反函数教案

反
一、教学目标
（一）知识与技能目标

函

数

教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）

（1） 让学生去探究、去发现反函数与原函数之间的关系，并能利用函数概念及 反函数定义给予说明； （2）掌握关系及运用关系解决一些简单问题； （3）通过优化问题设计，探究原函数与反函数之间的关系，培养学生观察、分 析、猜想、归纳和自主探究的能力。 （二）过程与方法目标 （1）通过经历和体验反函数概念的探索过程，让学生体会过程的重要性，并在 探索过程中学会学习、学会探究； （2）同时对反函数概念的研究去感受和掌握研究函数的基本思想方法。 （三）情感态度与价值目标 （1）注重教学过程中师生间、生生间情感交流，鼓励学生大胆尝试、发现问题， 培养他们积极进取的探索精神； （2）激发学生学习数学的兴趣，增强解决问题的信心，并获得成功的积极情感 体验。

二、教学的重、难点
（一）教学重点 反函数的有关概念，会用反函数的相关概念去求一个函数的反函数以及他 的图像。 （二）教学难点 理解反函数与函数之间的区别，特点，以及反函数的运用。

三、教具准备
黑板，粉笔，投影仪。

四、教学过程
（一）创设情境，引入新课

同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即 S=vt 和

t=

S （其中速度 v 是常量） ，在 S=vt v

中位移 S 是时间 t 的函数；在 t=

S 中， v

时间 t 是位移 S 的函数．在这种情况下，我们说 t= 么是反函数，如何求反函数， （二）层层递进、探索新知 在学习反函数之前复习函数的定义：

S 是函数 S=vt 的反函数．什 v

（1）函数的定义：如果在某个变化过程中有两个变量 x 和 y ,并且对于 x 在某个 实数范围 D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则 f , y 都有唯一确定的 值和它对应,那么 y 就是 x 的函数,记为 y ? f ?x ?, x ? D .

x 就叫做自变量， x 的取值范围 D 称为函数的定义域，和 x 的值对应的 y 的
值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）函数的三要素：定义域、对应法则、值域。 其中定义域和对应法则是最基本的要素。 观察 S=vt 与 t=
S 这两个函数的定义域、对应法则、值域，根据函数的定义 v

登出反函数的定义：
定义：一般地，对于函数 y ? f ?x ? ，设它的定义域为 D ，值域为 A ，如果对 A 中 任意一个值 y ，在 D 中总有唯一确定的 x 值与它对应，且满足 y ? f ?x ? ， 这样得到的 x 关于 y 的函数，叫做 y ? f ?x ? 的反函数， 记作： x ? f
?1

? y ?, y ? A .习惯上，自变量常用 x 表示，而函数用 y 表示，所以改
?1

写为 y ? f 2．概念辨析

?x ?, x ? A

问题1：函数与其反函数的三要素有着怎样的关系？
y ? f (x)

x ? f ?1 ( y )

y ? f ?1 ( x)

y ? f (x)

y ? f ?1 ( x)

定义域 值域

D A

A D

问题2：是否所有的函数都存在反函数？一个函数满足了什么条件，它存在反函 数？ X与y一一对应 问题 3：下列函数是否存在反函数，为什么？ （1） y ? x 2 （2）你能否通过增加条件，使 f ? x ? 反函数存在？ 例1．求下列函数的反函数

（1） y ? 3x ? 1( x ? R) （2） y ? x3 ? 1( x ? R) （3） y ? x ? 1( x ? 0)
（4） y ? x 2 ? 3x, ? 2 ? x ? 4 ? 归纳：求解反函数的步骤： 1、从 y ? f (x) 中，解得唯一的 x ? f 2、互换 x 与 y ，得 y ? f
?1 ?1

( y) ；

( x) ；

3、由原函数的值域得到反函数的定义域 A， （三）变式训练、巩固新知
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（用投影给出函数 y ? x 3 与 y ? x 3 ； y ? x 2 与 y ? x 2 （ x ? 0 ）的图象）
1

（1）这两组函数的图像有什么关系？这两组函数有什么关系？ （生答：y ? x 3 与
1

y ? x 3 的图像关于直线 y=x 对称； y ? x 2 与 y ? x 2 （ x ? 0 ）的图象也关于直线

y=x 对称． y ? x 是求一个数立方的运算，而 y ? x 是求一个数立方根的运算，
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它们互为逆运算．同样， y ? x 与 y ? x 2 （ x ? 0 ）也互为逆运算．从而归纳出函 数与反函数的图像特点。 （四）及时小结，步步升高 （引导学生按下面思路进行思考） 1.这堂课的主要内容是什么？ 2.函数与反函数的定义是什么？图像有什么特点 （五）作业 习题 2.4 第 1 题，第 2 题

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