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三角恒等变换导学案


单元

第三章 三角恒等变换

课题

3.1.1 两角差的 余弦公式

课型

新授课

教学目标 1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之
间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能 力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质. 2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中 的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题 ,提高学生分 析问题、解决问题的能力. 3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣 ,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联 系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而 培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.

教学重点 教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式. 教学难点:探索过程的组织和适当引导. 难点 课堂流程 通过公式的简单应用, 使学生初步理解公式的结构及其功能,并为建 学 习 立其他和差公式打好基础。 目 标 自 温 0 0 0 复习:求三角函数 cos 45 , cos 30 , cos15 的值 主 故 学 知 习 新 探 问题 1:请学生猜想 cos(α-β)=? 究 问题 2:利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用 α、β 的三角 出 函数来表示 cos(α-β)呢? 招 问题 3:利用向量的知识,又能如何推导发现 cos(α-β)=?
新知: cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (C(α-β))

学法指导

导学札记

1、 回顾学 习过的知 识 2、 通过阅 读课本 124-127 页课前完 成自主学 习部分

问题 4:细心观察 C(α-β)公式的结构,它有哪些特征?

点 拨 升 华

的值. 悉 例 1.利用差角余弦公式求 cos15° 通 过 例 ,sin15° 的值.? 疑 变式 1:不查表求 sin75° 题、变式 cos20° +sin110° sin20° . 解 变式 2:不查表求值:cos110° 的指导强 4 ? 5 惑 化概念的 例 2 已 知 sinα= ,α∈( ,π),cosβ= ? , β 是第三象限角, 求 理解 5 2 13 cos(α-β)的值. 变式:已知 sinα= cos(α-β)的值. 1.先由学生自己思考、 回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别 总 结 要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法 提 解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结 :(1)怎么联系有关 高 知识进行新知识的探究? (2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和 功能的认识;三角变换的特点.
1

4 5 ,α∈ (0,π),cosβ= ? ,β 是第三象限角 , 求 5 13

2.本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导 , 要正确熟练 地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系, 准确判断三角函数值的符号 .多对题目进行一题多解 , 从中比较最佳 解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路, 强化数学思想方法之目的.

课 堂 作 业

当 1.利用两角和(差)的余弦公式,求 cos 750 ,cos1050 堂 检 cos 750 cos300 ? sin 750 sin 300 测 2.求值
3.化简 cos(?

? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ?

通过训练 提高,完成 本节课学 习目标任 务,进一步 破解重点 难点

课后 拓展

1、化简 cos(? ? 300 )cos ? ? sin(? ? 300 )sin ? = 2 、 已 知 sin ? ? ? , ? ? ? ? ,

2 3

? ?

3? 2

3 ? ? ?? ? cos ? ? , ? ? ? 0, ? , 求 4 ? ? 2?

cos(? ? ? ) 的值.

我的 收获 单元 第三章 三角恒等变 换 课题
3.1.2 两角和与差 的正弦、余弦、正切 公式(1)

课型

新授课

教学目标 1.在学习两角差的余弦公式的基础上,通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余
弦、正切公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的理解,培 养学生的运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力. 2.通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分析能力,培养学生的 应用意识,提高学生的数学素质.

教学重点 教学重点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 难点 课堂流程 学 1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式,以及两角和与差的正 习 弦、正切公式,了解公式间的内在联系。 目 2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。 标 自 温 复习:两角差的余弦公式 主 故 学 知 习 新 探 问题 1:在公式 C(α-β)中,角 β 是任意角,请学生思考角 α-β 中 β 换 究 成角-β 是否可以?此时观察角 α+β 与 α-(-β)之间的联系,如何利 出 用公式 C(α-β)来推导 cos(α+β)=? 招 新知 1:

学法指导

导学札记

1、 回顾学 习过的知 识 2、 通过阅 读课本 128-129 页课前完 成自主学 习部分

2

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 问题 2:分 析观察 C(α+β)的结构有何 特征? 问题 3:在公式 C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导 sin(α+β)=?sin(α-β)=? 新知 2: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 问题 4:公式 S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何? 问题 5: 对比分析公式 C(α-β)、 C(α+β)、 S(α-β)、 S(α+β), 能否推导出 tan(α-β)=? tan(α+β)=? 新知 3: tan(α+β)=

tan? ? tan ? , 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan ?

tan(α-β)=

问题 6:分析观察公式 T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何?

