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高中物理竞赛培训教材


高中物理竞赛培训教材 目
第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲 第九讲 第十讲 第十一讲 第十二讲 第十三讲 第十四讲 第十五讲 第十六讲 第十七讲 第十八讲 第十九讲 第二十讲 第二十一讲 第二十二讲



力的处理……………………………………………………………… (2) 力矩和力矩平衡…………………

…………………………………… (5) 直线运动 …………………………………………………………… (15) 相对运动……………………………………………………………… (29) 关联速度……………………………………………………………… (40) 力…………………………………………………………………………(55) 摩擦角及其它……………………………………………………………(65) 一般物体的平衡稳度………………………………………………… (76) 牛顿定律……………………………………………………………… (85) 万有引力 天体的运动………………………………………………… (94) 功和能………………………………………………………………… (104) 功能原理和机械能守恒定律………………………………………… (122) 动量和能量…………………………………………………………… (129) 机械振动和机械波…………………………………………………… (146) 热力学基础…………………………………………………………… (154) 原子物理…………………………………………………………… (160) 电场…………………………………………………………………… (184) 静电场中的导体与电介质…………………………………………… (201) 电路…………………………………………………………………… (215) 磁场对电流的作用和电磁感应……………………………………… (224) 带电粒子在电磁场中的运动…………………………………………(234) 交流电、电磁振荡、电磁波……………………………………………(242)

第一讲 力的处理
一、矢量的运算 1、加法 表达: a + b = c 。 名词: c 为“和矢量”。 法则:平行四边形法则。如图 1 所示。 和矢量大小:c = α 为 a 和 b 的夹角。 和矢量方向: c 在 a 、 b 之间,和 a 夹角 β= arcsin 2、减法 表达: a = c - b 。 名词: c 为“被减数矢量”, b 为“减数矢量”, a 为“差矢 量”。 法则:三角形法则。如图 2 所示。将被减数矢量和减数 矢量的起始端平移到一点,然后连接两时量末端,指向被减 数时量的时量,即是差矢量。 差矢量大小:a =

?

?

?

?

a 2 ? b 2 ? 2ab cos ? ,其中

?

?

?

?

?

?

b sin ? a ? b 2 ? 2ab cos ?
2

?

?

?

?

?

?

? ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ,其中 θ 为 c 和 b 的夹角。

差矢量的方向可以用正弦定理求得。 一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。 例题:已知质点做匀速率圆周运动,半径为 R ,周期为 T ,求它在 内的平均加速度大小。 解说:如图 3 所示,A 到 B 点对应 到 C 点对应

1 1 T 内和在 T 4 2

1 T 的过程,A 4

1 T 的过程。这三点的速度矢量分别设为 2

? ? ? vA 、 vB 和 vC 。
根据加速度的定义

? ? vt ? v0 ? ? 得 : a AB = a = t

? ? ? ? vC ? vA vB ? vA ? , a AC = t AB t AC
由于有两处涉及矢量减法,设两个差矢量 ?v1 = v B - v A , ?v 2 = v C - v A ,根

?

?

?

?

?

?

据三角形法则,它们在图 3 中的大小、方向已绘出( ?v 2 的“三角形”已被拉伸成一条直 线) 。 本题只关心各矢量的大小,显然:

?

vA = vB = vC =

2?R , 且:?v1 = T

2 vA =

2 2 ?R 4?R ,?v 2 = 2 v A = T T

所以: a AB =

?v 1 t AB

2 2?R 4?R ?v 2 8 2 ?R 8?R T = = , a AC = = T = 。 2 T T t AC T T2 4 2

观察与思考:这两个加速度是否相等,匀速率圆周运动是不是匀变速运动? 3、乘法 矢量的乘法有两种:叉乘和点乘,和代数的乘法有着 质的不同。 ⑴ 叉乘 表达: a ×b = c 名词: c 称“矢量的叉积”,它是一个新的矢量。 叉积的大小:c = absinα,其中 α 为 a 和 b 的夹角。 意义: c 的大小对应由 a 和 b 作成的平行四边形的面积。 叉积的方向: 垂直 a 和 b 确定的平面, 并由右手螺旋定则确定方向, 如图 4 所示。 显然, a ×b ≠ b ×a ,但有: a ×b = - b ×a ⑵ 点乘

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ?

? ?

? ?

b 表达: a · = c
名词:c 称“矢量的点积”,它不再是一个矢量,而是一个标量。 点积的大小:c = abcosα,其中 α 为 a 和 b 的夹角。 二、共点力的合成 1、平行四边形法则与矢量表达式 2、一般平行四边形的合力与分力的求法 余弦定理(或分割成 RtΔ)解合力的大小 正弦定理解方向 三、力的分解 1、按效果分解 2、按需要——正交分解

? ?

?

?

