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1-1-2-1多面体与棱柱


名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2

第一章 立体几何初步

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立体几何初步

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§ 1.1 空间几何体

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§ 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征

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多面体与棱柱

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自测自评

名师讲解

典例剖析

技能演练

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1.多面体是由________所围成的几何体,围成多面体 的________叫做多面体的面,相邻的两个面的________叫做 多面体的棱,棱和棱的________叫做多面体的顶点,连接不 在同一个面上的________叫做多面体的对角线.

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2.棱柱有两个________的面,而且夹在这两个 ________间的每相邻两个面的交线都________,棱柱的这两 个________的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做________, 两侧面的________叫做棱柱的侧棱,棱柱________的距离, 叫做棱柱的高.

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3.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做________,侧棱与底 面垂直的棱柱叫做________,底面是正多边形的________叫 做正棱柱. 4.底面是________的棱柱叫做平行六面体,________ 的平行六面体叫做直平行六面体,底面是________的直平行 六面体叫做长方体,棱长都________的长方体是正方体.

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答案 1.若干个平面多边形 各个多边形 公共边 公共点 两个顶点的线段 2.互相平行 平行平面 互相平行 互相平行 棱柱 的侧面 公共边 两底面之间 3.斜棱柱 直棱柱 直棱柱 4.平行四边形 侧棱与底面垂直 矩形 相等

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自测自评
1.(2011· 福建福州三中期末考试)下列说法正确的是( A.正方体是四棱柱 B.棱柱的各条棱长都相等 C.棱柱的侧面可以是三角形 D.棱柱的所有侧棱与底面都垂直

)

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解析 当棱柱的侧面是菱形时,它的所有棱长都相等, 其他时候侧棱长与底面边长不相等;棱柱的侧面都是平行四 边形;直棱柱的侧棱与底面垂直,斜棱柱的侧棱与底面不垂 直,故B、C、D均错误,正方体是四棱柱,也是正四棱柱.

答案 A

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2.关于平行六面体的说法,正确的是( A.底面是平行四边形的棱柱是平行六面体 B.底面是矩形的平行六面体是长方体 C.直四棱柱是平行六面体 D.正四棱柱是正方体

)

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解析 底面是矩形的直平行六面体是长方体,故B错; 直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故直四棱柱不一定是 平行六面体,故C错;棱长都相等的正四棱柱是正方体,故 D错;事实上,A选项是平行六面体的定义,故A正确.

答案 A

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3.下列各棱柱中,没有对角线的是( A.三棱柱 C.五棱柱 B.四棱柱

)

D.不存在这样的棱柱

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解析 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,连接 不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线,因 为三棱柱的任意两个顶点都在同一面上,故三棱柱不存在对 角线.

答案 A

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4.若长方体共顶点的三个面的面积分别为 6,则其对角线长为( A.2 3 C. 3 ) B.3 2 D. 6

2,

3,

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解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a,b,c. ∴ab= 2,ac= 3,bc= 6, ∴a=1,b= 2,c= 3, ∴对角线长为 a2+b2+c2= 1+2+3= 6.

答案 D

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名师讲解
1.关于棱柱 棱柱是多面体中最简单的一种,对棱柱的概念应正确理 解,准确把握,它有两个本质特征:①有两个面(底面)互相 平行;②其余每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.因 此,棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形.但 是要注意“有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的 几何体”不一定是棱柱,如图所示.

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2.特殊的四棱柱 一些特殊的四棱柱是本节研究的一个重点,为便于理解 与掌握,我们把四棱柱与平行六面体及特殊的平行六面体之 间的关系图示如下:

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底面为平 侧棱垂直 四棱柱 ――→ 平行六面体 ――→ 直平行六面体 行四边形 于底面 底面为 底面为 侧棱与底面 ――→ 长方体 ――→ 正四棱柱 ――→ 正方体 矩形 正方形 边长相等 注意 平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边 形,平行六面体的任何一个面都可以看成是它的底面.因 此,灵活地选择底面就成为解决有关问题(尤其是后边将要 学的棱柱的体积问题)的重要技巧.

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典例剖析
题型1 棱柱的概念、性质 例1 关于棱柱,下列说法正确的是( A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C.棱柱的侧棱长叫做棱柱的高 D.棱柱的侧面是平行四边形,而底面一定不是平行四 边形 )

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解析 根据棱柱的定义,棱柱中至少存在上、下底面互 相平行,故A正确;事实上,在棱柱的底面的定义中,互相 平行的面是特指的,反之则不一定,如果底面是梯形时,有 两个侧面互相平行,则这两个侧面也不能称底面,故B不正 确;棱柱的高指的是两底面间的距离,当侧棱垂直底面,即 直棱柱的高等于侧棱长,故C错;平行六面体的各个面都是 平行四边形,故D错.

