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等比数列


等比数列

等差等比抓首公;看清下标用性质。 五个元素三基本;求和项数很重要。 细心翻译常联想;心中公式是关键。

an a 2 a3 定义: ? ??? ?q a1 a 2 a n?1
q≠0→an≠0

? q ? 1常 ? ? q ? 0同号 ? q ? 0正负相间 ?

数列的单调性: 1: a1>0,q>1 2: a1<0,q>1 3: a1>0,0<q<1

4: a1<0,0<q<1

判断 : 1.定义法:

an an?1 ? an 2.递推公式:a n ?1 a ? an?1an?1
2 n

an ?q a n ?1

3.通项公式:an=kqn-1 4.求和公式: Sn=kqn-k (q≠1)

等比数列的证明与判断 只能用定义

满足下列条件的数列{an}是否成等比 数列。

(1){an}是等差数列,则数列{2an} (2){an}是等比数列,{bn}是等比数列 10{kan} 20{an2} 30{an.bn} 40{an/bn} 50{a3n+1} 60{an+an+1+….+an+k} 70a1+a2+..+ak,ak+1+ak+2+…a2k,…

在等比数列{an}中 (1)a4=27,q=-3,求a7

(2)a2=18,a4=8,求a1,q (3)a5=4,a7=6,求a9 (4)a5-a1=15,a4-a2=6,求a3
(5)a3+a8=124,a4a7=-512,且公比q 是整数,an=?

求和: Sn=a1+a2+a3+…+an (项较少 时用之方便) 分类讨论

?na1 ? S n ? ? a1 ? an q ? ? 1? q

q ?1 q ?1

1、在等比数列{an}中
(1)a1=-1.5,a4=96,求q与S4

(2)q=1/2,S5=31/8,求a1与a5 (3)a1=2,S3=26,求q与a3
(4)a3=3/2,S3=9/2,求a1与q

2、 {an}成G.P,前n项的和 n+a,则a=? Sn=3 3、三数成等比数列,其和为7, 积为8,则公比=? 4、若方程x2-5x+m=0与x210x+n=0的四个根,适当排列后, 恰好组成一个首项为1的等比数列, 则m:n=?

性质 :

看清下标用性质

1、b是a, c的等比中项 a b 2 ? ? ? b ? ac b c
2、m+n=2s →am.an=as2 3、m+n=s+t → am.an=as.at

1、b2=ac是a,b,c成等比数列 的_____条件。 2、若两数的等差中项为6,等比 中项为10,写出以这两个数为根 的一元二次方程:_____
3、{an}成A.P, {bn}成 G.P,a1=b1,a2n+1=b2n+1 比较an+1与bn+1的大小。

综合
1、{an}的前n项的和为bn,数列{bn} 的前n项和为cn,且bn+cn=n,nN* (1)证明:数列{1-bn}为等比数列

(2)求{cn}的前n项的和
2的大小 (3)比较1/an-1与(bn+cn+1)

2、已知数列{an}中,Sn是它的前n 项和, Sn+1=4an+2,a1=1,设 bn=an+1-2an,
求证:{bn}是等比数列,并求它的 通项公式。

3、正项等比数列{an}的首项a1 =2-5,其前11项的几何平均数为 25,若前11项中抽取一项后的几 何平均数仍是25,则抽去一项的项 数———— 变:等差数列首项为-5,前11项的 平均值为5,若从中抽取一项,余 下10项的平均值为4.6,则抽取的是 第几项。


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