第二讲 力矩和力矩平衡
力矩是表示力对物体产生转动作用的物理量, 是物体转动转动状态改变的原因。 它等于力和力臂的乘积。表达式为:M=FL,其中力臂L是转动轴到F的力线的(垂 直)距离。单位: Nm 效果:可以使物体转动. 正确理解力矩的概念 力矩是改变转动物体的运动状态变化的物理量,门、窗等转动物体从静止状态 变为转动状态或从转动状态变为静止状态时,必须受到力的作用。但是,我们若将 力作用在门、窗的转轴上,则无论施加多大的力都 不会改变其运动状态,可见转 动物体的运动状态的变化不仅与力的大小有关, 还受力的方向、 力的作用点的影响。 力的作用点离转轴越远,力的方向与转轴所在平面越趋于垂直,力使转动物体运动 状态变化得就越明显。物理学中力的作用点和力的作用方向对转动物体运动状态变 化的影响,用力矩这个物理量综合表示,因此,力矩被定义为力与力臂的乘积。力 矩概括了影响转动物体运动状态变化的所有规律,力矩是改变转动物体运动状态的 物理量。 力矩是矢量,在中学物理中,作用在物体上的力都在同一平面内,各力对转轴 的力矩只能使物体顺时针转动或逆时针转动,这样,求几个力矩的合力就简化为代 数运算。 力对物体的转动效果 使物体转动改变的效果不仅跟力的大小有关,还跟力臂有关,即力对物体的转 动效果决定于力矩。①当臂等于零时,不论作用力多么大,对物体都不会产生转动 作用。②当作用力与转动轴平行时,不会对物体产生转动作用,计算力矩,关键是 找力臂。需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离,而不是转动轴到力的作用点的 距离。 大小一定的力有最大力矩的条件: ①力作用在离转动轴最远的点上; ②力的方向垂直于力作用点与转轴的连线。 力矩的计算: ①先求出力的力臂,再由定义求力矩M=FL 如图中,力F的力臂为LF=Lsinθ 力矩M=F?L sinθ ②先把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向分解, 平行于杆的分力对杆无转动效果, 力矩为零;平行于杆的分力的力矩为该分力的大小与杆长的乘积。 如图中,力F的力矩就等于其分力F1产生的力矩,M=F sinθ?L 两种方法不同,但求出的结果是一样的,对具体的问题选择恰当的方法会简化解题 过程。
F L θ LF θ L F1 θ F F2

明确 转轴很 重要: 转轴:物体转动时,物体上的各点都沿圆周运动,圆周的中心在同一条直线上, 这条直线叫转轴。

特点:①物体中始终保持不动的直线就是转轴。 ②物体上轴以外的质元绕轴转动,转动平面与轴垂直且为圆周,圆心在 轴上。 ③和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。

大多数情况下物体的转轴是容易明确的,但在有的情况下则需要自己来确定转 轴的位置。如:一根长木棒置于水平地面上,它的两个端点为AB,现给B端加一个 竖直向上的外力使杆刚好离开地面,求力F的大小。在这一问题中,过A点垂直于杆 的水平直线是杆的转轴。象这样,在解决问题之前,首先要通过分析来确定转轴的 问题很多,只有明确转轴,才能计算力矩,进而利用力矩平衡条件。 有固定转动轴物体的平衡 转动平衡:有转动轴的物体在力的作用下,如果保持静止或匀速转动状态,我 们称这个物体处于转动平衡。 注意:作用于同一物体的同一力,由于所取转轴的位置不同,该力对轴的力矩大小 可能发生相应的变化,对物体产生转动作用的方向(简称“转向”)也可能不同。例如如 右图中的力 F, 若以 o1 为轴 (即对 o1 取矩) 其力矩为 M1=FL1, 使物体逆时针转, 若以 o 2 为轴(即对 o 2 取矩)其力矩为 M2=FL2,使物体顺时针转,由图可知 L1< L2,故 M1< M2, 且二者反向。由此可见,一谈力矩,必须首先明确是以何处为轴,或对谁取矩。 平衡条件:作用于物体上的全部外力对固定转动轴所取力矩的代数和为零。 沿着转轴观察,力矩的转动效应不是使物体沿顺时针转,就是逆时针转,若使物体 沿顺时针转的力矩为正,则使物体沿逆时针转的力矩就为负。 可以将力分解带沿杆和垂直于方向沿杆的分力力矩为零 (或者垂直于面和平行与面 或者轴,其中平行与面或者轴的分力力矩为零) 当作用在有固定转动轴物体上的顺时针方向力矩之和与逆时针方向力矩之和相等 时,物体将处于静止或匀速转动状态。有固定转动轴物体的平衡的表达式为:

? M ? O或 ? M ? ? ? M ?
作用在物体上的大小相等.方向相等.作用线平行的两个力组成一个力偶。它对物体 只有转动作用,其大小积为力偶距:力偶距=力× 力偶臂.力偶臂等于两个力作用线间的 距离.力偶距的正负也由它使物体转动方向来确定;逆时针为正,顺时针为负。 (3)解决实际问题的步骤; (a)确定研究对象——哪个物体; (b)分析状态及受力——画示意图;分析研究对象的受力情况,找出每一 个力的力臂,分析每一个力矩的转动方向; (c)列出力矩平衡方程:∑M=0或∑M顺=∑M逆; (d)解出字母表达式,代入数据; (e)作必要的讨论,写出明确的答案。

(4)一般物体的平衡条件 此处所谈的“一般物体”是指没有固定转动轴物体。 对一个“一般物体”来说,作用在它上面的力的合力为零,对任意一点的力矩之和为 零时,物体才能处于平衡状态。也就是说必须一并具有或满足下面两个关系式:

?? M ? 0(对任意转轴) ? ? ? ?? F ? 0 ?
注意:∑M=0 或∑M 顺=∑M 逆,方程转轴可以根据需要可以任意选取,一般原则是尽 量多的力力臂为零,或者让未知的力的力矩为零. 例题分析: 例题 1: 如图:BO 是一根质量均匀的横梁,重量 G1=80N,BO 的一端安在 B 点,可 绕通过 B 点且垂直于纸面的轴转动,另一端用钢绳 AO 拉着横梁保持水平,与钢绳的夹
o 角 ? ? 30 ,在横梁的 O 点挂一个重物,重要 G2=240N,求钢绳对横梁的拉力 F1:

(1)本题中的横梁是一个有固定转动轴的物体; (2)分析横梁的受力:拉力 F1,重力 G1,拉力 F2; (3)找到三个力的力臂并写出各自的力矩:

F1 的力矩: F1l sin ? 矩: G 2 l

G1 的力矩:G1

l 2

F2 的力

解:据力矩平衡条件有:

F1l sin ? ? G1

G ? 2G 2 l ? G2 l ? 0 由此得: F1 ? 1 ? 560 N 2 2 sin ?

