2n+3 Tn=2+ + 2+…+ n-2- n =3- n ,故 Tn=6- n-1 . 2 2 2 2 2 2 2

7


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