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黑龙江省大庆实验中学2015届高三上学期期初数学试卷(文科)


黑龙江省大庆实验中学 2015 届高三上学期期初数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个项是符合题目要求的) 1. (5 分)复数 A.﹣i +i 等于() B. 1 C . ﹣1
2

D.0

2. (5 分)用反证法证明:若整系数一元二次

方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、b、 c 中至少有一个偶数时,下列假设正确的是() A.假设 a、b、c 都是偶数 B. 假设 a、b、c 都不是偶数 C. 假设 a、b、c 至多有一个偶数 D.假设 a、b、c 至多有两个偶数

3. (5 分)函数 f(x)= A.(0,2) B.(0,2]

的定义域为() C.(2,+∞) D.[2,+∞)

4. (5 分)对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切 于各面正三角形的什么位置() A.各正三角形的中心 B. 各正三角形的某高线上的点 C. 各正三角形内一点 D.各正三角形外的某点 5. (5 分)已知流程图如图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为 16,则循环体的判断框

内①处应填() A.2 B. 3 C. 4 D.5

6. (5 分)如图,第 n 个图形是由正 n+2 边形“扩展”而来, (n=1、2、3、…)则在第 n 个图形 中共有()个顶点.

A.(n+1) (n+2)

B.(n+2) (n+3)

C. n

2

D.n

7. (5 分)直线 y=2x+1 的参数方程是() A. (t 为参数) B. (t 为参数)

C.

(t 为参数)

D.

(θ 为参数)

8. (5 分)在极坐标系中,圆 ρ=﹣2sinθ 的圆心的极坐标系是() A. B.
2

C.(1,0)

D.(1,π)

9. (5 分)条件 p:|x|=x,条件 q:x ≥﹣x,则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 10. (5 分)若函数 f(x)= A.(﹣∞,0) 在 x∈(﹣2,+∞)上单调递减,则实数 a 的取值范围是() C.(﹣∞, ) D.(0, )

B.( ,+∞)

11. (5 分)奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9) =() A.﹣2 B . ﹣1 C. 0 D.1 12. (5 分)已知函数 f(x)满足﹣f(x)=f(﹣x) ,且当 x∈(﹣∞,0)时,f(x)+xf′(x) <0 成立,若 a=?f,b=(ln2)?f(ln2) ,c=(log2 )?f(log2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是() A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个项是符合题目要求的) 13. (5 分) ( ) +log3 +log3 =.

14. (5 分)在极坐标系中,点(2,

)和圆 ρ=2cosθ 的圆心的距离为.

15. (5 分) 今年一轮又一轮的寒潮席卷全国. 某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量 y (件) 与月平均气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温,数据如 下表: 月平均气温 x(℃) 17 13 8 2 月销售量 y(件) 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程 中的 b≈﹣2. 气象部门预测下个月的平均气温约为 6℃,

据此估计,该商场下个月毛衣的销售量的件数约为.

16. (5 分)已知函数 f(x)= 同的实数解时,m 的取值范围为.

,方程 f (x)+mf(x)=0 有五个不

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)为考察某种药物预防禽流感的效果,进行动物家禽试验,调查了 100 个样本,统 计结果为:服用药的共有 60 个样本,服用药但患病的仍有 20 个样本,没有服用药且未患病 的有 20 个样本. (1)根据所给样本数据画出 2×2 列联表; (2)请问能有多大把握认为药物有效? 18. (12 分)已知 a∈R,命题 p:“?x∈[1,2],x ﹣a≥0”,命题 q:“?x∈R,x +2ax+2﹣a=0”. (1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 19. (12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已
2 2 2

知曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ=4cosθ,直线 l 的参数方程为:

(t 为参数) ,

两曲线相交于 M,N 两点. (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 P(﹣2,﹣4) ,求|PM|+|PN|的值. 20. (12 分)对于函数 f(x) ,若存在实数对(a,b) ,使得等式 f(a+x)?f(a﹣x)=b 对定义 域中的每一个 x 都成立,则称函数 f(x)是“(a,b)型函数”. (Ⅰ)判断函数 f1(x)=x 是否为“(a,b)型函数”,并说明理由; x (Ⅱ)若函数 f2(x)=4 是“(a,b)型函数”,求出满足条件的一组实数对(a,b) ; ,

