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河北省石家庄市第一中学2013-2014学年高二上学期开学考试 数学理试题 Word版含答案


石家庄一中 2012 级高二级部第一学期开学考试数学试卷 试卷Ⅰ (共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.每小题选出答案后,请填涂在答题卡上. 1.已知集合 M ? ??1,0,1? , N ? ?0,1,2? ,则如图所示韦恩图 部分所表示的集合为( C ) A. ?0,1? B. ??1,0,1? C. ??1, 2? D. ??1,0,1, 2? 中的阴影

2.在下列命题中,不是公理 的是( A ) .. A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 3.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( D ) A. y ? 2| x| B. y ? lg( x ?

x2 ? 1)

C. y ? 2x ? 2? x

D. y ? lg

4.过点 (1,0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是( D ) A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

1 x ?1

5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是( B ) A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m 6.为了得到函数 y ? sin(2 x ? A.向左平移 B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D.若 l //? , m//? ,则 l //m

?
3

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图像( B )

? ? 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 4 4 ? ? C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位 2 2 7.等比数列 x , 3x ? 3 , 6 x ? 6 , ? 的第四项等于( A )
A. ?24 B. 0 C. 9 x ? 9 D. 24

8. 在 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a 、b 、c , 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则 ?ABC 的形状为( B ) A.锐角三角形 C.钝角三角形

B.直角三角形 D.不确定 半圆的直径

9.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图中 为 2 ,则该几何体的体积为( C )

-1-

A. 24 ? C. 24 ?

?
3 3 ? 2

B. 24 ?

?
2

D. 24 ? ?

10.已知点 A ? ?1,1? 、 B ?1, 2 ? 、 C ? ?2, ?1? 、 D ? 3, 4 ? ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为 ( A ) A.

??? ?

??? ?

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

11.设 f ( x) 是定义在实数集 R 上的函数,满足条件 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,且当 x ? 1 时,

2 3 1 1 f ( x) ? ( ) x ? 1 ,则 f ( ) 、 f ( ) 、 f ( ) 的大小关系是( D ) 3 2 2 3 1 3 2 2 1 3 A. f ( ) ? ( ) ? f ( ) B. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 2 3 3 3 2 3 2 1 2 3 1 C. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 3 3 2 3 x 12 . 设 函 数 f ( x) ? e ? 2 x? a ( a?R , e 为自然对数的底数) . 若 存 在 b ? [ 0, 1] 使

f ( f (b)) ? b 成立,则 a 的取值范围是( B )
A. [1, e] B. [1,1 ? e] C. [e,1 ? e] D. [0,1]

试卷 II(90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.答案填在答题纸相 应的空内. 13.已知函数 f ( x) ? ?

?log3 x, x ? 0
x ?2 , x ? 0

,则 f ( f ( )) ?

1 9

***



1 4

?5 x ? 2 y ? 18 ? 0 ? 14.设变量 x 、 y 满足 ? 2 x ? y ? 0 ,若直线 kx ? y ? 2 ? 0 经过该可行域,则 k 的最大 ?x ? y ?3 ? 0 ?
值为 .1 15 . 已知 三棱 柱 ABC ? A1B1C1 的 6 个顶 点 都在 球 O 的 球面 上,若 AB ? 3,AC ? 4 ,

AB ? AC , AA1 ? 12 ,则球 O 的体积为

133 2197 ?? ?. 6 6

16. 已知 f ( x ) ?

1 , 各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,an? 2 ? f (an ) , 若 a2 0 1 1? x
-2-

? 2 0 1 a



则 a20 ? a11 的值是 【解析】由题意得, a 3 ?



1 2 8 , a 5 ? ,…, a11 ? , 2 3 13

∵a2010 ? a2012 ,且 a n. >0,∴a 2010 ?

?1? 5 ,易得 a2010 = a2008 =…= a 24 = a 22 = a 24 = a 20. , 2

∴a 20. + a11 =

? 1 ? 5 8 3 ? 13 5 + = . 13 26 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请将解答过程书写在答题纸上, 并写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知直线 l 被两直线 l1 : 4x ? y ? 6 ? 0 和 l2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得线段的中点为 P(0, 0) , 求直线 l 的方程. 17 解:设所求直线 l 与两直线 l1 , l2 分别交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

x1 ? y1 ? 0, 且x2 ? y2 ? 0 ,

……………4 分

又因为点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 分别在直线 l1 , l2 上,则

36 ? x1 ? ? ? ? 4 x1 ? y1 ? 6 ? 0 ? 4 x1 ? y1 ? 6 ? 0 ? 23 得? ,即 ? 解得 ? , 6 ? 3 x2 ? 5 y 2 ? 6 ? 0 ? ?3 x1 ? 5 y1 ? 6 ? 0 ?y ? 1 ? 23 ?
所求直线 l 即为直线 AP ,所以 y ? ?

