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2015届成都高三第一次诊断试题 数学(理)Word版含答案


成都市 2015 届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? {x | x ? 0} ,集合 P ? {1} ,则 ? UP ? (A) [0,1) (C) (??,1)

(1, ??)
(1, ??)

(B) (??,1) (D) (1, ??)

2.若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形,则这个几何体的俯视图不可能是

(A) (B) (C) 3.已知复数 z ? ?4 ? 3i ( i 是虚数单位) ,则下列说法正确的是 (A)复数 z 的虚部为 ?3i (B)复数 z 的虚部为 3 (C)复数 z 的共轭复数为 z ? 4 ? 3i (D)复数 z 的模为 5

(D)

? x3 ? 1 , x ? 0 ? 4.函数 f ( x ) ? ? 1 x 的图象大致为 ?( ) , x ? 0 ? 3

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

(A)

(B)

(C)

(D)

5.已知命题 p : “若 x ? a ? b ,则 x ? 2ab ” ,则下列说法正确的是
2 2

(A)命题 p 的逆命题是“若 x ? a ? b ,则 x ? 2ab ”
2 2

(B)命题 p 的逆命题是“若 x ? 2ab ,则 x ? a ? b
2

2



(C)命题 p 的否命题是“若 x ? a ? b ,则 x ? 2ab ”
2 2

(D)命题 p 的否命题是“若 x ? a ? b ,则 x ? 2ab ”
2 2

-1-

6.若关于 x 的方程 x ? ax ? 4 ? 0 在区间 [2, 4] 上有实数根,则实数 a 的取值范围是
2

(A) (?3, ??)

(B) [ ?3, 0]

(C) (0, ??)

(D) [0,3]

7. 已知 F 是椭圆 轴.若 PF ?

x2 y2 (a ? b ? 0) 的左焦点,A 为右顶点,P 是椭圆上一点,PF ? x ? ?1 a 2 b2

1 AF ,则该椭圆的离心率是 4
(B)

(A)

1 4

3 4

(C)

1 2

(D)

3 2

8.已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,且 m // 述正确的是 (A)若 ? // ? ,则 m // n (C)若 n ? ? ,则 m ? ? 9.若 sin 2? ? (A) (B)若 m // n ,则 ? // ?

? , n ? ? ,则下列叙

(D)若 m ? ? ,则 ? ? ?

5 10 ? 3? , sin(? ? ? ) ? ,且 ? ?[ , ? ] , ? ? [? , ] ,则 ? ? ? 的值是 5 10 4 2
(B)

7? 4

9? 4

(C)

5? 7? 或 4 4

(D)

5? 9? 或 4 4

10.如图,已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 棱长为 4,点 H 在棱 AA1 上,且 HA1 ? 1 .在侧面

BCC1 B1 内作边长为 1 的正方形 EFGC1 , 且点 P 到平面 CDD1C1 P 是侧面 BCC1 B1 内一动点,
D1 C1 E A1 B1 F G

距离等于线段 PF 的长.则当点 P 运动时, HP 的最小值是 (A) 21 (B) 22 (C) 23 (D) 25

2

H

P D C A B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.若非零向量 a , b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a , b 的夹角的大小为__________. 12.二项式 ( x 2 ? )6 的展开式中含 x 的项的系数是__________. (用数字作答)
3

1 x

-2-

13. 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 若 c ? 2a ,b ? 4 ,cos B ? 的面积 S ? __________.

1 , 则 ?ABC 4

14.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? log3 ( x ? 1) .若关于 x 的不等式

f [ x2 ? a(a ? 2)] ? f (2ax ? 2x) 的解集为 A ,函数 f ( x) 在 [?8,8] 上的值域为 B ,若“ x ? A ”
是“ x ? B ”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是__________. 15. 已知曲线 C :y ? 2 x ? a 在点 Pn (n, 2n ? a )( a ? 0, n ? N ) 处的切线 ln 的斜率为 k n ,
2

直线 ln 交 x 轴, y 轴分别于点 An ( xn ,0) , Bn (0, yn ) ,且 x0 ? y0 .给出以下结论: ① a ?1; ②当 n ? N 时, y n 的最小值为
*

5 ; 4

③当 n ? N* 时, kn ?
*

2 sin

1 ; 2n ? 1

④当 n ? N 时,记数列 {k n } 的前 n 项和为 S n ,则 Sn ? 2( n ? 1 ?1) . 其中,正确的结论有 (写出所有正确结论的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 口袋中装有除颜色,编号不同外,其余完全相同的 2 个红球,4 个黑球.现从中同时取出 3 个球. (Ⅰ)求恰有一个黑球的概率; E (Ⅱ)记取出红球的个数为随机变量 X ,求 X 的分布列和 数学期望 E ( X ) .
D F

