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反函数教案



一、教学目标
(一)知识与技能目标





教材:人教版全日制普通高级中学教科书(必修)数学第一册(上)

(1) 让学生去探究、去发现反函数与原函数之间的关系,并能利用函数概念及 反函数定义给予说明; (2)掌握关系及运用关系解决一些简单问题; (3)通过优化问题设计,

探究原函数与反函数之间的关系,培养学生观察、分 析、猜想、归纳和自主探究的能力。 (二)过程与方法目标 (1)通过经历和体验反函数概念的探索过程,让学生体会过程的重要性,并在 探索过程中学会学习、学会探究; (2)同时对反函数概念的研究去感受和掌握研究函数的基本思想方法。 (三)情感态度与价值目标 (1)注重教学过程中师生间、生生间情感交流,鼓励学生大胆尝试、发现问题, 培养他们积极进取的探索精神; (2)激发学生学习数学的兴趣,增强解决问题的信心,并获得成功的积极情感 体验。

二、教学的重、难点
(一)教学重点 反函数的有关概念,会用反函数的相关概念去求一个函数的反函数以及他 的图像。 (二)教学难点 理解反函数与函数之间的区别,特点,以及反函数的运用。

三、教具准备
黑板,粉笔,投影仪。

四、教学过程
(一)创设情境,引入新课

同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系,即 S=vt 和

t=

S (其中速度 v 是常量) ,在 S=vt v

中位移 S 是时间 t 的函数;在 t=

S 中, v

时间 t 是位移 S 的函数.在这种情况下,我们说 t= 么是反函数,如何求反函数, (二)层层递进、探索新知 在学习反函数之前复习函数的定义:

S 是函数 S=vt 的反函数.什 v

(1)函数的定义:如果在某个变化过程中有两个变量 x 和 y ,并且对于 x 在某个 实数范围 D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则 f , y 都有唯一确定的 值和它对应,那么 y 就是 x 的函数,记为 y ? f ?x ?, x ? D .

x 就叫做自变量, x 的取值范围 D 称为函数的定义域,和 x 的值对应的 y 的
值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。 (2)函数的三要素:定义域、对应法则、值域。 其中定义域和对应法则是最基本的要素。 观察 S=vt 与 t=
S 这两个函数的定义域、对应法则、值域,根据函数的定义 v

登出反函数的定义:
定义:一般地,对于函数 y ? f ?x ? ,设它的定义域为 D ,值域为 A ,如果对 A 中 任意一个值 y ,在 D 中总有唯一确定的 x 值与它对应,且满足 y ? f ?x ? , 这样得到的 x 关于 y 的函数,叫做 y ? f ?x ? 的反函数, 记作: x ? f
?1

? y ?, y ? A .习惯上,自变量常用 x 表示,而函数用 y 表示,所以改
?1

写为 y ? f 2.概念辨析

?x ?, x ? A

问题1:函数与其反函数的三要素有着怎样的关系?
y ? f (x)

x ? f ?1 ( y )

y ? f ?1 ( x)

y ? f (x)

y ? f ?1 ( x)

定义域 值域

D A

A D

问题2:是否所有的函数都存在反函数?一个函数满足了什么条件,它存在反函 数? X与y一一对应 问题 3:下列函数是否存在反函数,为什么? (1) y ? x 2 (2)你能否通过增加条件,使 f ? x ? 反函数存在? 例1.求下列函数的反函数

(1) y ? 3x ? 1( x ? R) (2) y ? x3 ? 1( x ? R) (3) y ? x ? 1( x ? 0)
(4) y ? x 2 ? 3x, ? 2 ? x ? 4 ? 归纳:求解反函数的步骤: 1、从 y ? f (x) 中,解得唯一的 x ? f 2、互换 x 与 y ,得 y ? f
?1 ?1

( y) ;

( x) ;

3、由原函数的值域得到反函数的定义域 A, (三)变式训练、巩固新知
1 1

(用投影给出函数 y ? x 3 与 y ? x 3 ; y ? x 2 与 y ? x 2 ( x ? 0 )的图象)
1

(1)这两组函数的图像有什么关系?这两组函数有什么关系? (生答:y ? x 3 与
1

y ? x 3 的图像关于直线 y=x 对称; y ? x 2 与 y ? x 2 ( x ? 0 )的图象也关于直线

y=x 对称. y ? x 是求一个数立方的运算,而 y ? x 是求一个数立方根的运算,
3

1 3

它们互为逆运算.同样, y ? x 与 y ? x 2 ( x ? 0 )也互为逆运算.从而归纳出函 数与反函数的图像特点。 (四)及时小结,步步升高 (引导学生按下面思路进行思考) 1.这堂课的主要内容是什么? 2.函数与反函数的定义是什么?图像有什么特点 (五)作业 习题 2.4 第 1 题,第 2 题

1 2


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