1 x 为所求.……………10 分 6

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?

(Ⅰ )求 f ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?
3 ?? ? 3? ? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 f ? 2? ? ? . 5 3? ? 2 ? ?

(Ⅱ )若 cos ? ?

18 解:(Ⅰ ) f ??

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 . 4 ? 6? ? 6 12 ? ? 4?
-3-

……………4 分 (Ⅱ )

?? ? ? ? ?? ? ? ? f ? 2? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? 3? 3 12 ? 4? ? ? ?
……………6 分 因为 cos ? ?

3 4 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? ,…………8 分 5 5 ? 2 ?
24 7 2 2 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? …10 分 25 25

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 所以 f ? 2? ?

? ?

7 ? 24 ? 17 ?? ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? ? ? ? ? .……………12 分 25 ? 25 ? 25 3?

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,且 a 与 b 满足 | ka ? b |? 3 | a ? kb | , 其中实数 k ? 0 . (Ⅰ )试用 k 表示 a ? b ; (Ⅱ )求 a ? b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 ? 的值. 解: (I)因为 | ka ? b |? 3 | a ? kb | ,所以 | ka ? b |2 ? 3 | a ? kb |2 ,

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? k 2 a 2 ? 2ka ? b ? b 2 ? 3a 2 ? 6ka ? b ? 3k 2b 2 ,……3 分

? ? ? ? 8ka ? b ? (3 ? k 2 )a 2 ? (3k 2 ? 1)b 2 ,
? ? (3 ? k 2 ) ?1 ? (3k 2 ? 1) ?1 2k 2 ? 2 k 2 ? 1 . …………6 分 a ?b ? ? ? 8k 8k 4k
(Ⅱ )由(1) a ? b ?

? ?

k 2 ?1 k 1 k 1 1 ? ? ?2 ? ? ,…………9 分 4k 4 4k 4 4k 2

k 1 ? ,即 k ? 1 时取等号. …………10 分 4 4k 1 1 ? ? ? ? ? 此时, a ? b ?| a | ? | b | ? cos ? ? , cos ? ? , ? ? , 2 2 3 ? ? 1 ? ? ? 所以 a ? b 的最小值为 ,此时 a 与 b 的夹角 ? 为 …………12 分 2 3
当且仅当 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 y ? f ( x) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是函数 y ? f ( x) 的一个不 动点.设二次函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? (b ?1) .
2

(Ⅰ )对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,若 y ? f ( x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是 f ( x ) 的不动点,且
-4-

A, B 两点关于直线 y ? kx ?


1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.

解: (Ⅰ )∵ 函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,

f ( x) ? x ? ax2 ? bx ? (b ?1) ? 0 恒 有 两 个 不 等 的 实 ? ? b2 ? 4a(b ?1) ? b2 ? 4ab ? 4a ? 0 对 b ? R 恒成立, ∴ (4a)2 ?16a ? 0 ,得 a 的取值范围为 (0,1) .……………4 分 x ? x2 b ?? (Ⅱ )由 ax2 ? bx ? (b ?1) ? 0 得 1 , 2 2a 1 由题知 k ? ?1 , y ? ? x ? ,……………6 分 2a 2 ? 1 b b 1 , ? 2 ) ,……………10 分 设 A, B 中点为 E ,则 E 的横坐标为 (? 2a 2a 2a ? 1 b b 1 ? ? 2 ∴ ? , 2a 2a 2a ? 1 1 a 1 2 ?? ?? ∴ b?? 2 ,当且仅当 2a ? (0 ? a ? 1) ,即 1 a 2a ? 1 4 2a ? a 2 2 时等号成立,∴ b 的最小值为 ? .……………12 分 a? 2 4
21. (本小题满分 12 分) 如图,几何体 ABCD ? B1C1D1 中,四边形
? 形, ?BAD ? 60 , AB ? a ,面 B1C1 D1 ∥面





D1

C1 B1
E

ABCD 为 菱
ABCD


BB1 、 CC1 、 DD1 都 垂 直 于 面 A B C D, 且
E 为 CC1 的中点, F 为 AB 的中点.
(Ⅰ )求证: ?DB1E 为等腰直角三角形; (Ⅱ )求二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值.
A

D

BB1 ? 2a ,
C
B

F

? 21 解 :(Ⅰ ) 连接 BD ,交 AC 于 O ,因为四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 ,所以

BD ? a ,因为 BB1 、 CC1 都垂直于面 ABCD ,

? BB1 // CC1 ,又面 B1C1D1 ∥面 ABCD ,? BC // B1C1 .
所以四边形 BCC1B1 为平行四边形,则 B1C1 ? BC ? a .