17. (本小题满分 12 分) 如图,?ABC 为正三角形, EC ? 平面 ABC , DB / / EC , F 为 EA 的中点, EC ? AC ? 2 , BD ? 1. (Ⅰ)求证: DF // 平面 ABC ; (Ⅱ)求平面 DEA 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

C

B

A

18. (本小题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 Sn ? 2an ? 2 ; 数 列 {bn } 满 足 b1 ? 1 ,

bn ?1 ? bn ? 2 . n ? N * .
(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 cn ? anbn , n ? N * .求数列 {cn }的前 n 项和 Tn . 19. (本小题满分 12 分) 某大型企业一天中不同时刻的用电量 y (单位:万千瓦时)关于时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单

-3-

位:小时)的函数 y ? f (t ) 近似地满足 f (t ) ? A sin(?t ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) ,下 图是该企业一天中在 0 点至 12 点时间段用电量 y 与时间 t 的大致图象. (Ⅰ)根据图象,求 A , ? , ? , B 的值; (Ⅱ)若某日的供电量 g (t ) (万千瓦时)与 时间 t (小时)近似满足函数关系式

g (t ) ? ?1.5t ? 20 ( 0 ? t ? 12 ) .当该日内
供电量小于该企业的用电量时,企业就必须 停产.请用二分法计算该企业当日停产的大 致时刻(精确度 0.1). 参考数据:

t (时)
g (t ) (万千瓦时)

10

11 2.433 3.5

12 2.5 2

11.5 2.48 2.75

11.25 2.462 3.125

11.75 2.496 2.375

11.625 2.490 2.563

11.6875 2.493 2.469

f (t ) (万千瓦时) 2.25
5

20. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 (2 2 , 0) ,且椭圆 ? 上一点 M 到 a 2 b2 其两焦点 F1 , F2 的距离之和为 4 3 . (Ⅰ)求椭圆 ? 的标准方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 ? 交于不同两点 A , B ,且 AB ? 3 2 .若点
已知椭圆 ? :

P( x0 , 2) 满足 PA ? PB ,求 x0 的值.
21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?

mx 2 mx 2 , g ( x) ? m ? mx ,其中 m ? R 且 m ? 0 . e ? 2.71828 ln x e



自然对数的底数. (Ⅰ)当 m ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间和极小值; (Ⅱ)当 m ? 0 时,若函数 g ( x) 存在 a , b, c 三个零点,且 a ? b ? c ,试证明:

?1 ? a ? 0 ? b ? e ? c ;
(Ⅲ)是否存在负数 m ,对 ?x1 ? (1, ??) , ?x2 ? (??,0) ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

-4-

数学(理科)参考答案及评分意见
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.A; 2.C; 3.D;4.A;5.C;6.B;7.B;8.D;9.A;10.B.

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题: (本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 90 ? 12. ?20 13. 15 14. [?2, 0] 15.① ③ ④

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)记“恰有一个黑球”为事件 A,则

P( A) ?


2 1 C2 ? C4 4 1 ? ? .???????????????????????4 3 C6 20 5

(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2 ,则

P( X ? 0) ?

3 C4 4 1 ? ? ???????????????????????2 分 3 C6 20 5

P( X ? 1) ?

1 2 C2 ? C4 12 3 ? ? ?????????????????????2 分 3 C6 20 5

P ( X ? 2) ? P ( A) ?
∴ X 的分布列为

1 ????????????????????????2 分 5

X
P
∴ X 的数学期望 EX ? 0 ?

0 1 5

1 3 5

2 1 5

1 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 1 .?????????????2 分 5 5 5
E

17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:作 AC 的中点 O ,连结 BO .

// 在 ?AEC 中, FO ?

1 / / 1 EC . EC ,又据题意知, BD ? 2 2

z
D F

/ / BD ,∴四边形 FOBD 为平行四边形. ∴ FO ?
C

y
B

O
A

-5-

x

∴ DF / / OB ,又 DF ? 平面 ABC , OB ? 平面 ABC . ∴ DF / / 平面 ABC .??????????????4 分 (Ⅱ)∵ FO / / EC ,∴ FO ? 平面 ABC . 在正 ?ABC 中, BO ? AC ,∴ OA, OB, OF 三线两两垂直. 分别以 OA, OB, OF 为 x, y,z 轴,建系如图. 则 A(1, 0, 0) , E (?1, 0, 2) , D(0, 3,1) . ∴ AE ? (?2,0, 2) , AD ? (?1, 3,1) . 设平面 ADE 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z) , 则?

