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2014年高二数学文科上期期中考试题


2014 年高二数学文科上期期中考试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. 下列命题中的假命题是( ) A. ? x ? R , 2x?1 ? 0 C. ? x ? R , lg x ? 1 B. ? x ? N * , ( x ? 1)2 ? 0 D. ? x ? R , tan x ? 2

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离为 6, 2.若椭圆 则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 ) ( 16 25
A.2 B.4 3.已知, p : A ? x y ? A.充分不必要条件 C.充要条件

?

C. 6

2 ? x , q : B ? ?x 0 ? x ? 2?,则 p 是 q 的( )
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

D. 8

4.两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km) , 灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南偏东 60°,则 A,B 之间相距( A. 2 a(km) ) B. 3 a(km) C. a(km) D.2 a(km)

5.若变量 x , y 满足约束条件

? y ? 1, ? 则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ? x ? y ? 0, ? x ? y ? 2 ? 0, ?
C. 2 D. 1
2



A. 4

B. 3

6.已知等比数列 ?a n ?中, an ? 0, a1 , a9 为方程 x ? 10x ? 16 ? 0 的两根,则 a2 a5 a8 的值 为( ) A.32 B.64 C.128 D.256

7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )

4 A. 5

3 B. 5

2 C. 5

1 D. 5

8.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 A.

1 8
t t ?9
2

1 B. 3

S4 1 S ? ,则 8 等于( ) S16 S8 3 1 3 C. D. 9 10


9.若不等式 A.

≤a≤

t?2 t2
B. [

在 t ∈(0,2]上恒成立,则 a 的取值范围是(

1 [ ,1] 6

2 ,1] 13
1

C. [

2 4 , ] 13 13

D. [ ,2 2 ]

1 6

10.已 知 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 且 b ? 0 , 若 对 任 意 x 有 f ( x) ? 0 , 则 为( ) B.

f (1) 的最小值 b

A.3

5 2

C.2

D.

3 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. )
2 11.命题“ ? x0 ? R , x0 ? 2 x0 ? 5 ? 0 ”的否定是

?x ? 1 ?y ? 0 y ? 12. 已知 x, y 满足 ? ,则 的最大值为____________. x ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ?
13. 一个数列 ? ,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,?? ,它的首项是 1 ,随后两项都是 2 , 1 接下来 3 项都是 3 ,再接下来 4 项都是 4 ,?,依此类推,若第 n ? 1 项是 20,第 n 项 是 21,则 n ? . 14. 已知 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ?

a 1 n ?1 , n ? ,则 an ? ____________, 2 a n ?1 n ? 1

S 2010 ? ____________
15. 已知 a ? b ? 0 ,则 a ?
2

16 的最小值是 b ?a ? b?

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 75 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 ) 16.已知椭圆的两个焦点分别为 F (0, ?2 2), F2 (0,2 2) ,离心率 e ? 1 方程。 17.设命题 P:指数函数 f ( x) ? a x 在 R 上单调递减,命题 Q:不等式 ax2 ? x ? a ? 0 对 ?x ? R 恒成立,如果 P 或 Q 为真,P 且 Q 为假,求 a 的取值范围。

2 2 ,求椭圆的标准 3

b 18. 在△ ABC 中,a , ,c 分别是三内角 A ,B ,C 所对应的三边, 已知 b ? c ? a ? bc
2 2 2

2

(1)求角 A 的大小; (2)若 sin B sin C ?

3 ,试判断△ ABC 的形状,并说明理由. 4

19.某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜,每种柜的制造白坯时间,油漆时间及有关数 据如下: 工艺要求 产品甲 产品乙 生产能力(分钟/天) 制白坯 分钟/台 油漆 利润 分钟/台 元/台 6 8 20 12 4 24 120 64

问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大利润,并且最大利润是多少?

20.已知二次函数 f ? x ? ? x ? ax ? a(a ? 0, x ? R) 不等式 f ? x ? ? 0 的解集有且只有一个
2
* 元素,设数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? f ? n ? n ? N

?