-5-

因为 BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,则

DB1 ? DB 2 ? BB12 ? a 2 ? 2a 2 ? 3a

DE ? DC 2 ? CE 2 ? a 2 ?

a2 6a ? 2 2 a2 6a ? 2 2

B1E ? B1C12 ? C1E 2 ? a 2 ?
所以 DE ? B1E ?
2 2

6a 2 ? 6a 2 ? 3a 2 ? DB12 4
……………6 分

所以 ?DB1E 为等腰直角三角形.

(Ⅱ )取 DB1 的中点 H , 因为 O, H 分别为 DB, DB1 的中点, 所以 OH ∥BB1 以 OA, OB, OH 分别为 x, y, z 轴建立坐标系,则

a 3 2 a 3 a D(0, ? , 0), E (? a, 0, a), B1 (0, , 2a), F ( a, , 0) 2 2 2 2 4 4
所 以
z
D1
B1
E

C1

H
D

C

O

x

A

F

B

y

? D

1 ?(

3 2

a ? B

0

?

? 2 2

,a

?

设面 DB1E 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则

??

?? ???? ? ?? ??? ? n1 ? DB1 ? 0, n1 ? DE ? 0 ,即 ay1 ? 2az1 ? 0 且

-6-

3 a 2 ax1 ? y1 ? az1 ? 0 2 2 2 ?? 令 z1 ? 1,则 n1 ? (0, ? 2,1) .………8 分 ?
设面 DFE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , 则 n2 ? DF ? 0, n2 ? DE ? 0 即

?? ?

?? ? ????

?? ? ??? ?

3 3 3 a 2 ax2 ? ay2 ? 0 且 ? ax2 ? y2 ? az2 ? 0 4 4 2 2 2
令 x2 ? 1 ,则 n2 ? (1, ?

?? ?

3 2 6 , ) ,则 3 3

……………10 分

?? ?? ? cos n1 , n2 ?

6 2 6 ? 2 3 3 ? , 2 1 8 3 ? 1? ? 3 3

所以 二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值为

2 . 2

……………12 分

22. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? an ? ? (Ⅰ )证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ )求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ )设 cn ? ?
n cn 2 ? cn ? 1 ?1? d ? , ,若数列 ?dn ? 的前 2013 项和为 P ,求不超 ? a n n ? cn 2 ? cn ?2?

1 2 3 n ? n ? 1 (n ? N*) ,设 bn ? an ? n . 2 2

过 P 的最大的整数值.

3 2 1 ① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ? ,……………………1 分 2 1 3 ② 当 n ≥ 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 , 2 2 所以 2an ? an ?1 ? ?n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 , 1 1 所以 bn ? bn ?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? ,……………………3 分 2 2
22 解: (Ⅰ )因为 an ? S n ? ? n 2 ? n ? 1 ,所以

1 2

-7-

所以数列 ?bn ? 是首项为

1 1 ,公比为 的等比数列.……………4 分 2 2
n

n ?1? (Ⅱ )由 (Ⅰ )得所以 bn ? ? ? , nbn ? n . ……………6 分 2 ?2? 1 2 3 4 n ?1 n 所以 ①Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? L ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n ?1 n ②2Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? L ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 n ② -① 得: Tn ? 1 ? ? 2 ? L ? n ?1 ? n , 2 2 2 2 n ?1? 1? ? ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ? 2 .………………8 分 Tn ? 1 2n 2n 1? 2 n ?1? (Ⅲ )由(1)知 a n ? ? ? ? n ? cn ? n ?2? c 2 ? c ?1 1 1 1 1 , ………10 分 ? n 2 n ? 1? 2 ? 1? ? 1? ? cn ? cn cn ? cn n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 P ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? L ? (1 ? ? ) 1 2 2 3 3 4 2013 2014 1 ? 2014 ? 2014 故 不超过 P 的最大整数为 2013 .…………………………12 分

-8-


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