? ?n1 ? AE ? 0 ? ?n1 ? AD ? 0

,即 ?

? ? ?2 x ? 2 z ? 0 ,令 x ? 1 ,则 z ? 1, y ? 0 . ? ?? x ? 3 y ? z ? 0

∴平面 ADE 的一个法向量为 n1 ? (1, 0,1) . 又平面 ABC 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1) . ∴ cos < n1 , n2 ??

n1 ? n2 1 2 . ? ? n1 n2 2 2
2 .??????????8 分 2

∴平面 DEA 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ Sn ? 2an ? 2 ? 当 n ? 2 时, Sn?1 ? 2an?1 ? 2 ?

? ? ?得, an ? 2an ? 2an?1 ,即 an ? 2an?1 ( n ? 2 ) . 又当 n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 2 ,得 a1 ? 2 . ∴数列 {an } 是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列, ∴数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n .???????????????4 分 又由题意知, b1 ? 1 , bn ?1 ? bn ? 2 ,即 bn?1 ? bn ? 2 ∴数列 {bn } 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列, ∴数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ?1 .???????????2 分

-6-

(Ⅱ) (Ⅱ)由(Ⅰ)知, cn ? (2n ?1)2n ??????????????????1 分 ∴ Tn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ?

? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n ? (2n ? 5) ? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1


2Tn ?


1? 22 ? 3? 23 ?

? ④得

?Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ?Tn ? 2(1 ? 22 ? 23 ?
∴ ?Tn ? 2 ?

? 2 ? 2n?1 ? 2 ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ???????1 分

? 2n?12n ) ? (2n ?1) ? 2n?1

2 ? 2n ? 2 ? (2n ? 1) ? 2n?1 ???????????????????1 分 1? 2

∴ ?Tn ? 2 ? 2n?1 ? 4 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 即 ?Tn ? (3 ? 2n) ? 2n?1 ? 4 ∴ Tn ? (2n ? 3)2n?1 ? 4 ∴数列 {cn }的前 n 项和 Tn ? (2n ? 3)2n?1 ? 4 ???????????????3 分 19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由图知 T ? 12 , ? ?

?

6 y ?y y ? ymin 2.5 ? 1.5 2.5 ? 1.5 1 A ? m a x m i n? ? , B ? max ? ? 2 .?????2 分 2 2 2 2 2

.?????????????????????1 分

∴ y ? 0.5sin(

?

6

x ? ?) ? 2 .

又函数 y ? 0.5sin( 代入,得 ? ? 综上, A ? 即 f (t ) ?

?
6

x ? ? ) ? 2 过点 (0, 2.5) .

?
2

? 2k? ,又 0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

?
2

.?????????????2 分

1 ? ? sin( t ? ) ? 2 . 2 6 2

1 ? ? 1 , ? ? , ? ? , B ? . ???????????????1 分 2 2 6 2

(Ⅱ)令 h(t ) ? f (t ) ? g (t ) ,设 h(t0 ) ? 0 ,则 t 0 为该企业的停产时间. 由 h(11) ? f (11) ? g (11) ? 0 , h(12) ? f (12) ? g (12) ? 0 ,则 t0 ? (11 ,12) . 又 h(11.5) ? f (11.5) ? g (11.5) ? 0 ,则 t0 ? (11.5,12) . 又 h(11.75) ? f (11.75) ? g (11.75) ? 0 ,则 t0 ? (11.5,11.75) .

) ? f (11.625) ? g (11.625) ? 0 ,则 t0 ? (11.625 又 h(11.625 ,11.75) .

-7-

又 h(11.6875 ) ? f (11.6875 ) ? g (11.6875 ) ? 0 ,则 t0 ? (11.625,11.6875 ) .?4 分 ∵ 11.6875?11.625 ? 0.0625? 0.1. ?????????????????1 分 ∴应该在 11.625 时停产.???????????????????????1 分 ( 也 可 直 接 由

h(11.625) ? f (11.625) ? g (11.625) ? 0



h(11.6875 ) ? f (11.6875 ) ? g (11.6875 ) ? 0 ,得出 t0 ? (11.625,11.6875 ) ;答案在 11.625
—11.6875 之间都是正确的;若换算成时间应为 11 点 37 分到 11 点 41 分停产) 20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)由已知 2a ? 4 3 得 a ? 2 3 ,又 c ? 2 2 . ∴b ? a ?c ? 4.
2 2 2

∴椭圆 ? 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .???????????????????4 分 12 4

?y ? x ? m , ? 2 2 (Ⅱ)由 ? x 2 y 2 得 4 x ? 6mx ? 3m ? 12 ? 0 ?1, ? ? ?12 4

① ?????????1 分

∵直线 l 与椭圆 ? 交于不同两点 A 、 B ,∴△ ? 36m2 ? 16(3m2 ? 12) ? 0 , 得 m ? 16 .
2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x 2 是方程①的两根,

3m2 ? 12 3m 则 x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? . 2 4
∴ AB ? 1 ? k
2

x1 ? x2 ? 2 ?