例题 2:如右上图,半径为 R 的均匀圆柱体重 30 N,在水平绳的拉力作用下,静止于固 定斜面上,求:(1)绳子的拉力,(2)斜面对圆柱体的支持力,(3)斜面对圆柱体的摩擦力。 解析:如右下图,圆柱体受重力、斜面的支持力和摩擦力、绳拉力四个力。此四力 不是共点力。不可以将绳拉力 T,摩擦力 f 平移到柱体重心处。用共点力平衡条件解决 较繁(将斜面对柱体的支持力 N 和摩擦力 f 合成为一个力 F,则 F、T、G 共点,然后再 将 R 分解求得 N、f) 。用力矩解决较好。 取接触点为轴, 由力矩平衡有: T(R+Rcos370)=GRsin370,



T?

G ? 10N 3 , f ?R? G ? 10N 3 ;

取柱心为轴,有 TR=fR,得

再取拉力作用点为轴,有 NRsin370=f(R+Rcos370), 得 N=G=30N。

例题 3: 如图所示, 光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球 A 和 B 两球之间连有弹簧, 平衡时圆心 O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为 α 和 β,求两球质量之比。
O A α β B N1 A
O A α β B

N2 O α β B m2g N1


N3

m1g

解析:此题可以分别分析小球 A、B 所受共 点力,对每个球列共点力平衡方程求解,但是很繁琐。若换一个角度,以 O 为轴用力矩 求解则较方便。如右下图,小球 A 受到 N1、N2、 m1g 三个力作用,B 受到 N1’、N3、 m2g 三个力作用。与弹簧一起看作绕过 O 点的转动轴平衡问题,其中 N2、N3 没有力臂, N1 和 N1’的力矩互相抵消。于是有:m1gRsinα=m2gRsinβ,所以有:

m1 sin? ? 。 m 2 sin?

例题4:一块均匀木板MN长L=15m,重G1=400N,搁在相距D=8m的两个支架A、 B上,MA=NA,重G2=600N的人从A点向B点走去,如图所示。求:①人走过B点 多远木板会翘起来?②为使人走到N点时木板不翘起来,支架B应放在离N多远处? 2.67m 、3m

分析和解: 当木板刚翘起来时, 板的重力对 B 点产 生的力矩和人的重力对 B 点产生的力矩使板平衡, 设人 走过 B 端 L 时木板会翘起来,则有 400 ? 4 ? 600 ? LB 可解得 LB=2.67m, 同理,

可 设 当 人 走 到 N 端 木 板 刚 要 翘 起 来 时 , B 支 架 和 N 端 的 距 离 为 LBN 则 有

400 ? (7.5 ? LBN ) ? 600 ? LBN

可得 LBN=3m

例题 5:. 在光滑水平面上有一滑块,滑块上放有一个上端有固定转动轴的木棒,如图 1。 现用水平力 F 向右推滑块,但滑块仍静止。试分析滑块对木棒的弹力的变化情况。

分析与解答: 先应弄清施力 F 前的情况;因为滑块静止,目水平面是光滑的,所以木棒对滑块只有

竖直向下的压力

,而无摩擦力。由牛顿第三案律可知,滑块对木棒也只有支持力(弹

力) 。再以木棒为研究对象,对于其转动轴,木棒所受的弹力 N 的力距与木棒的重 力距平衡,如图 2(a)所示。 施力 F 点,同样由滑块静止可知,木棒对滑块向左的静摩擦力 ,以与力 F 平衡。则滑

块对木棒也有水平向右的静摩擦中 。这样,以木棒为研究对象,对转动轴又增加了 一个摩擦力 f 的逆时针方向的力距,如图(b),而木棒的重力对轴的顺时针方向的力距大 小是不变的,故木棒所受滑块施的弹力将减小。 [本题交替以滑块和木棒为研究对象,结合物体的平衡条件进行受力分析,正是要求的 解题能力] 例题 6: 如图 3 所示,有固定转动轴 0 的轻板与竖直墙之间夹着一个光滑重球。在板的 端点绝竖直向上的力 F,使整个装置处于平衡。若缓慢使板与竖直墙的夹角 θ 增大(仍小 于 90o),则力 F 及其对轴 o 的力距 M 各将如何变化?

分析与解答: 以木板为研究对象, F 对轴 o 的力距与球对木板的正压力 N 对轴的 力 力距平衡,因此力 F 对轴 o 的力距 M 的变化情况,取决于弹力 N 对轴 o 的力距变化情 况, 其变化规律如何呢?这就要转移以光滑球的研究对象并应注意抓住球的重力 G 和半 径 R 这两个不变的因素。设球与板接触点到轴 o 的距离为 X, 可知, 板对球的弹力 N ? 。参看图 4

G 对板, Sin?

由力距平衡有, FLSin? ? Nx ? N ?

M?

F?

