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教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》(必修)


高中数学必修知识点归纳
引言
1.课程内容:
必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、 对、幂函数) 必修 2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3:算法初步、统计、概率。 必修 4:基本初等函数(三角函数) 、平面向量、 三角恒等变换。 必修 5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础 知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、 函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初 步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、 发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做 过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概 率、统计等内容。 选修课程有 4 个系列: 系列 1:由 2 个模块组成。 选修 1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修 1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列 2:由 3 个模块组成。 选修 2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 2—2:导数及其应用,推理与证明、数系 的扩充与复数 选修 2—3:计数原理、随机变量及其分布列, 统计案例。 系列 3:由 6 个专题组成。 选修 3—1:数学史选讲。 选修 3—2:信息安全与密码。 选修 3—3:球面上的几何。 选修 3—4:对称与群。 选修 3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修 3—6:三等分角与数域扩充。
-1-

系列 4:由 10 个专题组成。 选修 4—1:几何证明选讲。 选修 4—2:矩阵与变换。 选修 4—3:数列与差分。 选修 4—4:坐标系与参数方程。 选修 4—5:不等式选讲。 选修 4—6:初等数论初步。 选修 4—7:优选法与试验设计初步。 选修 4—8:统筹法与图论初步。 选修 4—9:风险与决策。 选修 4—10:开关电路与布尔代数。

2.重难点及考点:
重点:函数,数列,三角函数,平面向量, 圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 ⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量

⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 ⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 ⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数:复数的概念与运算

全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么

必修 1 数学知识点
第一章:集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等。 3、 常见集合:正整数集合: N * 或 N ? ,整数集合:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数.
步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格 式 : 解 : 设 x1 , x2 ? ?a, b? 且 x1 ? x 2 , 则 : (2)导数法:设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数; 若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个

f ?x1 ? ? f ?x2 ? =?

Z ,有理数集合: Q ,实数集合: R .
4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任 意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 是 集合 B 的子集。记作 A ? B . 2、 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作:A B. ? .并规定: 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作: 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2 个子 集, 2 ? 1 个真子集.
n

x ,都有 f ?? x ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为
偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个

x ,都有 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为
奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接:函数与导数 1、函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 相应的切线方 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 2、几种常见函数的导数
' n ' n?1 ①C ? 0 ;②( x ) ? nx ;

n

§1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成 的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作: A ? B . 2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素 组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作: A ? B . 3、全集、补集? CU A ? {x | x ?U , 且x ?U } §1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集 合 B 中都有惟一确定的数 f ?x ? 和它对应, 那么就 作: y ? f ?x ?, x ? A . 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同, 并且对应关系完 称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记

③(sin x) ? cos x ; ④(cosx) ? ? sin x ;
' '

⑤(a ) ? a ln a ;
x ' x

⑥(e ) ? e ;
x ' x

⑦(log a x ) ?
'

1 1 ' ;⑧(ln x ) ? x ln a x
' '

3、导数的运算法则 (1) (u ? v) ? u ? v .
'

(2) (uv) ? u v ? uv .
' ' '

-2-

(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

4、 运算性质: ⑴ a r a s ? a r ?s ?a ? 0, r, s ? Q? ; ⑵ ar

4、复合函数求导法则 复合函数 y ? f ( g ( x)) 的导数和函数 y ? f (u), u ? g ( x) 的导数间的关系为 y x? ? yu? ? u x? , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的 乘积. 解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义: 极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f ( x) < f ( x 0 ) , 则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的极大值; 极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f ( x) > f ( x 0 ) , 则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的极小值. (2)判别方法: ① 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0, 那么 f ( x 0 ) 是极大值; ② 如果在 x 0 附近的左侧 f ( x) <0,右侧 f ( x) >0, 那么 f ( x 0 ) 是极小值. 6、求函数的最值 (1)求 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值 (极大或者极小值) (2)将 y ? f ( x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较, 其中 最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。 注:极值是在局部对函数值进行比较(局部性质) ; 最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。 第二章:基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根。
n

? ?

s

? a rs ?a ? 0, r , s ? Q? ;

⑶ ?ab? ? a r b r ?a ? 0, b ? 0, r ? Q? .
r

§2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象: y ? a x ?a ? 0, a ? 1?
y

y=ax
0<a<1 1
o x

a>1

2、性质:

a ?1
' '
6

0 ? a ?1
6 5

图 象
1
-4 -2

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数
x

(5) x ? 0, a ? 1 ; x x ? 0, 0 ? a ? 1 §2.2.1、对数与对数运算

(5) x ? 0,0 ? a x ? 1 ; x x ? 0, a ? 1

1、指数与对数互化式: a x ? N ? x ? loga N ; 2、对数恒等式: a
log a N

?N.

其中 n ? 1, n ? N ? . 2、 当 n 为奇数时, n a n ? a ; 当 n 为偶数时, a ? a .
n n

3、基本性质: loga 1 ? 0 , loga a ? 1 . 4、运算性质:当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时: ⑴ loga ?MN ? ? loga M ? loga N ; ⑵ loga ?

3、 我们规定: ⑴a
n m

? a
m

n

?a ? 0, m, n ? N
⑵a
?n

*

,m ?1 ;

?

?M ? ? ? loga M ? loga N ; ?N?

⑶ loga M n ? n loga M .

?

1 ?n ? 0? ; an
-3-

5、换底公式: loga b ?

logc b logc a
m log a b n

? 函数 y ? f ?x ? 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ?x ? 有零点.
2、 零点存在性定理: 如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有 f ?a ? ? f ?b? ? 0 ,那么函数

?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? .
6、重要公式: log a n b ?
m

7、 倒数关系:loga b ?