点 拨 升 华

悉 例 1 :课本 129 页 ,tan105° 的值. 疑 变式 1:不查表求 cos75° 3 ? ? 解 变式 2:设 α∈(0, ),若 sinα= ,则 2sin(α+ )等于( 惑 5 2 4 1 7 7 A. B. C. 5 5 2 2 ? 3? 3 例 2 已知 sinα= ,α∈( ,π),cosβ= ? ,β∈(π, ). 3 2 2 4
求 sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).

)? D.4

通 过 例 题、变式 的指导强 化概念的 理解

课 堂 作 业

当 1、 sin 7? cos37? ? sin 83? sin 37?的值为 ( 堂 检 1 1 3 3 测 (A) ? (B) ? (C) (D) 2 2 2 2
1 ? tan2 75? 2、 的值为 ( tan75?
(A) 2 3 (B)

)

通过训练 提高,完成 本节课学 习目标任 务,进一步 破解重点 难点

)

2 3 3

?C ? ? 2

3

(D) ?

2 3 3

3

我的 收获

单元

第三章 三角恒等变换

课题

3.1.2 两角和与差 的正弦、余弦、正切 公式(2)

课型

新授课

教学目标 1.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明,
使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析 问题解决问题的能力. 2.通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分析能力,培养学生的 应用意识,提高学生的数学素质.

教学重点 教学重点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 难点 课堂流程 学 习 目 标 自 主 学 习 点 拨 升 华
理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式 的方法,体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用.

学法指导

导学札记

温 故 知 新 悉 疑 解 惑

复习:cos(α-β)= sin(α-β)=

cos(α+β)= tan(α+β)=

sin(α+β)= tan(α-β)=

1、 回顾学 习过的知 识 通 过 例 题、变式 的指导强 化概念的 理解

例 1:课本 130 页 变式 1:.化简求值: (1)cos44° sin14° -sin44° cos14° ; (2)sin14° cos16° +sin76° cos74° ; (3)sin(54° -x)cos(36° +x)+cos(54° -x)sin(36° +x). 变式 2:计算

1 ? tan75? . 1 ? tan75?

例 2 求证:cosα+ 3 sinα=2sin(

? +α). 6

变式:化简下列各式: (1) 3 sinx+cosx; (2) 2 cosx-6sinx. 例 3 (1)已知 α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值; (2)已知 sin(α+β)=

1 1 t an? . ,sin(α-β)= ,求 3 2 t an ?

变式 1:.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44° )(1+tan45° )的值.?

4

总 1.通过本节课的学习,要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、 结 正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行 提 角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式 高 asinx+bcosx= a 2 ? b 2 sin(x+φ),运用它来解决三角函数求值域、
最值、周期、单调区间等问题.

课 堂 作 业

当 堂 检 测

1、 sin163? sin 223? ? sin 253? sin 313? ? ( A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2

)

1 ? tan ? ? ? 4 ? 5,则 tan ( ? ?)的值等于( 1 ? tan ? 4 A 4+ 5 B 4- 5 C -4- 5 D -4+ 5 2、已知

通过训练 提高,完成 本节课学 习目标任 务,进一步 ) 破解重点 难点

课后 拓展

1.已知 tan ?? ? ? ? ?

?? 2 ?? 1 ? ? , tan ? ? ? ? ? , 求 tan ? ? ? ? 的值 4? 5 4? 4 ? ?

我的 收获

单元

第三章 三角恒等变 换

课题

3.1.3

二倍角的正

课型

新授课

弦、余弦、正切公式

教学目标 1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内
在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力, 从而提高解决问题的能力. 2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明.

教学重点 教学重点:二倍角公式推导及其应用. 教学难点:如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 难点 课堂流程 学法指导 导学札记 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和 学 习 正切公式,理解推导过程,掌握其应用. 目 标 cos(α+β)= sin(α+β)= 自 温 复习:cos(α-β)= 1、 回顾学 sin(α β)= tan(α+β)= tan(α β)= 主 故 习过的知 学 知 识 习 新 2、 通过阅

5

探 究 出 招

问题 1:以上六个公式中角 α、β 会有特殊关系 α=β 吗?此时公式变 成什么形式? 问题 2:在得到的 C2α 公式中,还有其他表示形式吗? 新知:

读课本 132-134 页课前完 成自主学 习部分

问题 3:细心观察二倍角公式结构,有什么特征呢?