?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; 3n

(3)设各项均不为 0 的数列 ?cn ? 中,所有满足 cm ? cm?1 ? 0 的正整数 m 的个数,称为这 个数列 ?cn ? 的变号数,若 cn ? 1 ?

a ? n ? N * ? ,求数列 ?cn? 的变号数。 an

数学(文)科参考答案
3

BBBAB

BBDBC

? x ? R , x 2 ? 2x ? 5 ? 0 ;2;211;

2010 1 , (前 3 后 2) ;16; n(n ? 1) 2011

x2 y2 16、解: 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , b a
由已知 c ? 2 2,

c 2 2 2 2 2 ,b ? c ? a ? a 3
y2 ? x 2 ? 1。 9

? a ? 3, b ? 1 ,? 椭圆方程为

17、解:命题 P:指数函数 f ( x) ? a x 在 R 上单调递减, 0 ? a ? 1 命题 Q:不等式 ax2 ? x ? a ? 0 对 ?x ? R 恒成立, 当 a ? 0 时, ? x ? 0, x ? 0 ,不合题意;

当 a ? 0 时,则 ?

?a ? 0 ?? ? 1 ? 4a ? 0
2

得a ?

1 2

P 或 Q 为真,P 且 Q 为假,P、Q 中有且仅有一个为真 ∴0 ? a ?

1 或 a≥1 2

18、 解:(1)在△ABC 中,由余弦定理可得, b2+c2-a2 cosA= , 2bc 1 2 2 2 由已知得,b +c -a =bc,∴cosA= , 2 π ∵0<A<π ,故 A= . 3 π 2π (2)∵A+B+C=π ,A= ,∴C= -B. 3 3 3 ?2π ? 3 由 sinBsinC= 得,sinBsin? -B?= , 4 ? 3 ? 4 2π ? 2π ? 3 即 sinB?sin cosB-cos sinB?= , 3 3 ? ? 4 ∴ ∴ 3 1 3 2 sinBcosB+ sin B= , 2 2 4 π? 3 1 3 3 1 ? sin2B+ (1-cos2B)= , sin2B- cos2B=1,∴sin?2B- ?=1. 6? 4 4 4 2 2 ?

4

2π π π 7π 又∵0<B< ,∴- <2B- < , 3 6 6 6 π π π ∴2B- = ,即 B= . 6 2 3 π ∴C= ,也就是△ABC 为等边三角形. 3 19、解:每日生产甲 x 台,乙 y 台 ,利润 z 元

?6 x ? 12 y ? 120 ?8 x ? 4 y ? 64 ? 则? (其中 x, y ? N ) , x?0 ? ?y ? 0 ? 目标函数 z ? 20x ? 24 y ?6 x ? 12 y ? 120 ?x ? 4 解方程 ? 得? ?8 x ? 4 y ? 64 ?y ? 8 zmax ? 80 ? 24? 8 ? 272
答:安排甲、乙二种柜的日产量分别为 4 台和 8 台可获最大利润 272 元 20、解: (1)? f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素

? ? a2 4 ? ? a

0?

a 或?a ? 0
2

4 ?

又由 a ? 0得a ? 4, f ( x) ? x ? 4 x ? 4

? Sn ? n2 ? 4n ? 4
当 当

n ? 1时,a1 ? S1 ? 1 ? 4 ? 4 ? 1;

n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 5

?1 ? n ? 1? ? ? an ? ? ?2n ? 5 ? n ? 2且n ? N ? ?
? Tn ? 1 ?1 1 3 2n ? 5 ? 2 ? 3 ? 4 ??? 3 3 3 3 3n

(2)



1 1 ?1 1 3 2 n ? 7 2n ? 5 ? Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? ? n ?1 3 3 3 3 3 3n 3



2 1 2 1 1 1 2n ? 5 T ? ? 2 ? 2( 3 ? 4 ? ? ? n ) ? n ?1 3 3 3 3 3 3 由①-②得 3

? Tn ?

1 n ?1 ? 3 3n

5

(n ? 1) ?? 3 ? cn ? ? 4 (n ? 2, n ? N ) ?1 ? 2n ? 5 ? (3)由题设

? n ? 3时, c n ?1 ? c n ?

4 4 8 ? ? ?0 2n ? 5 2n ? 3 (2n ? 5)(2n ? 3)

? n ? 3时, 数列{c n }递增 1 4 ? c 4 ? ? ? 0,由1 ? ? 0 ? n ? 5可知a n ? 0(n ? 5)且c 4 ? c5 ?? 0 3 2n ? 5 即n ? 3时,有且只有一个变号 数 又 ? c1 ? ?3, c 2 ? 5, c3 ? ?3,即c1 ? c 2 ? 0, c 2 ? c3 ? 0. ? 此处变号数有2个.
综上,得数列

{cn } 共有 3 个变号数,即变号数为 3.

6


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