G ? GR RCot ? Sin? 2 Sin 2 ? 2 GR
LSin 2? Tan

G ? RCot L 为板长。 Sin? 2

?
2

可见随 增大,M . F 都减小。 例题 7: 如图 5 所示,水平轻杆 AB 长 1.5m,其 A 端有固定转动轴,倾斜轻杆 CO 与 AB 夹角为 30° AC=1m。在 B 端有一小定滑轮,绕过定滑轮的细绳左侧成竖直,并连接 重物 P,其重 G=100N;右侧细绳穿过动滑轮后,端点固定在 E 点,动滑轮上吊有重物 G1=30N。不计滑轮质量及摩擦。求 co 杆对 AB 杆的作用力 F。

分析与解答:co 杆对 AB 的作用力有两个方面效果,一方面向上支持,另一方沿 AB 向右推。本题所求是这两个方面效果的合力 F,力 P 的方向沿 oc 杆斜向上(若计 oc 方向,这可以对 oc 杆的转动轴的合力距为零得出) 。 另外,在不计绳重和摩擦的前提下,同一根绳沿各方向的拉力(张力)是相等的, 本题中定滑轮两侧绳的拉力以及动滑轮两侧的绳拉力都相等。 以动滑轮为研究对象,依题(注意 30° 角及左右两侧绳的对称性)知它所受的三个 力互成 120° 有 。 以 AB 杆为研究对象,对轴 A 有

F ACSin30o ? G AB ? T ABSin30o
得 F= ? N。 例题 8:如图 7 所示,一根长为 L 重为 G0 的均匀杆 AB,A 端顶在粗糙的竖直墙上,与 墙的摩擦因数为 μ;B 端用一根强度足够大的绳挂在墙的 C 处。此时杆恰好成水平,绳 的倾角为 。 (1)求杆能保持水平平衡时,μ 和 应满足的条件。 (2)若 P 为杆上一点,在 BP 间挂任意重物都不会使杆的 A 端下滑,求 P 点的位 置应在何处。

分析与解答: (1)以 B 8)

为轴,由力距平衡,对杆 AB 如(图

fL ? G 0

L 2



若以 A 为轴,则 又 N ? TCos? ?

TLSin? ? G 0

L 2



G0 2 G0 T? 2S i ? n f ?

G0 Cot? 2

要杆不 F 下滑,应有 ,得 (2)设 P 点到 A 的距离为 X,所挂重物 G ; : 1 2

由 1.2 得

3

要杆 F 不下滑,需 代入四式得

,即

4

G0 GxTan? ? xG ( ? ? Tan? ) ? GTan? ? ? 2 L L xG ? GTan? ? ( ? ? Tan? ).......5 L
因为 成 ,所以 5,式中左端 ,从而右端应不大于零,否则式中的不等式不

GTan? ?

xG ( ? ? Tan? ) ? 0 L

同步达纲练习: 1.如图 9 所示, L=4m 的均匀吊桥质量 m=80kg, 长 成水平时, 并未与对岸地面接触, 这时牵引绳与桥面成 30?角。质量 m。=50kg 的人站在桥面距轴 D 为 1m 处,用水桶打 水。桶和水的质量为 m=10kg,正以 a=0.2m/s 的速度上升。此时牵引绳的拉力多大? 1. 1079N 简解:水桶加速上升,由牛顿第二定律得 F-mg=ma, F=100N 对轴 o,M=o

T=1079N 2.如图 10 所示,质量为 m 的均匀杆与地面接触为一固定转动轴,杆与光滑球接触 占距 0 为 L/3。求竖直墙对球的弹力 T。

2. 简解:对杆

对球体静止,水平方向有

第三讲 直线运动
一、参照系(又叫参考系) 宇宙间的一切物体都在永恒不停的运动中,绝对静止的物体是不存在的,因此物体 在空间的位置只能相对于另一物体来确定,所以要描述物体的位置,就必须选择另一物 体作为参考,这个被选作参考的另一物体,就叫参照物。如船对水运动,水是参照物; 当车停在公路上时,它相对于地球是静止的,但相对于太阳又是运动。可见物体的运动 或静止,必须对于一定的参照物来说才有才有确定的意义。至于参照物的选择主要看问 题的性质和研究的方便。通常我们研究物体的运动,总以地球做参照物最为方便,但在 研究地球和行星相对太阳的运动时,则以太阳做参照物最为方便了。 为了准确、定量地表示物体相对于参照物的位置和位置变化,就需要建立坐标系, 参照系是参照物的数学抽象:它被想象为坐标系和参照物固定地联结在一起,这样,物 体的位置就可用它在坐标系中的坐标表示了,所以,参照系就是观察者所在的、和他处 于相对静止状态的系统。 注: 1.惯性系——牛顿第一定律成立的参照系。凡相对惯性系静止或作匀速直线运动 的物体,都是惯性系。 2.非惯性系——牛顿第一定律不成立的参照系。凡相对惯性系作变速运动的物体, 都是非惯性系。如不考虑地球的自转时,地球可视为惯性系;而考虑地球的自转时,则 地球为非惯性系。 3.选取参照系的原则:①、牛顿第一和第二定律、动能定理、动量定理、动量守 恒定律和机械能守恒定律等动力学公式,只适用于惯性系;②运动学公式,不仅适用于 惯性系,也适用于非惯性系。因为物体运动具有相对性,即运动性质随参照物不同而不 同,所以恰当地选择参照系,不仅可以使运动变为静止,使变速运动变为匀速运动(匀 速直线运动的简称) ,而且可以使分析和解答的思路和步骤变得的极为简捷。 二、运动的位移和路程 1.质点 质点是一个理想模型。在物理学中常常用理想模型来代替实际的研究对象,这样抽 象的目的是简化问题和便于作较为精确的描述。 质点只是一例, 以后还要用到光滑斜面、 理想气体、点电荷等理想模型,要注意理解和学会这种科学的研究方法。 若研究地球绕太阳公转时,地球可视为质点;而研究地球上重力加速度随纬度的变 化时, 地球则不可视为质点。 又如研究一根弹簧的形变, 弹簧即使很短也不可视为质点; 物质的分子和原子都很小,但在研究其内部的振动和转动时,视为质点就没有意义了。 2.位移和路程 运动物体的位置发生变化,用位移来描述,位移这个物理量常用 s 或 x 有时也用