1 ?a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? . logb a

§2..2.2、对数函数及其性质 1、记住图象: y ? loga x?a ? 0, a ? 1?
y

y ? f ?x ?在区间 ?a, b ? 内有零点,即存在 c ? ?a, b ? ,
使得 f ?c ? ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ?x ? ? 0 的根. §3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法. §3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函 数拟合,最后检验.

y=logax
0<a<1
o

1 a>1

x

2、性质:

a ?1
3
3

0 ? a ?1
2.5 2 1.5

2.5

2

1.5


-1

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5

必修 2 数学知识点
1



-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2
-2.5

-2.5

(1)定义域: (0,+∞)
性 质

第一章:空间几何体 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:
圆柱、圆锥、圆台、球。

(2)值域:R (3)过定点(1,0) ,即 x=1 时,y=0
(4)在 (0,+∞)上是增函数

(5) x ? 1, loga x ? 0 ; §2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象:

(5) x ? 1, loga x ? 0 ; 0 ? x ? 1, loga x ? 0 0 ? x ? 1, loga x ? 0

(4)在(0,+∞)上是减函数

⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围 成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与
截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影 的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影,平行投影的投影线是平行的。

3、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积; S侧面 ? 2? ? r ? l 第三章:函数的应用 §3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程 f ?x ? ? 0 有实根
-4-

⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l

12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面
角,就说这两个平面互相垂直。

⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个
平面垂直(简称线面垂直,则面面垂直) 。

⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的 ⑶圆台侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l ⑷体积公式:
直线垂直于另一个平面。 (简称面面垂直, 则线面垂直) 。

第三章:直线与方程 1、倾斜角与斜率: k ? tan? ? 2、直线方程: ⑴点斜式: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ⑵斜截式: y ? kx ? b ⑶两点式:

1 V柱体 ? S ? h ; V锥体 ? S ? h ; 3 1 V台体 ? S 上 ? S 上 ? S 下 ? S 下 h 3

?

?

y 2 ? y1 x2 ? x1

⑸球的表面积和体积:

S球

4 ? 4?R ,V球 ? ?R 3 . 3
2

第二章:点、直线、平面之间的位置关系 1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条
直线在此平面内。

2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它
们有且只有一条过该点的公共直线。

y ? y1 y2 ? y1 ? x ? x1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b

⑷截距式:

4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这
两个角相等或互补。

⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0

6、线线位置关系:平行、相交、异面。 7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。

3、对于直线:

l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 有:
⑴ l1 // l 2 ? ?

8、面面位置关系:平行、相交。 9、线面平行: ⑴判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则
该直线与此平面平行(简称线线平行,则线面平行) 。

?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2

⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行(简称线面平行,则 线线平行) 。

⑵ l1 和 l 2 相交 ? k1 ? k2 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

10、面面平行: ⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,
则这两个平面平行(简称线面平行,则面面平行) 。

?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2

⑷ l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1 . 4、对于直线:

⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么
它们的交线平行(简称面面平行,则线线平行) 。

11、线面垂直: ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,
那么就说这条直线和这个平面垂直。

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
⑴ l1 // l 2 ? ?

有:

⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,
则该直线与此平面垂直(简称线线垂直,则线面垂直) 。

⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。
-5-

? A1 B2 ? A2 B1 ; ?B1C 2 ? B2 C1

⑵ l1 和 l 2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

? A1 B2 ? A2 B1 ; ? B1C 2 ? B2 C1

⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 3、空间中两点间距离公式:

⑷ l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . 5、两点间距离公式:

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2

必修 3 数学知识点
第一章:算法 1、算法三种语言: 自然语言、流程图、程序语言; 2、流程图中的图框: 起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等 规范表示方法; 3、算法的三种基本结构: 顺序结构、条件结构、循环结构 ? ⑴顺序结构示意图:

6、点到直线距离公式:

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

7、两平行线间的距离公式:

l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 平行,
则d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

?当型循环结构 ?直到型循环结构

第四章:圆与方程 1、圆的方程: ⑴标准方程: ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2
2 2

语句 n

其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r . ⑵一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
2 2

语句 n+1

其中圆心为 ( ?

D

2 2 2、直线与圆的位置关系

,?

E

), 半径为 r ?

1 2

D2 ? E 2 ? 4F .

(图 1) ⑵条件结构示意图: ①IF-THEN-ELSE 格式:

直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

满足条件? 是 语句 1

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
弦长公式: l ? 2 r 2 ? d 2



语句 2

? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
3、两圆位置关系: d ? O1O2 ⑴外离: d ? R ? r ;
-6-

(图 2) ②IF-THEN 格式: 是 满足条件?

IF—THEN 语句的一般格式为:

IF 条件 THEN 语句 END IF
(图 3) ⑶循环结构示意图: ①当型(WHILE 型)循环结构示意图: (图 3)

⑤循环语句的一般格式是两种: 当型循环(WHILE)语句的一般格式:

WHILE 循环体
循环体 满足条件? 否

条件
(图 4)

WEND



直到型循环(UNTIL)语句的一般格式:

DO
(图 4) ②直到型(UNTIL 型)循环结构示意图:

循环体 LOOP UNTIL 条件
(图 5)

循环体 否 满足条件? 是

⑹算法案例: ①辗转相除法—结果是以相除余数为 0 而得到 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: ⅰ) : 用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 S0 和 一个余数 R0 ; ⅱ) :若 R0 =0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 R0 ≠0,则用除数 n 除以余数 R0 得到一个商 S1 和一个余 数 R1 ; ⅲ) : 若 R1 =0, 则 R1 为 m, n 的最大公约数; 若 R1 ≠ 0, 则用除数 R0 除以余数 R1 得到一个商 S2 和一个余数 R2 ;?? 依次计算直至 Rn =0, 此时所得到的 Rn?1 即为所求 的最大公约数。 ②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到 利用更相减损术求最大公约数的步骤如下: ⅰ) :任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。 若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。 ⅱ) :以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与 所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直 到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的 最大公约数。 ③进位制 十进制数化为 k 进制数—除 k 取余法
-7-

