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2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题


2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
小题, 要求直接将答案写在横线上) 一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 填空题(本题共 1. 复数 (1 + i) 4 + (1 ? i)4 = 答案:-8
2. 已知直线 x ? my + 1 = 0 是圆 C : x 2 + y 2 ? 4 x + 4 y ? 5 = 0 的一条对称轴,则实数
m=



.
3 2

答案: ?

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 (结果用最简分数表示) .

答案:

19 145 1 ,则 sin 4 θ + cos 4 θ = 5

4. 已知 cos 4θ =



答案:

4 5 π ,则以向量 2a + b 与 3a ? b 表示的有向线段 3

5. 已知向量 a,b 满足 a = b = 2, < a, b >=

为邻边的平行四边形的面积为 答案: 10 3



6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3}的前 n 项和等于 . 1 答案: (8n + 48) 7 7. 设函数 f ( x) = x 2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是



答案:(0,2)
8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an = n 2 , n ∈ N * ,

则 f [ f (2011)] =



答案:6 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 . 答案:4 3
10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m + 10 = 0 有整数解,则 m 所有可能的值

是 . 答案:3,14,30 解答题( 小题, 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)

11.已知圆 x 2 + y 2 = 1 与抛物线 y = x 2 + h 有公共点,求实数 h 的取值范围. 解:设公共点(cosθ,sinθ) ,代入抛物线方程,
1 5 得 h = sin θ ? cos 2 θ = sin 2 θ + sin θ ? 1 = (sin θ + ) 2 ? 2 4 ? 5 ? 因为 sin θ ∈ [ ?1,1] ,所以 h ∈ ? ? ,1? ? 4 ?

12.设 f ( x) = x 2 + bx + c(b, c ∈ R ) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ( 2,3] 上的最大值为

1,求 b 2 + c 2 的最大值和最小值. 解: 由题意函数图象为开口向上的抛物线, f ( x) 在区间 ( 2,3] 上的最大值只能在闭端点取得, 且 故有 f (2) ≤ f (3) = 1 ,从而 b ≥ ?5 且 c = ?3b ? 8 .
若 f ( x) = 0 有实根,则 ? = b 2 ? 4c ≥ 0 ,

4 ? ? ?b ≤ ? 5 , ? f ( ?2) ≥ 0, ? 4 ? 2b + c ≥ 0, ? ? ? 在区间 [ ?2, 2] 有 ? f (2) ≥ 0, 即 ? 4 + 2b + c ≥ 0, 消去 c,解出 ?b ≤ ?4, ? ? ?4 ≤ b ≤ 4, ? ?4 ≤ b ≤ 4, b ? ?2 ≤ ≤ 2, ? ? ? 2 ? 即 b = ?4 ,这时 c = 4 ,且 ? = 0 . 若 f ( x) = 0 无实根,则 ? = b 2 ? 4c < 0 ,将 c = ?3b ? 8 代入解得 ?8 < b < ?4 . 综上 ?5 ≤ b ≤ ?4 . 所以 b 2 + c 2 = b 2 + ( ?3b ? 8) 2 = 10b 2 + 48b + 64 ,单调递减 故 (b 2 + c 2 )min = 32,(b 2 + c 2 ) max = 74 . 13.如图,P 是 ABC 内一点. 1 (1)若 P 是 ABC 的内心,证明: ∠BPC = 90o + ∠BAC ; 2 1 1 (2)若 ∠BPC = 90o + ∠BAC 且 ∠APC = 90o + ∠ABC ,证明:P 是 ABC 的内心. 2 2 1 1 1 证明: (1) ∠BPC = 180o ? (∠ABC + ∠ACB) = 180o ? (180o ? ∠BAC ) = 90o + ∠BAC 2 2 2

A

P

B

C

14.已知 α 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 + α 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n + α 为有理数. 证明:设 n0 + α =
q q2 ,其中 p,q 为互质的正整数,则 n0 + α = 2 . p p

设 k 为任意的正整数,构造 n = p 2 k 2 + 2qk + n0 , 则 n +α =
p 2 k 2 + 2qk + n0 + α = p 2 k 2 + 2qk + q2 q = pk + ∈Q . 2 p p


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