(Ⅲ)已知函数 g(x)是“(a,b)型函数”,对应的实数对(a,b)为(1,4) .当 x∈[0,1] 时,g(x)=x ﹣m(x﹣1)+1(m>2) ,若当 x∈[0,2]时,都有 1≤g(x)≤4,试求 m 的取值 范围.
2

21. (12 分)已知曲线 C1:

(α 为参数) ,曲线 C2:ρsin(θ+

)=

,将 C1

的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标缩短为原来的 得到曲线 C3. (Ⅰ)求曲线 C3 的普通方程,曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 为曲线 C3 上的任意一点,Q 为曲线 C2 上的任意一点,求线段|PQ|的最小值,并 求此时的 P 的坐标. 22. (12 分)已知函数 f(x)=2x ﹣3x. (Ⅰ)求 f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值; (Ⅱ)若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围.
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黑龙江省大庆实验中学 2015 届高三上学期期初数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个项是符合题目要求的) 1. (5 分)复数 A.﹣i +i 等于() B. 1 C . ﹣1 D.0

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用复数的代数形式的乘除运算法则直接计算. 解答: 解: +i

=

= =﹣i+i =0.

故选:D. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,是基础题,解题时要认真审题,注意运算法 则的合理运用. 2. (5 分)用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、b、 c 中至少有一个偶数时,下列假设正确的是() A.假设 a、b、c 都是偶数 B. 假设 a、b、c 都不是偶数 C. 假设 a、b、c 至多有一个偶数 D.假设 a、b、c 至多有两个偶数 考点: 反证法与放缩法. 专题: 常规题型. 分析: 本题考查反证法的概念, 逻辑用语, 否命题与命题的否定的概念, 逻辑词语的否定. 根 据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,故只须对“b、c 中至少有一个偶数”写出否定 即可. 解答: 解:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定 “至少有一个”的否定“都不是”. 即假设正确的是:假设 a、b、c 都不是偶数 故选:B. 点评: 一些正面词语的否定:“是”的否定:“不是”;“能”的否定:“不能”;“都是”的否定:“不 都是”;“至多有一个”的否定:“至少有两个”;“至少有一个”的否定:“一个也没有”;“是至多 有 n 个”的否定:“至少有 n+1 个”;“任意的”的否定:“某个”;“任意两个”的否定:“某两个”; “所有的”的否定:“某些”.
2

3. (5 分)函数 f(x)= A.(0,2) B.(0,2]

的定义域为() C.(2,+∞) D.[2,+∞)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分析可知, ,解出 x 即可.

解答: 解:由题意可得,



解得

,即 x>2.

∴所求定义域为(2,+∞) . 故选:C. 点评: 本题是对基本计算的考查,注意到“真数大于 0”和“开偶数次方根时,被开方数要大 于等于 0”,及“分母不为 0”,即可确定所有条件.2015 届高考中对定义域的考查,大多属于 容易题.

4. (5 分)对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切 于各面正三角形的什么位置() A.各正三角形的中心 B. 各正三角形的某高线上的点 C. 各正三角形内一点 D.各正三角形外的某点 考点: 类比推理. 专题: 计算题. 分析: 立体几何中的四面体,可以与平面几何中的三角形类比,四面体的面可以与三角形 的边类比,因此可得结论 解答: 解:四面体的面可以与三角形的边类比,因此三边的中点也就类比成各三角形的中 心, 故选 A. 点评: 本题主要考查类比思想的运用,有平面到空间,应注意相类比的元素,属于基础题. 5. (5 分)已知流程图如图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为 16,则循环体的判断框

内①处应填() A.2 B. 3 C. 4 D.5

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 写出每次循环 a,b 的取值,根据退出循环的条件即可判定答案. 解答: 解:a=1,b=1 第 1 次循环:b=2,a=2,继续执行循环; 第 2 次循环:b=4,a=3,继续执行循环; 第 3 次循环:b=16,a=4; 所以,为使输出的 b 值为 16,循环体的判断框内应填 a≤3,即满足 a≤3 则执行循环,否则退出 循环,输出 b=16; 故答案为:B. 点评: 本题考查程序框图和算法,属于基础题.