(图 5) 4、基本算法语句: ①输入语句的一般格式: INPUT“提示内容” ;变量 ②输出语句的一般格式:PRINT“提示内容” ;表达式 ③赋值语句的一般格式:变量=表达式 ( “=”有时也用“←” ). ④条件语句的一般格式有两种: IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为:

IF 条件 语句 1 ELSE 语句 2 END IF

THEN

(图 2)

k 进制数化为十进制数 第二章:统计 1、抽样方法: ①简单随机抽样(总体个数较少) ②系统抽样(总体个数较多) ③分层抽样(总体中差异明显) 注意: 在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本, n 每个个体被抽到的机会(概率)均为 。 N 2、总体分布的估计: ⑴一表二图: ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 ⑵茎叶图: ①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据 的分布,以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大 书写,相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计: x ? x ? x ? ?? xn ⑴平均数: x ? 1 2 3 ; n 取值为 x1 , x 2 , ? , x n 的频率分别为 p1 , p 2 , ? , p n ,则其 平均数为 x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ; 注意:频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差:一组样本数据 x1 , x 2 , ? , x n
1 方差: s ? n
2

n ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ? ?b ? n 2 ? xi2 ? nx ? ? i ?1 ? ? ? a ? y ? bx

注意:线性回归直线经过定点 ( x, y ) 。 第三章:概率 1、随机事件及其概率: ⑴事件:试验的每一种可能的结果,用大写英文字母 表示; ⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点; ⑶随机事件 A 的概率: P( A) ?
m ,0 ? P( A) ? 1 . n

2、古典概型: ⑴基本事件: 一次试验中可能出现的每一个基本结果; ⑵古典概型的特点: ①所有的基本事件只有有限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑶古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事 件共有 n 个,事件 A 包含了其中的 m 个基本事件,则 事件 A 发生的概率 P( A) ?
m . n

? (x
i ?1

n

2 i

3、几何概型: ⑴几何概型的特点: ①所有的基本事件是无限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑵几何概型概率计算公式: P( A) ?
d的测度 ; D的测度

? x) ;
2 i

标准差: s ?

1 n

? (x
i ?1

n

? x)

注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的 稳定水平。 ⑶线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系 ③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)
?

其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、 体积等。 4、互斥事件: ⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件; ⑵如果事件 A1 , A2 , ? , An 任意两个都是互斥事件, 则称 事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥。 ⑶如果事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率, 等于事件 A,B 发生的概率的和, 即: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ⑷如果事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥,则有:
P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )

⑸对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生,则称 这两个事件为对立事件。 ①事件 A 的对立事件记作 A
P( A) ? P( A) ? 1, P( A) ? 1 ? P( A)
-8-

②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事 件。

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 .
2 2

必修 4 数学知识点
第一章:三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 ? 终边相同的角的集合:

sin ? . cos ? 3、 倒数关系: tan ? cot ? ? 1
2、 商数关系: tan ? ? §1.3、三角函数的诱导公式 (概括为“奇变偶不变,符号看象限” k ? Z ) 1、 诱导公式一:

?? ? ? ? ? 2k? , k ? Z?.
§1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角. 2、 ? ?

sin ?? ? 2k? ? ? sin ? , cos?? ? 2k? ? ? cos? , (其中: k ? Z ) tan?? ? 2k? ? ? tan? .
2、 诱导公式二:

n?R ? ? R. 3、弧长公式: l ? 180
4、扇形面积公式: S ?

l . r

n?R 2 1 ? lR . 360 2

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .
3、诱导公式三:

§1.2.1、任意角的三角函数 1、 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点

P?x, y ?,那么: sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ?
2、 设点 A? x , y

y x

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .
4、诱导公式四:

那么: (设 ? 为角 ? 终边上任意一点,

r ? x2 ? y 2 )

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? ? tan? .
5、诱导公式五:

sin ? ?

y x y x cos ? ? , tan ? ? , cot ? ? , r r x y

3、 sin ? ,cos? , tan ? 在四个象限的符号和三角 函数线的画法. y
P T

?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
6、诱导公式六:

正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT

O

M

Ax

5、 特殊角 0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270 等的三角函数值.
?
sin ?
cos ?

?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
2?

0

? 6

? 4

? 3

? 2

2? 3

3? 4

?

3? 2

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象:

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1
? ? 2

3? 2 2? 5? 3? 2

7? 2 4?

tan ?

x

-9-

y=cosx
-4? -7? 2 -5? -3? 2 -? -2? -3? 2 -

y
? 2

奇偶性、单调性、周期性.
3? ? 2 ? 2 2? 5? 2 7? 3? 2

3、会用五点法作图.
4?

1 o -1

x

y ? sin x 在 x ? [0, 2? ] 上的五个关键点为:

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定 义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、

? 3? (0, 0) ( , , 1 ) ( , ?, 0) ( , ,) -1( , 2?, 0) . 2 2

§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象:
y

2、记住余切函数的图象:
y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义:对于函数 f ?x ? ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ?x ? T ? ? f ?x ? ,那么函数 f ?x ? 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.

图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
y ? sin x
y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域
x ? 2 k? ?

R
[-1,1]
?
2 , k ? Z时,y max ? 1 , k ? Z时,y min ? ?1

R
[-1,1]
x ? 2k? , k ? Z时,ymax ? 1 x ? 2k? ? ? , k ? Z时,ymin ? ?1

{x | x ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

最值
x ? 2 k? ?

?
2



周期性 奇偶性

T ? 2?


T ? 2?

- 10 -

T ??


单调性

在 [2k? ? ? , 2k? ? ? ] 上单调递增
2 2

在 [2k? ? ? , 2k? ] 上单调递增 在 [2k? , 2k? ? ? ] 上单调递减

k ?Z

在 [2k? ? ? , 2k? ? 3? ] 上单调递减
2 2

在 (k? ? ? , k? ? ? ) 上单调递增 2 2

对称性

对称轴方程: x ? k? ? 对称中心 ( k? , 0)

?
2

对称轴方程: x ? k? 对称中心 ( k? ?