9 2 3 m ? (3m2 ? 12) ? 2 ? ? m2 ? 12 . 4 4

又由 AB ? 3 2 ,得 ?

3 2 m ? 12 ? 9 ,解之 m ? ?2 .???????????3 分 4

据题意知,点 P 为线段 AB 的中垂线与直线 y ? 2 的交点. 设 AB 的中点为 E ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 当 m ? 2 时, E ( ?

x1 ? x2 3m m ?? , y0 ? x0 ? m ? , 2 4 4

3 1 , ) 2 2

∴此时,线段 AB 的中垂线方程为 y ?

1 3 ? ?( x ? ) ,即 y ? ? x ? 1 . 2 2

-8-

令 y ? 2 ,得 x0 ? ?3 .?????????????????????????2 分 当 m ? ?2 时, E ( , ? ) ∴此时,线段 AB 的中垂线方程为 y ?

3 2

1 2

1 3 ? ?( x ? ) ,即 y ? ? x ? 1 . 2 2

令 y ? 2 ,得 x0 ? ?1 .????????????????????????2 分 综上所述, x 0 的值为 ?3 或 ?1. 21.(本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ) f ?( x) ? ? m

2 x ln x ? x 2 ? (ln x) 2
1

1 x ? m x ? 2 x ln x ? mx ? (1 ? 2 ln x) ( x ? 0 且 x ? 1 ) . (ln x) 2 (ln x) 2
1

∴由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e 2 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? e 2 ,且 x ? 1 .????????1 分 ∴函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0,1),(1, e) ,单调递增区间是 ( e ,??) .??????2 分 ∴ f ( x)极小值 ? f ( e ) ? ?2me.????????????????????????1 分 (Ⅱ) g ?( x) ? ?

2mxemx ? mx 2emx m mx(mx ? 2) ? , (m ? 0) . e2 mx emx
2 2 ) 上单调递减, ( , ?? ) 上单调递增. m m

∴ g ( x) 在 ( ??, 0) 上单调递增, (0, ∵函数 g ( x) 存在三个零点.

? m?0 ? g (0) ? 0 ? 2 ? ? 4 ?? ?0?m? . ∴? 2 e g( ) ? 0 ? ? m? m ?0 ? m 2 ? e ?
∴ 0 ? me ? 2 ???????????????????????????????3 分 由 g (?1) ? m ? me ? m(1 ? e ) ? 0 .
m m

∴ g ( e) ? m ?

me2 e2 ? m (1 ? ) ? 0 .????????????????????1 分 eem eem

综上可知, g (e) ? 0, g (0) ? 0, g (?1) ? 0 , 结合函数 g ( x) 单调性及 a ? b ? c 可得: a ? (?1,0), b ? (0, e), c ? (e, ??) . 即 ?1 ? a ? 0 ? b ? e ? c ,得证.??????????????????????1 分

-9-

(III)由题意,只需 f ( x)min ? g ( x)max ∵ f ?( x) ?

mx(1 ? 2 ln x) (ln x) 2
1
1

由 m ? 0 ,∴函数 f ( x) 在 (1, e 2 ) 上单调递减,在 (e 2 , ??) 上单调递增. ∴ f ( x)min ? f (e ) ? ?2me .????????????????????????2 分 ∵ g ?( x ) ?
1 2

mx(mx ? 2) e mx
2 2 ) 上单调递增, ( ,0) 上单调递减. m m

由 m ? 0 ,∴函数 g ( x) 在 ( ??, ∴ g ( x) max ? g (

2 4 ) ? m ? 2 .???????????????????????2 分 m em 4 4 2 2 ∴ ?2me ? m ? 2 ,不等式两边同乘以负数 m ,得 ?2m e ? m ? 2 . em e
∴ (2e ? 1)m ?
2

4 4 2 m ? ,即 . 2 e (2e ? 1) e2

由 m ? 0 ,解得 m ? ?

2 2e ? 1 . e(2e ? 1) 2 2e ? 1 ) 满足题意.???????????1 分 e(2e ? 1)

综上所述,存在这样的负数 m ? (??, ?

- 10 -


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