6. (5 分)如图,第 n 个图形是由正 n+2 边形“扩展”而来, (n=1、2、3、…)则在第 n 个图形 中共有()个顶点.

A.(n+1) (n+2)

B.(n+2) (n+3)

C. n

2

D.n

考点: 归纳推理. 专题: 探究型. 分析: 本题考查的知识点是归纳推理,由已知图形中,我们可以列出顶点个数与多边形边 数 n,然后分析其中的变化规律,然后用归纳推理可以推断出一个一般性的结论. 解答: 解:由已知中的图形我们可以得到: 当 n=1 时,顶点共有 12=3×4(个) , n=2 时,顶点共有 20=4×5(个) , n=3 时,顶点共有 30=5×6(个) , n=4 时,顶点共有 42=6×7(个) , … 由此我们可以推断: 第 n 个图形共有顶点(n+2) (n+3)个, 故选 B 点评: 本类题解答的关键是:先通过观察个别情况发现某些相同性质;然后从已知的相同 性质中推出一个明确表达的一般性命题或猜想. 7. (5 分)直线 y=2x+1 的参数方程是() A. (t 为参数) B. (t 为参数)

C.

(t 为参数)

D.

(θ 为参数)

考点: 直线的参数方程. 专题: 选作题. 分析: 由已知 y=2x=1,可化为点斜式方程:y+1=2(x+1) ,令 x+1=t,则 y+1=2t,即可化为 直线的参数方程. 解答: 解: ∵y=2x+1, ∴y+1=2 (x+1) , 令 x+1=t, 则 y+1=2t, 可得 ,

即为直线 y=2x+1 的参数方程. 故选:B. 点评: 本题考查了把直线的普通方程化为参数方程,其关键是把直线的普通方程写成点斜 式方程.

8. (5 分)在极坐标系中,圆 ρ=﹣2sinθ 的圆心的极坐标系是() A. B. C.(1,0) D.(1,π)

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: 先在极坐标方程 ρ=﹣2sinθ 的两边同乘以 ρ,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即 2 2 2 利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即得直角坐标系,再利用直角坐标方程求解即可. 解答: 解:将方程 ρ=﹣2sinθ 两边都乘以 p 得: 2 ρ =﹣2ρsinθ, 化成直角坐标方程为 x +y +2y=0.圆心的坐标(0,﹣1) . ∴圆心的极坐标 故选 B. 点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画 点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 9. (5 分)条件 p:|x|=x,条件 q:x ≥﹣x,则 p 是 q 的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 通过解方程化简条件 p:为 x≥0,通过解不等式化简条件 q:为 x≥0 或 x≤﹣1,判断出 {x|x≥0}?{x|x≥0 或 x≤﹣1},根据小范围成立大范围一定成立,利用充要条件的有关定义得到 结论. 解答: 解:条件 p:|x|=x,即为 x≥0 2 条件 q:x ≥﹣x,即为 x≥0 或 x≤﹣1, 因为{x|x≥0}?{x|x≥0 或 x≤﹣1}, 所以 p 是 q 充分不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查判断一个条件是另一个条件的什么条件,应该先化简两个条件,若两个都 是数集,常转化为集合间的包含关系,属于基础题. 在 x∈(﹣2,+∞)上单调递减,则实数 a 的取值范围是() C.(﹣∞, ) D.(0, )
2 2 2

10. (5 分)若函数 f(x)= A.(﹣∞,0)

B.( ,+∞)

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析: 先变形得:f(x)= 得 1﹣2a>0. 解答: 解:f(x)= ∵f(x)= =