无对称轴 对称中心 (

k ?Z

?
2

, 0)

k? 2

, 0)

§1.5、函数 y ? A sin ??x ? ? ?的图象 1、对于函数:

(左加右减) 平移 | B | 个单位 (上加下减)

y ? Asin ??x ? ? ? ? B

y ? Asin ??x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 有:振幅 A,周
期T ?

2?

?

, 初相 ? , 相位 ?x ? ? , 频率 f ?

1 T

?

2?

?

.

3、三角函数的周期,对称轴和对称中心 函数 y ? sin(? x ? ? ) , x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x∈R(A, ? , ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ? 数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? 常数,且 A≠0)的周期 T ?

2、能够讲出函数 y ? sin x 的图象与

2? ;函 |? |

y ? Asin ??x ? ? ? ? B 的图象之间的平移伸缩变
换关系. ① 先平移后伸缩:

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为

y ? sin x

平移

| ?|

个单位

y ? sin ? x ? ? ? y ? As i n ?? ? ? x y ? Asin ??x ? ? ?

? . |? |

(左加右减) 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的 | 平移 | B | 个单位 (上加下减)

( x ?? 和 ) y ? A cos(? x ? ? ) 来 对 于 y ? As i n? 说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系. 求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图像的对称轴与对称中心,
只需令 ? x ? ? ? k? ?

( k ? Z ) 与 ? x ? ? ? k? (k ? Z ) 2 解出 x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征: A ?

?

1

?

|倍

y ? Asin ??x ? ? ? ? B

ymax ? ymin y ? ymin , B ? max . 2 2 ? 要根据周期来求, ? 要用图像的关键点来求.

§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第三章、三角恒等变换 §3.1.1、两角差的余弦公式 记住 15°的三角函数值:

② 先伸缩后平移:

y ? sin x

横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变

y ? A sin x y ? A sin ? x
1

?
? 12

sin ?
6? 2 4

cos?
6? 2 4

tan ?

2? 3

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

横坐标变为原来的 | 平移
? ?

?

|倍

1、 sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 2、 sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
- 11 -

个单位

y ? As i n ?? ? ?? x

3、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? 4、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? 5、 tan ?? ? ? ? ? 6、 tan ?? ? ? ? ?

2、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称 模) ,记作 AB ;长度为零的向量叫做零向量;长 度等于 1 个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共 线向量).规定:零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.

tan? ?tan ? . 1?tan? tan ? tan? ?tan ? . 1?tan? tan ?

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin 2? ? 2 sin ? cos ? , 变形: sin ? cos ? ? 1 sin 2? . 2 2、 cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? .
变形如下: 升幂公式: ?
2 ? ?1 ? cos 2? ? 2 cos ? 2 ? ?1 ? cos 2? ? 2sin ?

2、 a ? b ≤ a ? b . §2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量. 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.

?cos 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2 降幂公式: ? 2 1 ?sin ? ? (1 ? cos 2? ) ? 2
3、 tan 2? 4、 tan ? ?

? 2 tan? . 1 ? tan2 ?
sin 2? 1 ? cos 2? ? 1 ? cos 2? sin 2?
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运 算叫做向量的数乘.记作: ? a ,它的长度和方向 规定如下: ⑴

§3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )
( 其 中 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 ( a, b) 的 象 限 决 定, tan ? ?

?a ? ? a ,

b ). a

⑵当 ? ? 0 时 ,

? a 的方向与 a 的方向相同;当

第二章:平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三 个要素:起点、方向、长度.
-2-

? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反.
2、 平面向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当 且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . §2.3.1、平面向量基本定理

?

?

1、 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两 个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量 a , 有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a ? xi ? y j ? ?x, y ? . §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?, ⑵ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , ⑶ ? a ? ??x1 , ?y1 ? , ⑷ a // b ? x1 y2 ? x2 y1 . 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:

⑵a ?

x12 ? y12

⑶ a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ⑷ a / /b ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:

AB ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 .
a ?b a b ? x1 x2 ? y1 y2 x ? y 12 ? x 2 2? y
2 1 2 2

3、 两向量的夹角公式

co? s ?

4、点的平移公式 平移前的点为 P( x, y) (原坐标) ,平移后的对应点 为 P?( x?, y?) (新坐标) ,平移向量为 PP? ? (h, k ) , 则?

? x? ? x ? h ? y? ? y ? k .
函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? (h, k ) 平移后的

AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, C?x3 , y3 ? ,则

图像的解析式为 y ? k ? f ( x ? h). §2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例 知识链接:空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得 . 下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进行 总结归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴.直线的方向向量: 若 A、 B 是直线 l 上的任意两点, 则 AB 为直线 l 的 一个方向向量; 与 AB 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量. ⑵.平面的法向量: 若向量 n 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量 垂直于平面 ? ,记作 n ? ? ,如果 n ? ? ,那么向量 n 叫做平面 ? 的法向量.
-3-

? ⑵△ABC 的重心坐标为 ?
⑴线段 AB 中点坐标为 1、 a ? b ? a b cos? .

x1 ? x2 2

y2 , , y1 ? 2

?

x1 ? x2 ? x3 3

, y1 ? y32 ? y3 .

?

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义

2、 a 在 b 方向上的投影为: a cos? . 3、 a ? a . 4、 a ?
2 2

a .

