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G24.2.2直线与圆的位置关系(切线性质判定定理)


点和圆的位置关系有几种? (1)d<r (2)d=r 点在圆内 点在圆上

(3)d>r

点在圆外

直线和圆有几种位置关系? 如何判断?

学习目标
? ? ? ? 知识与技能: 1、理解直线与圆的三种位置关系 2、会判断直线与圆的位置关系并会运用。 3、理解切线的判定定

理、性质定理,并能运用它解决 有关问题;(重点难点) ? 过程与方法:由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径 大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而 实现位置关系与数量关系的转化,渗透运动与转化的数 学思想。 ? 情感态度与价值观:通过“转化”数学思想的运用,让 学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物 主义思想。

自学指导1:(3分钟) 自学P95—P96的内容,回答: 1、直线与圆有哪三种位置关系? 根据定义,如何判断直线和圆的 位置关系? 2、如何用圆心到直线的距离和圆 半径的数量关系来判断圆和直线 的位置关系。

第一梯度
1、已知圆的直径为13cm,设直线和圆心的距离为d : 2 个公共点. 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有____ 1 个公共点. 相切 , 直线与圆有____ 2)若d=6.5cm ,则直线与圆______ 相离 , 直线与圆有____ 0 个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆______ 2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm 2)若AB和⊙O相切, 则 ;

d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm . 相交 3.直线和圆有2个交点,则直线和圆_________; 相切 直线和圆有1个交点,则直线和圆_________; 相离 直线和圆有没有交点,则直线和圆_________;

总结: 判定直线与圆的位置关系的方法 两 种: 有____ (1)根据定义,由直线与圆的 公共点的个数来判断; (2)根据性质,由圆心到直线的距 离d与半径r 的关系来判断。

第二梯度
1、如图,已知∠AOB= 30°,M为OB上一点,且 OM=5cm,若以M为圆心,r为半径作圆,那么: 1)当直线AB与⊙M相离时, r的取值范围是
0cm < r < 2.5cm

2)当直线AB与⊙M相切时, r的取值范围是 r = 2.5cm
3)当直线AB与⊙M有公共点时, r的取值范围是

C O
30°

A

r≥2.5cm

5

M

B

自学指导2:5分钟 认真看课本P97-P98的内容,回答下 列问题 1. 回答97页思考中的问题,圆的 切线的判定定理是什么?回答云图中 的问题。 2. 回答97页第二个思考,总结切线 的性质定理。 3.在解决有关圆的切线问题时,常 常需要做______的半径。

第一梯度

判断对错
1. 过半径的外端的直线是圆的切线( × ) 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线( × ) 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线(
O O r l A A O r A

×)
l

l

r

利用判定定理时,要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可 (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。

第二梯度

1、如图,直线AB经过⊙O上的点C, 并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB是 ⊙O的切线。 O
A C B

“作半径,证垂直”

2、已知:O为∠BAC平分线上一点, OD⊥AB于D,以O为圆心,OD为半径作⊙O。 B 求证:⊙O与AC相切。 D
证明:过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC,OD⊥AB ∴ OE=OD 即圆心O到AC的距离 d = r ∴ AC是⊙O切线。
A E C O

作垂直,证半径

规律总结

证明一条直线是切线的常见方法有两种: (1)当直线和圆有一个公共点时,把圆 心和这个公共点连接起来,然后证明直线 垂直于这条半径,简称“作半径,证垂 直”。 (2)当直线和圆的公共点没有明确时, 可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线 的距离等与半径,简称“作垂直,证半 径”。

3、点A是⊙O外一点,OA交⊙O于点B, AC是⊙O的切线,切点是C,且 ∠A=30°,BC=1,求⊙O的半径。

C

0 B A

4、如图,A,D是⊙O上 的两点,AE是圆的切 线,∠ODA=75°, AE=1,则OE的长为 _____.

O

B
A

D E

第三梯度
AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线 上,BD=OB,点C在圆上, ∠CAB=30°,求证:DC是⊙O的切线。
C

A

O B D

.如图, △ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,DE ⊥AC于E,以D为圆心,DE为半径作⊙D. 求证:AB是⊙D的切线.
A

F

E D C

B

小结:1.直线和圆的三种位置关系
直线与圆的位置 关系 公共点个数 公共点名称 相交 相切 相离

2
交点 割线 d<r

1
切点 切线 d=r

0
无 无 d>r

直线名称 数量关系

2.圆的切线的性质: 圆的切线垂直于过切点的半径(直径)。

判定直线与圆相切有哪些方法?
?切线的判定方法有三种: ?①直线与圆有唯一公共点; ?②直线到圆心的距离等于该圆的半径; ?③切线的判定定理.即 ?经过半径的外端并且垂直这条半径的直 线是圆的切线

方 法 小 结

当堂作业
必做题:P96练习 P98练习

选做题 :如图 , 公路 MN 和 PQ 在 P 处交
汇, 且∠QPN=300 , 点A处有一所中学 , AP=160 米 , 假设拖拉机行使时 , 周围 100 米以内会受到噪音的影响 , 已知拖 拉机的速度为 18 千米/时 , 那么学校 会受到影响吗 ? 如果会 , 受到影响的 N 时间多长?

M

P

A

Q

思考题:如图,点A是一个半径为300m 的圆形森林公园的中心,在森林公园附近 有B,C两村庄,现要在B,C两村庄之间 修一条长为1000m的笔直公路将两村连 通, 现测得∠ABC=45°, ∠ACB= 30°.问 此公路是否会穿过该森林公园?请通过计 A 算进行说明.

B

45°

30°

D

C


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