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第七章 第四节 直线、平面平行的判定及性质


第七章 第四节 直线、平面平行的判定及性质
一、选择题 1.一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,那么直线 l 与平面 α 的 位置关系是 A.l∥α C.l 与 α 相交但不垂直 B.l⊥α D.l∥α 或 l?α ( )

2.如图边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G, 已知△A′

DE 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,则下列命题中正 确的是 ①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②BC∥平面 A′DE; ③三棱锥 A′FED 的体积有最大值. A.① C.①②③ B.①② D.②③ ( )

3.设 α、β、γ 为三个不同的平面,m、n 是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n?γ, 且________,则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ①α∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ. 可以填入的条件有 A.①或② C.①或③ B.②或③ D.①或②或③ ( )

4.设 x、y、z 是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、y、z 均为直线;②x、 y 是直线,z 是平面;③z 是直线,x、y 是平面;④x、y、z 均为平面,其中使“x⊥z 且 y⊥ z?x∥y”为真命题的是 A.③④ C.②③ B.①③ D.①② ( )

5.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,有下列命题: ①若 m?α,n∥α,则 m∥n; ②若 m∥α,m∥β,则 α∥β; ③若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α; 其中真命题的个数是 A.1 C.3 B.2 D.0 ( )

6.若 α、β 是两个相交平面,点 A 不在 α 内,也不在 β 内,则过点 A 且与 α 和 β 都平
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行的直线 A.只有 1 条 C.只有 4 条 二、填空题 7.已知 l,m 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题: ①若 l?α,m?α,l∥β,m∥β,则 α∥β; ②若 l?α,l∥β,α∩β=m,则 l∥m; ③若 α∥β,l∥α,则 l∥β; ④若 l⊥α,m∥l,α∥β,则 m⊥β. 其中真命题是________(写出所有真命题的序号). B.只有 2 条 D.有无数条

(

)

8.如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下底面的棱 A1B1, a B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P、M、N 的平面交上底面于 PQ, 3 Q 在 CD 上,则 PQ=____________. 9.已知 a、b、l 表示三条不同的直线,α、β、γ 表示三个不同的平面,有下列四个命题: ①若 α∩β=a,β∩γ=b,且 a∥b,则 α∥γ; ②若 a、b 相交,且都在 α、β 外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则 α∥β; ③若 α⊥β,α∩β=a,b?β,a⊥b,则 b⊥α; ④若 a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,则 l⊥α. 其中正确命题的序号是________. 三、解答题 10.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,侧面对角线 AB1、BC1 上分 别有两点 E、F,且 B1E=C1F. 求证:EF∥平面 ABCD.

11.如图,已知 α∥β,异面直线 AB、CD 和平面 α、β 分别交于 A、 B、C、D 四点,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. 求证:(1)E、F、G、H 共面; (2)平面 EFGH∥平面 α.

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12.如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=60° ,PA=AC=a,PB=PD = 2a,点 E 在 PD 上,且 PE∶ED=2∶1,在棱 PC 上是否存在一 点 F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论.

详解答案
一、选择题 1.解析:l∥α 时,直线 l 上任意点到 α 的距离都相等,l?α 时,直线 l 上所有的点到 α 的距离都是 0,l⊥α 时,直线 l 上有两个点到 α 距离相等,l 与 α 斜交时,也只能有两点到 α 距离相等. 答案:D 2. 解析:①中由已知可得面 A′FG⊥面 ABC, ∴点 A′在面 ABC 上的射影在线段 AF 上. ②BC∥DE,∴BC∥平面 A′DE. ③当面 A′DE⊥面 ABC 时,三棱锥 A′FED 的体积达到最大. 答案:C 3.解析:由面面平行的性质定理可知,①正确;当 n∥β,m?γ 时,n 和 m 在同一平 面内,且没有公共点,所以平行,③正确. 答案:C 4.解析:根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确. 答案:C 5.解析:①错,两直线可平行或异面;②两平面可相交,只需直线 m 平行于两平面的