2

5、 a ? b ? a ? b ? 0 . §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

⑶.平面的法向量的求法(待定系数法) : ①建立适当的坐标系. ②设平面 ? 的法向量为 n ? ( x, y, z) . ③求出平面内两个不共线向量的坐标

l1 ? l2 ,只需证明 a ? b ,即 a ? b ? 0 .
即:两直线垂直 ⑵线面垂直 两直线的方向向量垂直。

a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ) .
? ?n ? a ? 0 ④根据法向量定义建立方程组 ? . ? ?n ? b ? 0
⑤解方程组, 取其中一组解, 即得平面 ? 的法向量. (如图)

①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向 量是 u , 则要证明 l ? ? , 只需证明 a ∥ u , 即 a ? ?u . ②(法二)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 内的两 个相交向量分别为 m 、 n ,若 ?

? ?a ? m ? 0 ? ?a ? n ? 0

, 则l ? ? .

即:直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的 法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线 直线的方向向量都垂直。 ⑶面面垂直 若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要 2、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行 设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明 l1 ∥ 证 ? ? ? ,只需证 u ? v ,即证 u ? v ? 0 . 即:两平面垂直 两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴ 求异面直线所成的角 已知 a , b 为两异面直线,A,C 与 B,D 分别是 a , b 上的任意两点, a , b 所成的角为 ? , 则 cos ? ?

l2 ,只需证明 a ∥ b ,即 a ? kb(k ? R) .
即:两直线平行或重合 ⑵线面平行 两直线的方向向量共线。

①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向 量是 u , 则要证明 l ∥ ? , 只需证明 a ? u , 即 a ?u ? 0 . 即:直线与平面平行 直线的方向向量与该平面 的法向量垂直且直线在平面外 ②(法二)要证明一条直线和一个平面平行,也可 以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可. ⑶面面平行 若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要 证 ? ∥ ? ,只需证 u ∥ v ,即证 u ? ? v . 即:两平面平行或重合 两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明
-4-

AC ? BD AC BD

.

⑵求直线和平面所成的角 ①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
王新敞
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②求法: 设直线 l 的方向向量为 a , 平面 ? 的法向量 为 u ,直线与平面所成的角为 ? , a 与 u 的夹角为 ? , 则 ? 为 ? 的余角或 ? 的补角 的余角.即有:

sin ? ? cos ? ?

a ?u a u

.

⑶求二面角 ①定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分,

其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面 角的棱,每个半平面叫做二面角的面
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MP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值.
即 d ? MP cos n, MP

二面角的平面角是指在二面角 ? ? l ? ? 的棱上 任取一点 O,分别在两个半平面内作射线

AO ? l , BO ? l ,则 ?AOB 为二面角 ? ? l ? ? 的平
面角. 如图: A

? MP ?

n? M P n MP

?

n ? MP n

B
O

l B

⑶直线 a 与平面 ? 之间的距离 当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平 面的距离相等。由此可知,直线到平面的距离可转化 为求直线上任一点到平面的距离, 即转化为点面距离。

A ②求法: 设二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法向量
分别为 m、 n ,再设 m、 n 的夹角为 ? ,二面角

O

? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则二面角 ? 为 m 、 n 的夹角
? 或其补角 ? ? ? .
根据具体图形确定 ? 是锐角或是钝角: ◆如果 ? 是锐角,则 cos ? ? cos ? ?

即d ?

n ? MP n

.

⑷两平行平面 ? , ? 之间的距离 , 利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平 面间的距离转化为求点面距离。 即d ?

m?n m n

即 ? ? arccos

m?n m n

n ? MP n



.

◆ 如果 ? 是钝角,则 cos ? ? ? cos ? ? ?

m?n m n

⑸异面直线间的距离 , 设向量 n 与两异面直线 a , b 都垂直, M ? a, P ? b, 则两异面直线 a , b 间的距离 d 就是 MP 在向量 n 方向 上投影的绝对值。 即d ?

? m?n ? ?. 即 ? ? arccos ? ? ? m n? ? ?
5、利用法向量求空间距离 ⑴ 点 Q 到直线 l 距离 若 Q 为直线 l 外的一点, P 在直线 l 上,a 为直线 l 的 方向向量, b = PQ ,则点 Q 到直线 l 距离为

n ? MP n

.

h?

1 (| a || b |)2 ? (a ? b ) 2 |a|

6、三垂线定理及其逆定理 ⑴三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个 平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 直 P 推理模式:
王新敞
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⑵点 A 到平面 ? 的距离 若点 P 为平面 ? 外一点,点 M 为平面 ? 内任一点, 平面 ? 的法向量为 n ,则 P 到平面 ? 的距离就等于
-5-

PO ? ? , O ? ? ? ? PA ? ? A ? ? a ? PA a ? ? , a ? OA ? ?

O A a

?

概括为:垂直于射影就垂直于斜线. ⑵三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果 和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的 射影垂直
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? a : b : c ? sin A : sin B : sin C.
用途:⑴已知三角形两角和任一边,求其它元素; ⑵已知三角形两边和其中一边的对角,求其它 元素。 2、余弦定理:

PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? A ? ? a ? AO a ? ? , a ? AP ? ?
概括为:垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理 设 AC 是平面 ? 内的任一条直线, AD 是 ? 的一条 斜线 AB 在 ? 内的射影,且 BD⊥AD,垂足为 D.设 AB 与 ? (AD)所成的角为 ? 1 , AD 与 AC 所成的角为?2 , AB 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 .

?a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? 2 2 2 ?b ? a ? c ? 2ac cos B, ?c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C. ?
? b2 ? c2 ? a 2 , ?cos A ? 2bc ? a 2 ? c2 ? b2 ? cos B ? , ? 2 ac ? ? a 2 ? b2 ? c2 . ?cos C ? 2ab ?
用途:⑴已知三角形两边及其夹角,求其它元素; ⑵已知三角形三边,求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式:

B A ?
8、 面积射影定理
?1 ?2 ?

D C

已知平面 ? 内一个多边形的面积为 S S原 , 它在 平面 ? 内的射影图形的面积为 S ? S射 ,平面 ? 与平 面 ? 所成的二面角的大小为锐二面角 ? ,则

? ?