?x 。位移可这样定义:位移=末位置—初位置。可表示为: x ? Rt ? R0 (式中 X 是位
移, R0 , Rt 为初时刻和末时刻的位置矢量) 。位移 X 这个物理量既有大小又有方向,且合 成与分解符合平行四边形定则,具有这种性质的物理量在物理学上叫做矢量。运动质点 在一段时间内位移的大小就是从初位置到到末位置间的距离,其方向规定为:总是从初 位置到指向末位置。 注意: ①、若质点沿直线从 A 点运动到 B 点,则位移 X 就是

末位置 B 点的坐标减去初位置 A 点的坐标如右图所示。 ②、若质点在 oxy 平面内或

oxyz 空间内,从 A 点运动
到 B 点, 则这段时间内的位 移 X 可用 oxy 或 oxyz 坐标 系中初位置和末位置坐标

R1 、 R2 表示,如左下图所
示。 3.时刻和时间 时刻指某一瞬时,是与某一状态相对应的物理量。如第 n 秒初、第 n 秒末,并不是 同一时刻;而第(n—1)秒末与第 n 秒初,第 n 秒末与第(n+1)秒初则是同一时刻。 时间指两时刻的间隔,是与是与某一过程相对应的物理量。注意第 n 秒内与前 n 秒 内不是同一段时间。 4.速度 ①、平均速度 在一段时间内 t 内,质点的位移为 X,则位移 X(或 ?S )与时间 t (或 ?t )的比值, 叫做平均速度: v ?

x ?x 或v ? ;平均速度的方向与位移的方向相同。由于作变速直 t ?t

线运动的物体,在各段路程上或各段时间内的平均速度一般来说是不相同的。故一提到 平均速度必须明确是哪段位移上或哪一段时间内的平均速度。 ②、瞬时速度(又称即时速度) 要精确地如实地描述质点在任一时刻地邻近时间内变速直线运动的快慢, 应该把 ?t 取得很短, ?t 越短,越接近客观的真实情况,但 ?t 又不能等于零,因为没有时间间隔 就没有位移,就谈不上运动的快慢了,实际上可以把 ?t 趋近于零,在这极短时间中, 运动的变化很微小,实际上可以把质点看作匀速直线运动,在这种情况下,平均速度可 以充分地描述该时刻 t 附近质点地运动情况。我们把 ?t 趋近于零,平均速度 的极限值,叫做运动质点在 t 时刻的瞬时速度。用数学式可表示为: v ?

?x 所趋近 ?t
?x

lim ?t ,它
?t ?0

具体表示 t 时刻附近无限小的一段时间内的平均速度,其值只随 t 而变,是精确地描述 运动快慢程度的物理量。以后提到的速度总是指瞬时速度而言。平均速度、瞬时速度都 是矢量。 描述质点的运动,有时也采用一个叫“速率”的物理量;速率是标量,等于运动质点 所经过的路程与经过该路程所用时间的比值,若质点在 t 时间内沿曲线运动,通过的路 程 X(即曲线的长度) ,则 X 与 t 的比值叫在时间 t 内质点的平均速率,可表示为 v ?

x 。 t

例如在某一时间内,质点沿闭合曲线环形一周,显然质点的位移等于零,平均速度也为 零,而质点的平均速率是不等于零的。所以平均速度的大小与平均速率不能等同看待。 当质点沿直线单一方向运动时平均速度的大小等于平均速率。 而瞬时速率就是瞬时速度

的大小,而不考虑方向。 5.加速度 运动物体在 t o 时刻的速度为 v o (初速度),在 t 时刻的速度为 v t (末速度),那么在

?t ? t ? t o 这段时间里,速度的变化量(也叫速度的增量)是 ?v ? vt ? vo , ?v 与 ?t 的

?v ,平均加速度只能粗略描述速 ?t 度改变的快慢程度。跟平均速度引导到瞬时速度的过程相似,选取很短的一段时间 ?t , 当 ?t 趋近于零时,平均加速度的极限值,叫做运动质点在 t 时刻的瞬时加速度。用数学
比值称为这段时间内的平均加速度,可表示为: a ? 式可表示为: a ?

lim ?t 。
?t ?0

?v

若质点做匀速直线运动,它的加速度大小和方向恒定不变,则平均加速度就是瞬时 加 速 度 , 通 常 t o =0 , 时 间 ?t ? t ? t o 可 用 末 时 刻 t 表 示 , 则 加 速 度 定 义 式 为 :

a?

vt ? v0 ?v ,根据牛顿第二定律可知,一个质点的加速度是由它受到的合外力和 ? t t

它的质量共同决定,牛顿第二定律的表达式所表示的是加速度的决定式即 a ?

?F 。 m

上式是矢量式,其中 a, ?v, ? F 都是矢量。加速度的方向就是质点所受合外力的方 向,对匀变速运动,加速度的方向总是跟速度变化量的方向一致。 加速度的大小和方向跟速度的大小和方向没有必然联系。速度与加速度的关系,不 少同学有错误认识,复习过程中应予以纠正。 ①、加速度不是速度,也不是速度变化量,而是速度对时间的变化率,所以速度大, 速度变化大,加速度都不一定大。 ②、加速度也不是速度大小的增加。一个质点即使有加速度,其速度大小随时间可 能增大,也可能减小,还可能不变。 (两矢量同向,反向、垂直) ③、速度变化有三种基本情况:一是仅大小变化(试举一些例子) ,二是仅方向变 化,三是大小和方向都变化。 注意:五个容易混淆的平均速度和瞬时速度 ①、一个质点沿直线运动(无往返) ,在前半程位移的速度大小恒为 v1 ,在后位移 的速度大小恒为 v 2 则全程的平均速度 v s 的倒数,等于 v1 、 v 2 倒数和的一半:

vs = 1 ( 1

2 v1

?