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交线即可,故命题错误;③错,直线 n 可在平面内; 答案:D 6.解析:据题意如图,要使过点 A 的直线 m 与平面 α 平行,则据线 面平行的性质定理得经过直线 m 的平面与平面 α 的交线 n 与直线 m 平行, 同理可得经过直线 m 的平面与平面 β 的交线 k 与直线 m 平行,则推出 n∥ k,由线面平行可进一步推出直线 n 与直线 k 与两平面 α 与 β 的交线平行, 即要满足条件的直线 m 只需过点 A 且与两平面交线平行即可, 显然这样的 直线有且只有一条. 答案:A 二、填空题 7.解析:当 l∥m 时,平面 α 与平面 β 不一定平行,①错误;由直线与平面平行的性质 定理,知②正确;若 α∥β,l∥α,则 l?β 或 l∥β,③错误;∵l⊥α,l∥m,∴m⊥α,又 α ∥β,∴m⊥β,④正确,故填②④. 答案:②④ 8.解析:∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, a a 2a ∴MN∥PQ.∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,AP= ,∴CQ= ,从而 DP=DQ= , 3 3 3 2 2 ∴PQ= a. 3 2 2 答案: a 3 9. 解析: ①如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 可令平面 A1B1CD 为 α, 平面 DCC1D1 为 β,平面 A1B1C1D1 为 γ,又平面 A1B1CD∩平面 DCC1D1=CD,平面 A1B1C1D1∩平面 DCC1D1=C1D1, 则 CD 与 C1D1 所在的直线分别表示 a, b, 因为 CD∥C1D1,但平面 A1B1CD 与平面 A1B1C1D1 不平行,即 α 与 γ 不平 行,故①错误.②因为 a、b 相交,假设其确定的平面为 γ,根据 a∥α,b ∥α,可得 γ∥α.同理可得 γ∥β,因此 α∥β,②正确.③由两平面垂直,在一个平面内垂直 于交线的直线和另一个平面垂直,易知③正确.④当 a∥b 时,l 垂直于平面 α 内两条不相 交直线,不可得出 l⊥α,④错误. 答案:②③ 三、解答题 10. 证明:分别过 E、F 作 EM∥BB1,FN∥CC1,分别交 AB、BC 于点 M、N,连结 MN. 因为 BB1∥CC1, 所以 EM∥FN. 因为 B1E=C1F,AB1=BC1,
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所以 AE=BF. AE EM 由 EM∥BB1 得 = , AB1 BB1 BF FN 由 FN∥CC1 得 = . BC1 CC1 所以 EM=FN,于是四边形 EFNM 是平行四边形. 所以 EF∥MN.又因为 MN?平面 ABCD, 所以 EF∥平面 ABCD. 11. 证明:(1)∵E、H 分别是 AB、DA 的中点, 1 ∴EH∥BD 且 EH= BD. 2 1 同理,FG∥BD 且 FG= BD, 2 ∴FG∥EH 且 FG=EH. ∴四边形 EFGH 是平行四边形,即 E、F、G、H 共面. (2)平面 ABD 和平面 α 有一个公共点 A, 设两平面交于过点 A 的直线 AD′. ∵α∥β,∴AD′∥BD. 又∵BD∥EH,∴EH∥BD∥AD′. ∴EH∥平面 α, 同理,EF∥平面 α, 又 EH∩EF=E,EH?平面 EFGH, EF?平面 EFGH, ∴平面 EFGH∥平面 α. 12.证明:存在.证明如下:取棱 PC 的中点 F,线段 PE 的中点 M,连接 BD. 设 BD∩AC=O. 连接 BF,MF,BM,OE.

∵PE∶ED=2∶1,F 为 PC 的中点,M 是 PE 的中点,E 是 MD 的中点, ∴MF∥EC,BM∥OE. ∵MF?平面 AEC,CE?平面 AEC,BM?平面 AEC,OE?平面 AEC, ∴MF∥平面 AEC,BM∥平面 AEC.
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∵MF∩BM=M, ∴平面 BMF∥平面 AEC. 又 BF?平面 BMF, ∴BF∥平面 AEC.

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