=

=a+

,利用已知函数的单调性可

=a+



在 x∈(﹣2,+∞)上单调递减,

∴1﹣2a>0,解得 a< ,即实数 a 的取值范围是(﹣∞, ) , 故选 C. 点评: 该题考查函数的单调性及其应用,属基础题,熟练掌握常见基本初等函数的单调性 可简化求解过程. 11. (5 分)奇函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9) =() A.﹣2 B . ﹣1 C. 0 D.1 考点: 函数的值;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性的性质,得到 f(x+8)=f(x) ,即可得到结论. 解答: 解:∵f(x+2)为偶函数,f(x)是奇函数, ∴设 g(x)=f(x+2) , 则 g(﹣x)=g(x) , 即 f(﹣x+2)=f(x+2) , ∵f(x)是奇函数, ∴f(﹣x+2)=f(x+2)=﹣f(x﹣2) , 即 f(x+4)=﹣f(x) , f(x+8)=f(x+4+4)=﹣f(x+4)=f(x) , 则 f(8)=f(0)=0,f(9)=f(1)=1, ∴f(8)+f(9)=0+1=1, 故选:D. 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性的性质,得到函数的对称轴是解决本 题的关键. 12. (5 分)已知函数 f(x)满足﹣f(x)=f(﹣x) ,且当 x∈(﹣∞,0)时,f(x)+xf′(x) <0 成立,若 a=?f,b=(ln2)?f(ln2) ,c=(log2 )?f(log2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是() A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b

考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: 令 g(x)=xf(x) ,得 g(x)是偶函数;由 x∈(﹣∞,0)时,g′(x)=f(x)+xf′ (x)<0,得函数 g(x)在 x∈(﹣∞,0)上单调递减,从而得 g(x)在(0,+∞)上单调

递增;再由∴函数 g(x)在 x∈(0,+∞)上单调递增.再由﹣

=3>2 >1>ln2>0,得

0.1

a,b,c 的大小. 解答: 解:∵﹣f(x)=f(﹣x) ,∴f(x)是奇函数, ∴xf(x)是偶函数. 设 g(x)=xf(x) ,当 x∈(﹣∞,0)时,g′(x)=f(x)+xf′(x)<0, ∴函数 g(x)在 x∈(﹣∞,0)上单调递减, ∴函数 g(x)在 x∈(0,+∞)上单调递增. ∵﹣ =3>2 >1>ln2>0,
0.1

∴g(

)>g>g(ln2) ,

故选:C. 点评: 本题考查了函数的图象与奇偶性关系以及用导数研究函数的单调性等知识,解题的 关键是构造函数 g(x)并求导,属于易出错的题目. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个项是符合题目要求的) 13. (5 分) ( ) +log3 +log3 = .

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用分数指数幂的运算法则,对数的运算法则求解即可. 解答: 解: ( ) +log3 +log3

= = . .

故答案为:

点评: 本题考查分数指数幂的运算法则,对数的运算法则,考查计算能力.

14. (5 分)在极坐标系中,点(2,

)和圆 ρ=2cosθ 的圆心的距离为



考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程.

分析: 利用

把极坐标方程化为直角坐标方程即可得出.
2

解答: 解:圆 ρ=2cosθ 化为 ρ =2ρcosθ, 2 2 2 2 ∴x +y =2x,配方(x﹣1) +y =1. 可得圆心 C(1,0) . 由点 P(2, ∴|PQ|= )和直角坐标(0,2) . = .

故答案为: . 点评: 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式,属于基础题. 15. (5 分) 今年一轮又一轮的寒潮席卷全国. 某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量 y (件) 与月平均气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温,数据如 下表: 月平均气温 x(℃) 17 13 8 2 月销售量 y(件) 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程 中的 b≈﹣2. 气象部门预测下个月的平均气温约为 6℃,

据此估计,该商场下个月毛衣的销售量的件数约为 46. 考点: 线性回归方程. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的表格做出本组数据的样本中心点,根据样本中心点在线性回归直线上, 利用待定系数法做出 a 的值,现在方程是一个确定的方程,根据所给的 x 的值,代入线性回归 方程,预报要销售的件数. 解答: 解:由表格得 又 在回归方程 为: (10,38) , 上且 b≈﹣2

∴38=10×(﹣2)+a, 解得:a=58, ∴ 当 x=6 时, . .