1 ) v2

②、一个质点沿直线运动(无往返) ,在前一半时间的速度大小恒为 v1 ,在后一半 时间的速度大小恒为 v 2 则全程的平均速度 vT ,等于 v1 、 v 2 之和的一半:

vT = 1 (v1 ? v2 )
2
③、一个质点以初速度 v0,末速度 v t ,做匀变速直线运动,则全程的平均速度的大 小 v 等于 v0 与 v t 之和的一半: v =

1 (v 0 ? v t ) 2

④、一个质点以初速度 v0,末速度 v t ,做匀变速直线运动(且无往返) ,则在位移
2 v0 ? vt2 2

中点的瞬时速度大小 v s 为: v s ?
2
2

⑤、一个质点以初速度 v0,末速度 v t ,做匀变速直线运动,则在时间中点的瞬时速 度大小 v T 为: v T =
2

2

S 1 (v 0 ? v t ) = v = T 2

v 不论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动,都有 s >
2

v T (可利用图像法证明)
2

6.匀变速直线运动 ① 、 匀 变 速 直 线 运 动 的 三 个 基 本 公 式 : v ? v0 ? at ;
2 vt ? v0 ? 2ax 2

1 x ? v0t ? at 2 ; 2

注意:A、各式的物理意义和各量的矢量性;B、上述公式成立的条件:匀变速直 线运动以及计时的起点( t o =0)时,质点经过坐标原点 O(其瞬时速度为 v o ) ,坐标原 点 O 也作为位移的起点。C、在这套公式的基础上,附加一定条件,能导出许多有用的 公式。例如:初速度为零的匀加速直线运动公式,自由落体运动,竖直上抛运动以及平 抛运动、斜抛运动等有关的公式。 ②、图象 A:速度和位移都是时间的函数,因此描述物体运动的规律常用 v ? t 图象、 s ? t 图 象,如图所示。

对于图象要注意理解它的物理意义,既对图象的纵、横轴表示的是什么物理量,图 象的斜率、截距代表什么意义都要搞清楚,形状完全相同的图线,在不同图象(坐标轴 的物理量不同)中意义会完全不同。下表是对形状一样的 v ? t 图、 s ? t 图意义的比较。 B:匀变速直线运动的 a ? t 图象是一平行于时间轴的直线,如左下图所示。

C:匀变速直线运动的 s ? t 图象是一抛物线。对于匀加速直线运动,抛物线“开口” 向上,若是匀减速直线运动抛物线“开口”向下;抛物线的顶点由初速度大小和加速度大 小决定。如右上图所示。 ③、初速度为零的匀加速直线运动的五个基本规律 A:瞬时速率与时间成正比: v1 : v2 : v3 ...... : vn ? t1 : t 2 : t 3 ...... : t n B:位移大小与时间平方成正比: x1 : x 2 : x3 ...... : x n ? t1 : t 2 : t 3 ...... : t n
2 2 2 2

C:在连续相等的时间(T)内的平均速率之比为连续奇数之比:

v1 : v2 : v3 ...... vn ? 1 : 3 : 5...... : (2 N ? 1)
D:在连续相等的时间(T)内的位移大小之比为连续奇数之比:

x1 : x2 : x3 ...... xn ? 1 : 3 : 5...... : (2 N ? 1)
E:通过连续相等的位移(X0)所用时间之比:

t1 : t 2 : t 3 ...... : t n ? 1 : ( 2 ? 1) : 3 ? 2....... : n ? n ? 1
特别提醒: 初速度为零的匀加速直线运动的五个基本规律对于其逆运动——末速度 为零的匀减速直线运动(二者加速度大小相等)也适用! ④、任意匀变速直线运动的两个基本规律 A、任意一段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度: v ? v t
2

推广: v ? v t ?
2

1 x (v 0 ? v t ) ? 2 t

B、在任意连续相等时间(T)内的位移之差等于恒量: ?x ? x N ? x N ?1 ? aT 2 推广: ?x ? x N ? 6、竖直上抛运动 ①、定义:将物体以一定的初速度( v 0 )竖直向上抛出后物体只在重力作用下的运 动叫竖直上抛运动。

x

M

? ( N ? M )aT 2

②、特点:初速度不为零,且约定初速度方向为正方向;做竖直上抛运动的物体的 加速度( a ) a ? ? g : ③、讨论: A、上升到最高点的时间( t 上 ) t 上 :
2 v0 v0 B、上升的最大高度( H ) H ? : ? 2g g

C、上升阶段与下降阶段做竖直上抛运动的物体通过同一段做竖直距离所用的时间 相等(时间对称性: t 上 ? t 下 ) D、上升阶段与下降阶段做竖直上抛运动的物体经过同一位置的速度大小相等、方 向相反(速度对称性: v上 ? ?v下 ) ④、竖直上抛运动的公式: x ? v0 t ?

1 2 gt ; vt ? v0 ? gt (以竖直向上为正方向) 2

在以上两个公式中, v o , t , g 是算术符号(即它们总是正值) ,但 x 和 v t 在不同 的时间范围内取不同的符号。竖直上抛运动的处理最好是全过程看作匀减速直线运动。 分两个过程会复杂一些! 推广:竖直下抛运动是一种初速度不为零的,加速度为 g 的匀加速直线运动。其公 式为: x ? v0 t ?