? ?

S ?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

4、三角形内角和定理: 在△ABC 中, 有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

cos? ?

S ' S射 = . S S原

?

9、一个结论 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射 影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为 ?1、? 2、?3 ,则有

5、一个常用结论: 在 ?ABC 中, a ? b ? sin A ? sin B ? A ? B; 若 sin 2 A ? sin 2 B, 则A ? B或A ? B ?

l ? l ? l ? l ? cos ?1 ? cos ?2 ? cos ?3 ? 1
2 2 1 2 2 2 3 2 2 2

. 特别注意, 2 在三角函数中, sin A ? sin B ? A ? B 不成立。
第二章:数列 1、数列中 an 与 S n 之间的关系:

?

? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 .
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).

必修 5 数学知识点
第一章:解三角形 1、正弦定理:

, (n ? 1) ? S1 注意通项能否合并。 an ? ? S ? S , ( n ? 2). n ?1 ? n
2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前 一项的差等于同一个常数,即 a n - a n ?1 =d , (n≥ 2,n∈N ) , 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项:若三数 a、A、b 成等差数列
-6?

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C (其中 R 为 ?ABC 外接圆的半径)

? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C;
? sin A ? a b c ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R

? A?

a?b 2

⑸常用性质 ①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则

⑶通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d 或 an ? pn ? q ( p 、q是常数). ⑷前 n 项和公式:

am ? an ? a p ? aq ;
② ak , ak ?m , ak ?2m ,?为等比数列,公比为 q k (下标成 等差数列,则对应的项成等比数列) ③数列 ??an ? ( ? 为不等于零的常数) 仍是公比为 q 的 等比数列;正项等比数列 ?an ? ;则 ?lg an ? 是公差为

Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? d? 2 2

⑸常用性质: ①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则

lg q 的等差数列;
④若 ?an ? 是等比数列,则 ?can ?,an

am ? an ? a p ? aq ;
②下标为等差数列的项 ?ak , ak ?m , ak ?2m ,?? ,仍组成 等差数列; ③数列 ??an ? b?( ? , b 为常数)仍为等差数列; ④若 {an } 、{bn } 是等差数列,则 {kan } 、{kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、{ap?nq }( p, q ? N * ) 、 ,?也成等 差数列。 ⑤单调性: ?an ? 的公差为 d ,则: ⅰ) d ? 0 ? ?an ? 为递增数列; ⅱ) d ? 0 ? ?an ? 为递减数列; ⅲ) d ? 0 ? ?an ? 为常数列; ⑥数列{ a n }为等差数列 ? an ? pn ? q(p,q 是常数) ⑦若等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、

? ?,? a1 ?,
2

? ?

? ?

n

1 ,q . ?a ? (r ? Z ) 是等比数列,公比依次是 q,q , q
r

2

r

n

⑤单调性:

a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1 ? ?an ? 为递增数列;

a1 ? 0,0 ? q ? 1或a1 ? 0, q ? 1 ? ?an ? 为递减数列; q ? 1 ? ?an ? 为常数列; q ? 0 ? ?an ? 为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、

S3k ? S 2 k ? 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项,求该数列 的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从 而根据规律写出此数列的一个通项。 类型Ⅱ 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式 公式法: 若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an

S3k ? S 2 k ? 是等差数列。
3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前 一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等 比数列。

G、 b 成等比数列 ? G ? ab, ⑵等比中项:若三数 a、
2

( ab 同号) 。反之不一定成立。 ⑶通项公式: an ? a1qn?1 ? amqn?m ⑷前 n 项和公式: S n ?

, (n ? 1) ? S1 构造两式作差求解。 an ? ? ? Sn ? Sn ?1 , (n ? 2)
用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一 分为二” , 即分段式; 另一种是 “合二为一” , 即 a1 和 an 合为一个表达, (要先分 n ? 1 和 n ? 2 两种情况分别进 行运算,然后验证能否统一) 。
-7-

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

类型Ⅲ

累加法:

形如 an?1 ? an ? f (n) 型的递推数列(其中 f ( n) 是关

(3) 若 p ? 1 且 q ? 0 时, 数列{ a n }为线性递推数列, 其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有 如下两种:

?an ? an ?1 ? f (n ? 1) ?a ? a ? f (n ? 2) ? n ?1 n ? 2 于 n 的函数)可构造: ? ?... ? ?a2 ? a1 ? f (1) 将上述 n ? 1 个式子两边分别相加,可得:

法一:设 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) ,展开移项整理得

an?1 ? pan ? ( p ?1)? ,与题设 an?1 ? pan ? q 比较系
数(待定系数法)得

an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... f (2) ? f (1) ? a1,(n ? 2)
①若 f ( n) 是关于 n 的一次函数, 累加后可转化为等差 数列求和; ② 若 f ( n) 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等 比数列求和; ③若 f ( n) 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ④若 f ( n) 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和. 类型Ⅳ 累乘法:

??

q q q , ( p ? 0) ? an?1 ? ? p(an ? ) p ?1 p ?1 p ?1

? an ?
以 a1 ?

? q q q ? ? p(an ?1 ? ) ,即 ? a n ? ? 构成 p ?1 p ?1 p ? 1? ?

q 为首项,以 p 为公比的等比数列.再利用 p ?1

等比数列的通项公式求出 ?a n ?

? ?

q ? ? 的通项整理可 p ? 1?

?a ? 形如 an?1 ? an ? f (n) ? n ?1 ? f ( n ) ? 型的递推数列 (其 ? an ?

得 an .