故答案为:46 点评: 本题考查回归直线方程,在写直线方程时两个数据的求法应该注意,本题已经给出 系数,这是一个新型的问题,广东已经把这类问题作为 2015 届高考题出现过,除去写方程外, 最后还要预报结果.

16. (5 分)已知函数 f(x)= 同的实数解时,m 的取值范围为﹣3<m<0.

,方程 f (x)+mf(x)=0 有五个不

2

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由方程可得 f(x)=0 或 f(x)=﹣m,作出 f(x)的图象,利用数形结合即可得到结 论. 2 解答: 解:由 f (x)+mf(x)=0 得 f(x)[f(x)+m]=0, 即 f(x)=0 或 f(x)=﹣m, 作出 f(x)的图象如图: 由图象可知 f(x)=0 的根有两个 x=0 或 x=3, 2 要使方程 f (x)+mf(x)=0 有五个不同的实数解时, 则方程 f(x)=﹣m 有三个根, 此时满足 0<﹣m<3, 解得﹣3<m<0, 故答案为:﹣3<m<0

点评: 本题主要考查方程根的个数的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)为考察某种药物预防禽流感的效果,进行动物家禽试验,调查了 100 个样本,统 计结果为:服用药的共有 60 个样本,服用药但患病的仍有 20 个样本,没有服用药且未患病 的有 20 个样本. (1)根据所给样本数据画出 2×2 列联表; (2)请问能有多大把握认为药物有效? 考点: 独立性检验的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)根据服用药的共有 60 个样本,服用药但患病的仍有 20 个样本,没有服用药且 未患病的有 20 个样本,没有服药且没有患病的有 20 个,根据各种情况的数据,列出表格, 填好数据,得到列联表 (2)根据上一问做出的列联表,看出各种情况的数据,代入求临界值的公式,做出观测值, 拿观测值同临界值表进行比较,得到 2.778>2.706,得到有 90%的把握认为药物有效. 解答: 解: (1)根据服用药的共有 60 个样本,服用药但患病的仍有 20 个样本, 没有服用药且未患病的有 20 个样本,没有服药且没有患病的有 20 个, 得到列联表

(2)假设检验问题 H0:服药与家禽得禽流感没有关系

= 由 P(K ≥2.706)=0.10 ∴大概 90%认为药物有效. 点评: 本题考查列联表,考查独立性检验的应用,是这一部分知识点一个典型的问题,注 意解题时数字运算要认真,不要出错,若遇到这是一个必得分题目. 18. (12 分)已知 a∈R,命题 p:“?x∈[1,2],x ﹣a≥0”,命题 q:“?x∈R,x +2ax+2﹣a=0”. (1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假;命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)由于命题 p:“?x∈[1,2],x ﹣a≥0”,令 f(x)=x ﹣a,只要 x∈[1,2]时,f(x) min≥0 即可; 2 (2)由(1)可知,当命题 p 为真命题时,a≤1,命题 q 为真命题时,△ =4a ﹣4(2﹣a)≥0, 解得 a 的取值范围.由于命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,可知:命题 p 与命题 q 必然一真一假,解出即可. 2 2 解答: 解: (1)∵命题 p:“?x∈[1,2],x ﹣a≥0”,令 f(x)=x ﹣a, 根据题意,只要 x∈[1,2]时,f(x)min≥0 即可, 也就是 1﹣a≥0,解得 a≤1, ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,1]; (2)由(1)可知,当命题 p 为真命题时,a≤1, 2 命题 q 为真命题时,△ =4a ﹣4(2﹣a)≥0,解得 a≤﹣2 或 a≥1. ∵命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题, ∴命题 p 与命题 q 必然一真一假, 当命题 p 为真,命题 q 为假时, ,
2 2 2 2 2

当命题 p 为假,命题 q 为真时, 综上:a>1 或﹣2<a<1.