1 2 gt ; vt ? v0 ? gt (以竖直向下为正方向) 2

三、处理直线运动的科学思维方法 一、图像法 分析和解答物理问题, 除了物理公式和数学方法外, 还可以利用物理图像 (函数图、 矢量图、几何图、光路图等) 这里先介绍如何利用 v ? t 图象、 s ? t 图象解答直线运动的各种问题步骤如下: 1、根据物理规律中各个物理量的函数关系,在直角坐标系上定性地或者定量地画 出相应地函数图像。 2、根据图像的斜率、截距、与坐标轴所包围的面积,以及图像交点的坐标等的物 理意义,进行分析、推理和计算。 例 1:一火车沿直线轨道从静止发出由 A 地驶向 B 地,并停止在 B 地。AB 两地相 距 x,火车做加速运动时,其加速度最大为 a1,做减速运动时,其加速度的绝对值最大 为 a2,由此可可以判断出该火车由 A 到 B 所需的最短时间为 。 (奥赛题目) 解析:整个过程中火车先做匀加速运动,后做匀减速运动,加速度最大时,所用时 间最短,分段运动可用图像法来解。 根据题意作 v—t 图,如图所示。由图可得 a1 ?

v t1

a2 ? s?
解得 t ?

v t2

1 1 v(t1 ? t 2 ) ? vt 2 2

2 s ( a1 ? a 2 ) a1 a 2

例 2:两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度为 v0,若前车突 然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前 车在刹车过程中所行的距离为 x,若要保证两辆车在上述情况中不相碰,则两车在做匀 速行驶时保持的距离至少为: A.x B.2x C.3x D.4x 解析:物体做直线运动时,其位移可用 v ? t 图像中的 面积来表示,故可用图像法做。 作两物体运动的 v—t 图像如图所示,前车发生的 位移 x 为三角形 v0Ot 的面积, 由于前后两车的刹车加 速度相同,根据对称性,后车发生的位移为梯形的面 积 X′=3X,两车的位移之差应为不相碰时,两车匀速 行驶时保持的最小车距 2x. 所以应选 B。 例 3:一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出,已知爬出速度 v 的大小与距老鼠洞中心的距 离 x 成反比,当老鼠到达距老鼠洞中心距离 x1=1m 的 A 点时,速度大小为 v1=20cm/x, 问当老鼠到达距老鼠洞中心 x2=2m 的 B 点时,其速度大小 v2 为多少?老鼠从 A 点到达 B 点所用的时间 t 为多少? 解析:因为老鼠从老鼠洞沿直线爬出,已知爬出的速 度与 通过的距离成反比,则不能通过匀速运动、匀变速运动公

1 ? s 图像中, v 1 所围面积即为所求的时间。以距离 x 为横轴, 为纵轴建 v 1 1 立直角坐标系,则 x 与 成正比,作 —x 图像如图所示, v v
式直接求解, 但可以通过图像法求解, 因为在 由图可得 x=2m 时,老鼠的速度为 10cm/x。在 1m 到 2m 之间图像与横轴包围的面积即 为所求的时间,所以老鼠从 A 到 B 爬行的时间为 t ? (

1 1 1 ? ) ? s ? 7.5s. 0.2 0.1 2

二、微元法 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法,也是从部分到整体的思维方法。用该 方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决, 使所求的问题 简单化。在使用微元法处理问题时,需将其分解为众多微小的“元过程”,而且每个“元 过程”所遵循的规律是相同的,这样,我们只需分析这些“元过程”,然后再将“元过程” 进行必要的数学方法或物理思想处理,进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知

规律的再思考,从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 例 1:如图所示,一个身高为 h 的人在灯以速度 v 沿水平直线行走。设灯距地面高 为 H,求证人影的顶端 C 点是做匀速直线运动。 解析:该题不能用速度分解求解,考虑采用“微元法”。 设某一时间人经过 AB 处,再经过一微小过程 △t(△t→0) ,则人由 AB 到达 A′B′,人影顶端 C 点到达 C′点,由于△XAA′=v△t 则人影顶端的

H ?S AA? ?S CC ? Hv 移动速度 vC ? lim ? lim H ? h ? ?t ?0 ?t ?0 ?t ?t H ?h
可见 vc 与所取时间△t 的长短无关,所以人影的顶端 C 点做匀速直线运动。 (本题 也可用相似三角形的知识解) 。 三、等效法 在一些物理问题中, 一个过程的发展、 一个状态的确定, 往往是由多个因素决定的, 在这一决定中,若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同,则前一些因素与 后一些因素是等效的,它们便可以互相代替,而对过程的发展或状态的确定,最后结果 并不影响,这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法。 等效思维的实质是在效果相同的情况下, 将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉 问题,以便突出主要因素,抓住它的本质,找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较 简单的因素代替较复杂的因素,以使问题得到简化而便于求解。 例 1:质点由 A 向 B 做直线运动,A、B 间的距离为 L,已知质点在 A 点的速度为 v0,加速度为 a,如果将 L 分成相等的 n 段,质点每通过 L/n 的距离加速度均增加 a/n, 求质点到达 B 时的速度。 解析 从 A 到 B 的整个运动过程中,由于加速度均匀增加,故此运动是非匀变速 直线运动,而非匀变速直线运动,不能用匀变速直线运动公式求解,但若能将此运动用 匀变速直线运动等效代替,则此运动就可以求解. 因加速度随通过的距离均匀增加,则此运动中的平均加速度为

a平 ?

a 初 ? a末 2

?

a?a?

(n ? 1)a 3an ? a (3n ? 1)a n ? ? 2 2n 2n
解得
2 v B ? v0 ?

