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清华附中创新班竞赛选修课第一讲 数论选讲


数学竞赛选修课

第一讲 数论选讲
(清华附中创新班) 2015.3

1.有 3 只篮子中各装有一些李子、桃子和苹果.每个篮子中的李子个数恰好是其他篮子中的 桃子个数的总和,每个篮子中的桃子个数恰好是其他篮子中的苹果个数的总和,求证:这些水 果的总数是 7 的倍数.

2.(1) 若正整数 n 满足 (n + 3) | 5n ,求 n 的所有可能值

(4n - 1) | 2002n ,那么 n 的所有可能值有哪些? (2) n 是大于 30 的自然数,且

(3) n 是大于 1 的自然数,且 (3n - 4) | (8n +15) ,那么 n 的所有可能值有哪些?

(4) n 是大于 1 的自然数,且 (200n - 999) | n2 ,那么 n 的所有可能值有哪些?

3.用 2010 除以 A 得到的商和余数相同,试写出 A 的所有可能取值.

4.数列 A:1,3,9,27,81,…… 数列 B:1,3,6,10,15,……当 n 取 1 到 2013 时, 有多少个 n 的值使得这两个数列的前 n 项和除以 7 的余数相同.

5.一个自然数的平方除以 1001 的余数有多少种?其中最大的是?

6.(1) 若一个自然数共有 6 个约数,并且这 6 个约数的乘积在 1000 到 5000 之间,求这个自 然数. (2) 若 n 的约数从大到小排列的第 3 个是 66,求 n.

7.两个正整数的和是 667,最小公倍数是最大公约数的 120 倍,求这两个正整数.

8.设 p、q 是任意两个大于 100 的质数,那么 p2 - 1 和 q 2 - 1 的最大公约数是最小是多少?

2 ( 3) = 3 ,求证 3 不是有理数. 9.已知

10.设 p 是大于 5 的质数,并且 2 p +1 也是质数,求证 4 p +1 是合数.


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