点 拨 升 华

悉 例 1:课本 133 页 +cos15° .? 疑 变式 1:.不查表,求值:sin15° 解 cos 2a 2 惑 变式 2: 若 ?? ,则 cosα+sinα 的值为?( ? 2 sin(a ? ) 4
例 2: 证明

)?

通 过 例 题、变式 的指导强 化概念的 理解

1 ? sin 2? ? cos 2? =tanθ. 1 ? sin 2? ? cos 2?

总 结 提 高

1.本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导,明白从一般到特殊的 思想,并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三 角函数名称、角的关系,一个题目能给出多种解法,从中比较最佳 解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换 思路,强化数学思想方法之目的. 通过训练 提高,完成 本节课学 习目标任 务,进一步 破解重点 ) 难点

? 课 当 1、sin22?30’cos22?30’=___; 2、 2 cos 2 ? 1 ? _____; 堂 堂 8 ? ? 作 检 3、 sin 2 ? cos 2 ? ______; 业 测 8 8 课后 2 拓展 1、已知 180°<2α <270°,化简 2 ? cos2? ? sin ? =(
A-3cosα B 3 cosα C- 3 cosα D 3 sinα - 3 cosα

2、已知 ? ? ( A、-2cos

? 2

5? ,3? ) ,化简 1 ? sin ? + 1 ? sin ? = ( 2
B、2cos



3、已知 sin

4 ? 3 ? = ,cos =- ,则角 ? 是 第( 5 2 5 2

? 2

C、-2sin

? 2

D、2sin

? 2

)象限角

我的 收获

单元

第三章 三角恒等变换

课题

3.2

简单的三角恒

课型

新授课

等变换(1)

6

教学目标 1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式,能利用和与差的正弦、
余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思 想,提高学生的推理能力. 2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三 角恒等变换在数学中的应用.

教学重点 教学重点:1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练. 2.体会三角变换的特点. 难点
教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计。

课堂流程 学 习 目 标 自 主 学 习
1、会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明; 2、会推导半角公式,积化和差、和差化积公式(公式不要求记忆) , 进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

学法指导

导学札记

温 复习:正弦倍角公式 余弦倍角公式 正切倍角公式 故 知 新 a 探 问题 1:α 与 有什么关系? 究 2 出 2 a 问题 2:如何建立 cosα 与 sin 之间的关系? 招 2 a 1 ? cos a a 1 ? cos a a 1 ? cos a 问题 3:sin2 2 = ,cos2 = ,tan2 = 这 2 2 2 2 1 ? cos a
三个式子有什么共同特点? 问题 4:通过上面的三个问题,你能感觉到代数变换与三角变换有哪 些不同吗?

1、 回顾学 习过的知 识 2、 通过阅 读课本 139-140 页课前完 成自主学 习部分

1 [sin(α+β)+sin(α-β)]; 2 ? ?? ? ?? cos (2)sinθ+sinφ=2sin . 2 2
问题 5:证明(1)sinαcosβ= 并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同?

点 拨 升 华

课 堂 作 业

1 ? sin x ? cos x 悉 . 变式:化简:sin50° 例 1.化简: (1+ 3 tan10° ).? 疑 1 ? sin x ? cos x 1 解 例 2 已知 sinx-cosx= ,求 sin3x-cos3x 的值. 惑 2 1 ? 3? 变式:已知 sinθ+cosθ= ,且 ≤θ≤ ,求 cos2θ 的值 5 2 4 当 课后练习题 堂 检 测

通 过 例 题、变式 的指导强 化概念的 理解
通过训练 提高,完成 本节课学 习目标任

7

课后 拓展

5 a ,α 在第二象限,则 tan 的值为( 13 2 ? ? 2.设 5π<θ<6π,cos =α,则 sin 等于( ) 2 4
1.若 sinα=

)

务,进一步 破解重点 难点

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单元

第三章 三角恒等变换

课题

3.2

简单的三角恒

课型

新授课

等变换(2)

教学目标 1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式,能利用和与差的正弦、
余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思 想,提高学生的推理能力. 2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三 角恒等变换在数学中的应用.