法二:由 an?1 ? pan ? q 得 an ? pan?1 ? q(n ? 2) 两式
相减并整理得

? an ? a ? f (n ? 1) ? n ?1 ? an ?1 ? f (n ? 2) ? 中 f ( n) 是关于 n 的函数) 可构造:? an ? 2 ?... ? ? a2 ? a ? f (1) ? 1

?an?1 ? an ? 的通项再转化为类型Ⅲ(累加法)便可求
出 an . ㈡形如 an?1 ? pan ? f (n) ( p ? 1) 型的递推式: ⑴当 f ( n) 为一次函数类型(即等差数列)时:

an ?1 ? an ? p, 即 ?an?1 ? an ? 构成以 an ? an ?1 a2 ? a1 为首项,以 p 为公比的等比数列.求出

将上述 n ? 1 个式子两边分别相乘,可得:

an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... ? f (2) f (1)a1,(n ? 2)
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这 种方法求解。 类型Ⅴ 构造数列法:

法一:设 an ? An ? B ? p ?an?1 ? A(n ?1) ? B? ,

B 的值, 通过待定系数法确定 A 、 转化成以 a1 ? A ? B
为首项,以 p 为公比的等比数列 ?an ? An ? B? ,再利 用等比数列的通项公式求出 ?an ? An ? B? 的通项整 理可得 an .

㈠形如 an?1 ? pan ? q (其中 p, q 均为常数且 p ? 0 ) 型的递推式: (1)若 p ? 1 时,数列{ a n }为等差数列; (2)若 q ? 0 时,数列{ a n }为等比数列;
-8-

法二:当 f (n) 的公差为 d 时,由递推式得:

an?1 ? pan ? f (n) , an ? pan?1 ? f (n ?1) 两式相减
得:an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) ? d , 令 bn ?an ?1 ? an 得:

an ?1 an f (n) a f ( n) 令 n 则 bn ?1 ? bn ? n ?1 , ? n ? n ?1 , ? bn , n ?1 n p p p p p
在转化为类型Ⅲ (累加法) , 求出 bn 之后得 an ? pnbn . 类型Ⅵ 对数变换法:

bn ? pbn?1 ? d 转化为类型Ⅴ㈠求出 bn ,再用类型Ⅲ
(累加法)便可求出 an . ⑵当 f ( n) 为指数函数类型(即等比数列)时:

形如 an?1 ? paq ( p ? 0, an ? 0) 型的递推式: 在原递推式 an?1 ? paq 两边取对数得

法一:设 an ? ? f (n) ? p ?an?1 ? ? f (n ?1)? ,通过
待定系数法确定 ? 的值, 转化成以 a1 ? ? f (1) 为首项, 以 p 为公比的等比数列 ?an ? ? f (n)? ,再利用等比数 列的通项公式求出 ?an ? ? f (n)? 的通项整理可得 an .

lg an?1 ? q lg an ? lg p ,令 bn ? lg an 得: bn?1 ? qbn ? lg p ,化归为 an?1 ? pan ? q 型,求出 bn
之后得 an ? 10 n .(注意:底数不一定要取 10,可根据
b

法二:当 f (n) 的公比为 q 时,由递推式得:

题意选择) 。 类型Ⅶ

倒数变换法:

an?1 ? pan ? f (n) ——①,an ? pan?1 ? f (n ?1) ,两
边同时乘以 q 得 an q ? pqan?1 ? qf (n ?1) ——②,由 ①②两式相减得 an?1 ? an q ? p(an ? qan?1 ) ,即

形如 an?1 ? an ? pan?1an ( p 为常数且 p ? 0 )的递推 式:两边同除于 an?1an ,转化为

1 1 ? ? p 形式, an an ?1

化归为 an?1 ? pan ? q 型求出 1 的表达式,再求 an ;
an

an ?1 ? qan ? p ,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 an . an ? qan ?1
法三:递推公式为 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均
为常数) 或 an?1 ? pan ? rqn(其中 p, q, r 均为常数) 时,要先在原递推公式两边同时除以 q
n ?1

还有形如 an ?1 ? man 的递推式,也可采用取倒数方 pan ? q 法转化成 1 ? m 1 ? m 形式, 化归为 an?1 ? pan ? q an?1 q an p 型求出 1 的表达式,再求 an .
an

,得:

类型Ⅷ

形如 an?2 ? pan?1 ? qan 型的递推式:

an?1 p an 1 ? ? ? ,引入辅助数列 ?bn ? (其中 q n?1 q q n q a p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再应用类型Ⅴ㈠的方 bn ? n n q q q
法解决。 ⑶当 f ( n) 为任意数列时,可用通法: 在 an?1 ? pan ? f (n) 两边同时除以 p
n ?1

用待定系数法,化为特殊数列 {an ? an?1} 的形式 求解。方法为:设 an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) ,比较

k ,于是 系数得 h ? k ? p,?hk ? q ,可解得 h 、

{an?1 ? kan } 是公比为 h 的等比数列,这样就化归为 an?1 ? pan ? q 型。
可得到
-9-

总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上

不同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列, 可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 an .

m?1 m m ④ Cn ? Cn ?1 ? Cn ;

⑤ n ? n! ? (n ? 1)!? n!.

5、非等差、等比数列前 n 项和公式的求法 ⑴错位相减法 ①若数列 ?an ? 为等差数列,数列 ?bn ? 为等比数列, 则数列 ?an ? bn ? 的求和就要采用此法. ②将数列 ?an ? bn ? 的每一项分别乘以 ?bn ? 的公比, 然后在错位相减,进而可得到数列 ?an ? bn ? 的前 n 项 和.

⑶分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列, 若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常 见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两 步:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. ⑷倒序相加法 如果一个数列 ?an ? , 与首末两项等距的两项之和等于 首末两项之和,则可用把正着写与倒着写的两个和式 相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为 倒序相加法。特征: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ... ⑸记住常见数列的前 n 项和: ① 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?

此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方 法.
⑵裂项相消法

c 一般地,当数列的通项 an ? (an ? b1 )(an ? b 2 )
时,往往可将 an 变成两项的差, (a, b1 , b2 , c为常数) 采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项: 设 an ?

n(n ? 1) ; 2
2

② 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n ? 1) ? n ; ③ 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?
2 2 2 2

1 n(n ? 1)(2n ? 1). 6

?
an ? b1

?