点评: 本题考查了简易逻辑的有关知识、函数的性质、方程的解、不等式组等基础知识与 基本技能方法,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题. 19. (12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已
2

知曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ=4cosθ,直线 l 的参数方程为:

(t 为参数) ,

两曲线相交于 M,N 两点. (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 P(﹣2,﹣4) ,求|PM|+|PN|的值. 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)根据 x=ρcosθ、y=ρsinθ,写出曲线 C 的直角坐标方程;用代入法消去参数求 得直线 l 的普通方程. (Ⅱ)把直线 l 的参数方程代入 y =4x,得到
2

,设 M,N 对应的参数分别

为 t1,t2,利用韦达定理以及|PM|+|PN|=|t1+t2|,计算求得结果. 2 解答: 解: (Ⅰ)根据 x=ρcosθ、y=ρsinθ,求得曲线 C 的直角坐标方程为 y =4x, 用代入法消去参数求得直线 l 的普通方程 x﹣y﹣2=0.

(Ⅱ)直线 l 的参数方程为:

(t 为参数) ,

代入 y =4x,得到

2

,设 M,N 对应的参数分别为 t1,t2,

则 t1+t2=12 ,t1?t2=48,∴|PM|+|PN|=|t1+t2|= . 点评: 本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法,韦达定理的应用,参 数的几何意义,属于基础题. 20. (12 分)对于函数 f(x) ,若存在实数对(a,b) ,使得等式 f(a+x)?f(a﹣x)=b 对定义 域中的每一个 x 都成立,则称函数 f(x)是“(a,b)型函数”. (Ⅰ)判断函数 f1(x)=x 是否为“(a,b)型函数”,并说明理由; x (Ⅱ)若函数 f2(x)=4 是“(a,b)型函数”,求出满足条件的一组实数对(a,b) ; , (Ⅲ)已知函数 g(x)是“(a,b)型函数”,对应的实数对(a,b)为(1,4) .当 x∈[0,1] 2 时,g(x)=x ﹣m(x﹣1)+1(m>2) ,若当 x∈[0,2]时,都有 1≤g(x)≤4,试求 m 的取值 范围. 考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)根据 f(x)是“(a,b)型函数”的定义,判断 f1(x)=x 中是否存在实数对(a, b) ,使得等式 f(a+x)?f(a﹣x)=b 对定义域中的每一个 x 都成立,即可得到答案;

(2)根据函数 f2(x)=4 是“(a,b)型函数”,即可得到 f(a+x)?f(a﹣x)=b 对定义域中 a 的每一个 x 都成立,即得 16 =b,从而可以确定一组实数对,即可得到答案; (3)根据函数 g(x)是“(a,b)型函数”,对应的实数对(a,b)为(1,4) ,可以得到 g(1+x) 2 g(1﹣x)=4,再根据当 x∈[0,1]时,g(x)=x ﹣m(x﹣1)+1(m>0) ,确定 g(x)的对称 轴为 x= ,根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论,分别求出 g(x)在[0,1]和[0,2]上 的值域,列出不等式组,求解即可得到 m 的取值范围. 解答: 解: (1)f1(x)=x 不是“(a,b)型函数”, ∵f1(x)=x, ∴f1(a+x)=a+x,f1(a﹣x)=a﹣x, ∴f1(a+x)?f1(a﹣x)=(a+x) (a﹣x)=b, 2 2 即 a ﹣x =b, 2 2 ∴不存在实数对(a,b)使得 a ﹣x =b 对定义域中的每一个 x 都成立, ∴f1(x)=x 不是“(a,b)型函数”; x (2)∵函数 f2(x)=4 是“(a,b)型函数”, a+x a﹣x ∴4 ?4 =b, a ∴16 =b, ∴存在实数对,如 a=1,b=16,使得 f1(a+x)?f1(a﹣x)=b 对任意的 x∈R 都成立; ∴满足条件的一组实数对(a,b)为(1,16) ; (3)∵函数 g(x)是“(a,b)型函数”,对应的实数对(a,b)为(1,4) , ∴g(1+x)g(1﹣x)=4, ∴当 x∈[1,2]时,g(x)=
2