2 2 由匀变速运动的导出公式得 2a平 L ? v B ? v0

(3n ? 1)aL n

四、递推法 递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体 较多并且有规律时, 应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类, 然后求出通式。 具体方法是先分析某一次作用的情况,得出结论。再根据多次作用的重复性和它们的共 同点,把结论推广,然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次 作用的递推关系式。 例 1:小球从高 h0 = 180m 处自由下落,着地后跳起又下落,每与地面相碰一次, 速度减小 (n = 2) ,求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程。 取 10m/s2) (g 解析:小球从 h0 高处落地时,速率 v0 = 2gh 0 = 60m/s
1 n

第一次跳起时和又落地时的速率 v1 = 第二次跳起时和又落地时的速率 v2 = ……

v0 2 v0 22 v0 2m

第 m 次跳起时和又落地时的速率 vm = 每次跳起的高度依次为 h1 =

v2 h v12 h 0 = 2 ,h2 = 2 = 0 ,……, 2g n 4 2g n

通过的总路程 Σs = h0 + 2h1 + 2h2 + … + 2hm + … = h0 + = h0 +
2h 0 1 1 1 (1 + 2 + 4 + … + 2m?2 + …) n2 n n n 2h 0 n2 ?1 5 = h0 ? 2 = h0 = 300m n2 ?1 n ?1 3

经过的总时间为 Σt = t0 + t1 + t2 + … + tm + … = = =
v 0 2v1 2v + +…+ m +… g g g v0 1 1 [1 + 2 ? + … + 2 ? ( )m + …] g n n v 0 n ? 1 3v0 = =18s ? g n ?1 g

例 2:A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正三角形,每只猎犬追 捕猎物的速度均为 v ,A 犬想追捕 B 犬,B 犬想追捕 C 犬,C 犬想追捕 A 犬,为追捕 到猎物,猎犬不断调整方向,速度方向始终“盯”住对方,它们同时起动,经多长时间可 捕捉到猎物? 解析:由题意可知,由题意可知,三只猎犬都做等速率 曲线运动, 而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三 角形的三个顶点上,但这正三角形的边长不断减小,如图 6—1 所示。 所以要想求出捕捉的时间, 则需用微元法将等速 率曲线运动变成等速率直线运动,再用递推法求解。 设经时间 t 可捕捉猎物,再把 t 分为 n 个微小时间间隔 Δt ,在每一个 Δt 内每只猎犬的运动可视为直线运动,每隔 Δt ,正三角形的边长分别为 a1 、a2 、a3 、… 、an ,显然 当 an→0 时三只猎犬相遇。 a1 = a-AA1-BB1cos60° a- vΔt = a2 = a1- vΔt = a-2× vΔt a3 = a2- vΔt = a-3× vΔt …… an = a-n ?
3 vΔt 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

因为 a-n ? 所以:t =

3 vΔt = 0 ,即 nΔt = t 2

2a 3v

(此题还可用对称法,在非惯性参考系中求解。 ) 五、极限法 极限法是把某个物理量推向极端,即极大和极小或极左和极右,并依此做出科学的 推理分析,从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时,具有 独特作用,恰当应用极限法能提高解题效率,使问题化难为易,化繁为简,思路灵活, 判断准确。 因此要求解题者, 不仅具有严谨的逻辑推理能力, 而且具有丰富的想象能力, 从而得到事半功倍的效果。看如下一例: 解析:当斜面光滑时, ? =0,物体上滑与下滑加速度大小相等,故仅 B 正确。 再看如下一例:

解析:当 k =1 时,空气阻力为零,则空气阻力与重力之比当然为为零,故仅 C 正 确。 六、对称法 由于物质世界存在某些对称性,使得物理学理论也具有相应的对称性,从而使对称 现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中。 应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和 探索物质世界的某些基本规律,而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题,这种思 维方法在物理学中称为对称法。利用对称法分析解决物理问题,可以避免复杂的数学演 算和推导,直接抓住问题的实质,出奇制胜,快速简便地求解问题。 例:如图所示,竖直上抛一个小球,小球两次经过高度为 h 处经历的时间为 ?t , 球小球抛出的初速度大小和在空中运动的总时间?(忽略空气阻力) 解析:根据竖直上抛运动的对称性特点,设上升最大高度为 H,则:

H ? h?

1 ?t 2 1 2 g ( ) ? gtm 2 2 2
2h ?t 2 ? g 4

故小球在空中运动的时间为:T= 2t m ? 2

小球上抛的初速度大小,就等于下落的末速度大小:

v0 ? gtm ? g

2 h ?t 2 ? g 4

七、自由弦运动的等时性及应用 如左下两图所示,直径为 d 的竖直圆环,可以证明:物体从静止开始,无摩擦地由 圆环最高点沿不同的弦运动到圆周上或者从圆周上沿不同的弦运动到圆环最低点, 所需

的时间都相等,且等于沿竖直直径自由落体的时间,即: t ? (请同学们结合牛顿第二定律与运动学公式证明之)

2d 。 g

在利用“自由弦运动的等时性”分析和解答极值问题时,关键准确地画出竖直圆,竖 直圆的位置有两个特点: ①、一定通过运动的起点和终点。②、一定与不定点的连线(直线或曲线)相切: 当起点一定时与不同终点的连线相切;当终点一定时与不同起点的连线相切。 例 1:一个物体沿有共同底边(其长度为 L) ,的不同斜面,从顶部由静止开始无摩 擦滑下,证明:沿 450 倾角的斜面滑下,所需时间最短,为: t min ? 2

L g

解析:画出竖直圆,如右上图所示,利用“自由弦运动的等时性”分析既得出结论。 例 2: (1990 年第二届全国中学生力学竞赛试题)一个质点自倾角为 ? 的斜面上方 定点 A,沿光滑斜槽从静止开始滑下,为了使质点在最短时间到达斜面,求斜槽与竖直 方向的夹角 ? 应等于多少? 解析:为了画一竖直圆通过起点 A,并与不同终点的连线相切;可以先通过起点 A 作一水平线与斜边延长线交于 o ' ,然后作 ?Ao ' C 的角平分线交过 A 点的竖直于 O;以 O 为圆心,以 OA 为半径画圆,如图所示。可以看出从 A 运动到在圆周上的的切点 B2 , 所需时间最短; 又因为 ? 为等腰三角形 OAB2 顶角的外角, 应等于不相邻的两内角之和, 即: ? =2 ? 。


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