?
an ? b2

, 通分整理后与原式相

第三章:不等式 §3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc ⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
(异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b c d

比较,根据对应项系数相等得 ? ?

c ,从而可得 b2 ? b1

c c 1 1 = ( ? ). (an ? b1 )(an ? b 2 ) (b2 ? b1 ) an ? b1 an ? b 2
常见的拆项公式有:

1 1 1 ? ? ; ① n(n ? 1) n n ? 1


⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N , 且n ? 1) ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1)

1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

a?b?0? ⑧ (倒数法则)
2、几个重要不等式

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

1 1 ? ( a ? b ); ③ a ? b a ?b
- 10 -

2 2 ① a ? b ? 2ab ? a,b ? R ? , (当且仅当 a ? b 时取

" ? " 号).

变形公式: ab ?

a 2 ? b2 . 2

(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均).
变形公式:
2 2 ? a?b ? a ?b ab ? ? ; ? ? 2 ? 2 ? 2

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当
?

且仅当 a ? b 时取到等号). 变形公式:

a 2 ? b2 ?

a ? b ? 2 ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?

2

( a ? b) 2 . 2
1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n

②幂平均不等式:

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最 大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式)

a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ?

③二维形式的三角不等式:

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 3
a ? b ? c 时取到等号).
④ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ?
2 2 2

( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式:

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R). 当且
仅当 ad ? bc 时,等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式:

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0)
3 3 3

(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥一般形式的柯西不等式:

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

b a ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b b?m a?n a ?1? ? ⑦ ? a a?m b?n b
⑥ 若ab ? 0, 则 其中 (a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧ 当a ? 0时, x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;

(a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 )

? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 .
⑦向量形式的柯西不等式: 设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当

? 是零向量,或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成
立. ⑧排序不等式(排序原理) : 设 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实 数. c1 , c2 ,..., cn 是 b1 , b2 ,..., bn 的任一排列,则

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.
⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b .

3、几个著名不等式 ①平均不等式:
?

a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn . (反序和 ? 乱序和 ? 顺序和)
当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时, 反序 和等于顺序和.
- 11 -

2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? a ?1 ? b?1 2 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).

⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) 若定义在某区间上的函数 f ( x ) ,对于定义域中任 意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

“? 或 ?” ( 时同理)

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 ⑴

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、 分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法, 函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法: ①舍去或加上一些项,如 (a ? ) ?
2

? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a ? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?



1 2

3 1 ? (a ? ) 2 ; 4 2

②将分子或分母放大(缩小) ,如



1 1 ? , 2 k k (k ? 1) ( 2 2 k ?

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)


2 1 2 ?) ? , k? k k k ? k ?1


1 2 ? (k ? N * , k ? 1) 等. k k ? k ?1
5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0)
2

规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在 于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法: ⑴当 a ? 1 时, a
f ( x)

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律: 当二次项系数为正时, 小于取中间, 大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿 (奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向,写出不等式的 解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)
f ( x)

⑵当 0 ? a ? 1 时, a

? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 ⑴当 a ? 1 时,

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
⑵当 0 ? a ? 1 时,

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
规律:根据对数函数的性质转化.
- 12 -

11、含绝对值不等式的解法: ⑴定义法: a ? ?

?a (a ? 0) . ??a (a ? 0)

⑷ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a;

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a.
15、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 法一:取点定域法: 由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有点的 坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实数的符号相同.所 以,在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特 殊点 ( x0 , y0 )(如原点) , 由 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可

⑵平方法: f ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) ? g 2 ( x). ⑶同解变形法,其同解定理有: ① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); ② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); ③ f ( x) ? g ( x) ? ?g ( x) ? f ( x) ? g( x) ( g( x) ? 0) ④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0) 规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中 取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要
2

判断出 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线哪一侧的 平面区域. 即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选 原点. 法二:根据 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) ,观察 B 的

对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有: ⑴讨论 a 与 0 的大小; ⑵讨论 ? 与 0 的大小; ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ⑴不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成
2

Ax ? By ? C ? 0 ( 符号与不等式开口的符号, 若同号,
或 ? 0) 表示直线上方的区域;若异号,则表示直线上 方的区域. 即:同号上方,异号下方. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的 平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为常 数)的最值: 法一:角点法: 如果目标函数 z ? Ax ? By ( x、 y 即为公共区域 中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则这些最值都 在该公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标 代入目标函数,得到一组对应 z 值,最大的那个数为 目标函数 z 的最大值,最小的那个数为目标函数 z 的 最小值 法二:画——移——定——求: 第一步, 在平面直角坐标系中画出可行域; 第二步, 作直线 l0 : Ax ? By ? 0 ,平移直线 l0 (据可行域,将 直线 l0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解
- 13 -

立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ②当 a ? 0 时 ? ?
2

?a ? 0 ?? ? 0.

⑵不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成 立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ②当 a ? 0 时 ? ?

?a ? 0 ?? ? 0.

⑶ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;

( x, y ) ;第四步,将最优解 ( x, y ) 代入目标函数 z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法: 利用 z 的几何意义: y ? ? 纵截距. ①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直 线的纵截距最大的角点处, z 取得最大值,使直线的 纵截距最小的角点处, z 取得最小值; ②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直 线的纵截距最大的角点处, z 取得最小值,使直线的 纵截距最小的角点处, z 取得最大值.

A z z x ? , 为直线的 B B B

⑷常见的目标函数的类型: ①“截距”型: z ? Ax ? By;

②“斜率”型: z ?

y y ?b ; 或z ? x x?a
x2 ? y 2 ;

③“距离”型: z ? x 2 ? y 2 或 z ?

z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 .
在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线 性规划与代数式的几何意义求解, 从而使问题简单化.

- 14 -


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