x

,其中 2﹣x∈[0,1],
2

又∵x∈[0,1]时,g(x)=x +m(1﹣x)+1=x ﹣mx+m+1,其对称轴方程为 x= , 当 m>2 时,g(x)在[0,1]上的值域为[g(1) ,g(0)],即[2,m+1], ∴g(x)在[0,2]上的值域为[ ,m+1],

由题意,得

,∴2<m≤3;

∴所求 m 的取值范围是 2<m≤3. 点评: 本题考查了函数与方程的综合应用.函数的零点与方程根的关系.函数的零点等价 于对应方程的根, 等价于函数的图象与 x 轴交点的横坐标, 解题时要注意根据题意合理的选择 转化.解题的关键是将方程问题转化成函数的问题进行求解.属于中档题.

21. (12 分)已知曲线 C1:

(α 为参数) ,曲线 C2:ρsin(θ+

)=

,将 C1

的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标缩短为原来的 得到曲线 C3. (Ⅰ)求曲线 C3 的普通方程,曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 为曲线 C3 上的任意一点,Q 为曲线 C2 上的任意一点,求线段|PQ|的最小值,并 求此时的 P 的坐标.

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)通过变换求出曲线 C3 的参数方程然后求解它的普通方程,利用极坐标与直角 坐标的关系,直接求解曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)点 P 为曲线 C3 上的任意一点,Q 为曲线 C2 上的任意一点,线段|PQ|的最小值,转化为 圆的圆心到直线的距离减去半径,利用直线的垂直关系,即可并求此时的 P 的坐标. 解答: (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)曲线 C1: 短为原来的 得到曲线 C3. 曲线 C2:ρsin(θ+ )= ,即 (α 为参数) ,将 C1 的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标缩 ,∴曲线 C3:x +y =1, ρsinθ+ ρcosθ= ,
2 2

∴曲线 C2:x+y=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) (II)设 P(cosα,sinα) ,则线段|PQ|的最小值为点 P 到直线 x+y=2 的距离. 转化为圆的想到直线的距离减去半径, ∴ ,
2 2

直线 x+y=2 的斜率为﹣1,所以 QP 的斜率为 1,P 在 x +y =1 上, 所以 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)

点评: 本题考查直线的参数方程以及极坐标方程的应用点到直线的距离公式的应用,考查 转化思想以及计算能力. 22. (12 分)已知函数 f(x)=2x ﹣3x. (Ⅰ)求 f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值; (Ⅱ)若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导并令导数为 0,从而求出极大值与端点时的函数值,从而得到最大值; (Ⅱ)设出切点,由斜率的两种表示得到等式,化简得三次函数,将题目条件化为函数有三个 零点,得解. 解答: 解: (Ⅰ)令 f′(x)=6x ﹣3=0 解得,x=± 则 f(x)在 x=﹣ ∵f(﹣ )= 时取得极大值, ,f(1)=2﹣3=﹣1,
2 3



则 f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值为 . 3 (Ⅱ)设过点 P(1,t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(x,2x ﹣3x) ,


3

=6x ﹣3,
2

2

化简得,4x ﹣6x +3+t=0, 3 2 令 g(x)=4x ﹣6x +3+t, 则令 g′(x)=12x(x﹣1)=0, 则 x=0,x=1. g(0)=3+t,g(1)=t+1, 又∵过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切, 则(t+3) (t+1)<0, 解得,﹣3<t<﹣1. 点评: 本题考查了导数的综合应用,同时考查了斜率的表示方法,用到函数零点个数的判 断,属于难题.


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