答案 A

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变式训练1 关于棱柱的说法,下列正确的个数为( ①一个棱柱至少有5个面、6个顶点、9条棱;②棱柱的

)

侧面不可能是菱形;③直四棱柱的侧面是矩形;④正棱柱的 对角线的长度都相等. A.1 C.3 B.2 D.4

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解析 面最少的棱柱是三棱柱,它有5个面、6个顶点、 9条棱,故①正确;正方形是菱形,故正方体的侧面是菱 形,所以②错;因为直棱柱的侧棱垂直底面,所以直棱柱的 侧面是矩形,故③正确;对于底面是五边形及五边形以上的 正棱柱,它们的对角线不都相等,故④不正确.

答案 B

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题型2 特殊四棱柱的关系 例2 关于平行六面体,说法正确的是( A.棱长都相等的直平行六面体是正方体 B.底面是正方形的平行六面体是正四棱柱 C.平行六面体的三组对面都互相平行 D.侧棱垂直底面的平行六面体是长方体 )

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解析 棱长都相等的直平行六面体中的底面不一定是正 方形,故A错;正四棱柱的底面是正方形,且侧棱与底面垂 直,故B错;侧棱垂直底面且底面是矩形的平行六面体是长 方体,故D错;C正确.

答案 C

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规律技巧 在四棱柱中,有以下关系应掌握好:

直平行 底面是矩形 底面是正方形 ――→ 长方体 ――→ 正四棱柱 六面体 棱长相等 ――→ 正方体

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变式训练2 已知集合I={四棱柱},M={平行六面 体},N={直平行六面体},P={正四棱柱},Q={长方 体},R={直四棱柱},S={正方体},则下列关系中不正确 的是( ) B.S?Q?N?M D.(M∪R)?I

A.S?P?Q?R C.(M∩R)?Q

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解析 M∩R={直平行六面体},Q={长方体}. ∴Q?(M∩R),故C错.

答案 C

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题型3 侧面展开问题 例3 如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=3,BC= 2,AA1=1,一只蚂蚁由A到C1在长方体表面上爬行的最短距 离为多少?

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剖析 将长方体按不同方式将侧面展开,然后求AC1的 长度,最后通过比较,确定最短距离.

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解析 展开1如图.

AC1= 52+12= 26. 展开2如下左图. AC1= 32+32=3 2.

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展开3如上右图. AC1= 42+22=2 5. ∴蚂蚁由A到C1在正方体表面上爬行的最短距离为3 2.

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规律技巧 ?1?解答多面体上两点间最短线路问题,一般 地是将多面体展开,转化为平面内两点间线段的长. ?2?本例的解答体现了化立体为平面、化抽象为具体、化 复杂为简单的转化思想.

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变式训练3 如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB= 3,AA1=4,M为AA1中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧 面经过棱CC1到M的最短距离为 29 ,设这条最短路线与CC1 交于N.

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求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC与NC的长度.

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解析 (1)正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面展开图是一个长 为9,宽为4的矩形,其对角线长为 92+42= 97. (2)如下图,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120° ,使其与侧 面AA1C1C在同一平面上,点P的对应点为P1,连接MP1,则 MP1就是点P由棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线.

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设PC=x,则P1C=x,在Rt△MAP1中, 由勾股定理得(3+x)2+22=29. 解得x=2,x=-8(舍去).∴PC=P1C=2. NC P1C 2 4 ∵MA=P A=5,∴NC=5. 1

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题型4 柱体中的简单计算 例4 长方体的表面积为11,十二条棱长度之和为24, 求长方体的一条对角线长. 剖析 若长方体的长、宽、高分别是a、b、c. 则长方体的表面积为2(ab+bc+ca), 长方体的对角线长度为 a2+b2+c2.

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解析 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,
?2?ab+bc+ca?=11, ? 则? ?4a+4b+4c=24. ? ?2ab+2bc+2ca=11, ? ∴? ?a+b+c=6. ?

∴对角线长= a2+b2+c2 = ?a+b+c?2-?2ab+2bc+2ca?= 62-11 = 25=5.

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规律技巧 要熟记:?a+b+c?2=a2+b2+c2+2ab+2bc +2ca.

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变式训练4 一个正三棱柱的底面边长是4,高是6,过 下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面,求这个 截面的面积.

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解析 如图正三棱柱ABC—A′B′C′,符合题意的截 面为△A′BC,取BC中点O.

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在Rt△A′B′B中,A′B′=4,BB′=6, ∴A′B= A′B′2+BB′2= 42+62=2 13. 1 在等腰△A′BC中,BO=2×4=2,A′O⊥BC, ∴A′O= A′B2-BO2= ?2 13?2-22=4 3, 1 1 ∴S△A′BC=2BC· A′O=2×4×4 3=8 3, ∴这个截面的面积为8 3.

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