教学重点 教学重点:1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练. 2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点. 难点
教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高 从整体上把握变换过程的能力.

课堂流程 学 1、能够利用换元、逆用公式等方法对三角函数式进行恒等变换,化简三 习 角函数式,提高学生的推理能力。 目 2、能正确地对形如 y ? a sin ? ? b cos ? 的三角函数的性质进行讨论。 标

学法指导

导学札记

3、由特殊到一般,由具体到抽象,不断提升学生的探究能力和数学思维 能力,培养学生学数学地思考问题、解决问题。 自 温 复习 1:y=Asin(ωx+φ)的周期、最值 1、 回顾学 复习 2 : y=sinx 的单调定义域、值域、单调增区间、单调减区间 主 故 习过的知 学 知 复习 3:y=cosx 的单调定义域、值域、单调增区间、单调减区间 识

习 新 探 问 题 : 如 何 把 形 如 y ? a sin ? ? b cos ? 的 函 数 转 化 为 形 如 究 y=Asin(ωx+φ)的函数 出 招 点 拨 升 华 悉 例 1:课本 141 页 ?x ? ? 疑 2 变式: 已知函数 f(x)=sin(ωx+ )+sin(ωx- )-2cos 2 ,x∈R(其中 解 6 6 惑 ω>0).?(1)求函数 f(x)的值域; (2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y=-1 ? 的两个相邻交点间的距离为 ,求函数 y=f(x)的单调增区间. 2

2、 通过阅 读课前完 成自主学 习部分 通 过 例 题、变式 的指导强 化概念的 理解

8

课 当 堂 堂 作 检 业 测 课后 拓展

C 1、在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2 2 ,则△ABC 是( )
A 等边三角形 B 等腰三角形 C 不等边三角形 D 直角三角形 2、sin20° cos70° +sin10° sin50° =_________. 1、求下列函数的最小正周期,递增区间及最大值: (1) y ? sin 2 x cos 2 x ; (2) y ? 2 cos
2

x ?1 2

通过训练 提高,完成 本节课学 习目标任 务,进一步 破解重点 难点

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单元

第三章 三角恒等变换

课题

第三章 三角恒等变 换小结

课型

复习课

教学目标 1、通过复习全章知识的方法,掌握两角和与差的正弦、余弦、正切,掌握二倍角公式,并
能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等 式以及解决一些简单的实际问题 2、掌握简单的三角恒等变换的基本思想方法,并结合向量解决一些基本的综合问题。 教学重点:和角公式、差角公式、倍角公式以及灵活应用 教学难点:和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变换中的综合运用

教学重点 难点 学 习 目 标 自 主 学 习

课堂流程
进一步掌握三角恒等变换的方法,如何利用正、余弦、正切的和差 公式与二倍角公式,对三角函数式进行化简、求值和证明:

学法指导

导学札记

本 章 知 识 框 架 悉 2 1 t an? 的值。 疑 1:已知 sin(α +β )= ,sin(α -β )= ,求 3 5 t an ? 解 惑 3 1 ; 2:化简(1)
sin 200 ? sin 700

回顾本章 学习过的 知识

点 拨 升 华

通过例题 的指导强 化概念的 理解

1 (2)sin2α sin2β +cos2α cos2β - cos2α cos2β 。 2

课 堂 作 业

当 ?? ? 堂 1、函数 y ? sin 2 x ? 2 2 cos ? ? x ? ? 3 的最小值是 ?4 ? 检 1 ? cosx 测 2、函数 y ? 图像的对称中心是 sin x

通过训练 提高,完成 本节课学 习目标任 务,进一步

9

课后 拓展

1、 已知 0 ? ? ?

?
2

,tan

?
2

?

1 tan

?
2

?

破解重点 ?? 5 ? , 试求 sin ? ? ? ? 的值. 难点 3? 2 ?

2、 已知 tan ?

sin 2? ? 2 cos 2 ? 1 ?? ? 的值. ? ? ? ? ? ,试求式子 1 ? tan ? 2 ?4 ?

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高一数学导学案
(必修四)

10







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(必修四)

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