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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.2 矩阵与变换 理


【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第十四章 系列 4 选讲 14.2 矩阵与变换 理

1.乘法规则 (1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵? [a11 a12]?

?b11? ?的乘法规则: ?b21?

?b11? ?=[a11×b11+a12×b21]. ?b21? ?a11 a12? ?x0

? ?与列向量? ?的乘法规则: ?a21 a22? ?y0?

(2)二阶矩阵?

?a11 a12??x0? ?a11×x0+a12×y0? ? ?? ?=? ?. ?a21 a22??y0? ?a21×x0+a22×y0?
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵,其乘法法则如下:

?a11 a12??b11 b12? ? ?? ? ?a21 a22??b21 b22?
=?

?a11×b11+a12×b21 a11×b12+a12×b22? ?. ?a21×b11+a22×b21 a21×b12+a22×b22?

(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律,但不满足交换律和消去律. 即(AB)C=A(BC),

AB≠BA,
由 AB=AC 不一定能推出 B=C. 一般地,两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算. 2.常见的平面变换 (1)恒等变换:如?

?1 0? ?; ?0 1?

?1 0? (2)伸压变换:如? 1?; ?0 ? ? 2?
0? ?1 (3)反射变换:如? ?; ?0 -1?

1

(4)旋转变换:如? (5)投影变换:如? (6)切变变换:如?

?cos θ ?sin θ

-sin θ ? ?,其中 θ 为旋转角度; cos θ ?

?1 0? ?1 0? ?,? ?; ?0 0? ?1 0? ?1 k? ?(k∈R,且 k≠0). ?0 1?

3.逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵 A、B,若有 AB=BA=E,则称 A 是可逆的,B 称为 A 的逆矩阵; (2)若二阶矩阵 A、B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在逆矩阵,且(AB) =B A . 4.特征值与特征向量 设 A 是一个二阶矩阵,如果对于实数 λ ,存在一个非零向量 α ,使 Aα =λ α ,那么 λ 称 为 A 的一个特征值,而 α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量. 5.特征多项式 设 A=? -b? ?a b? ?λ -a 2 ?是一个二阶矩阵,λ ∈R,我们把行列式 f(λ )=? ?=λ -(a+ λ -d? ?c d? ?-c
-1 -1 -1

d)λ +ad-bc,称为 A 的特征多项式.

?1 ?2 1.已知 A= ?1 ?2


1 ? ? 2 ?,B=? 1? ?-1 ? 2 2? 1 2 1 - 2

1 - 2

? ?,求 AB. 1? 2?

?1 ?2 AB= ?1 ?2

1 ?? 2 ?? 1?? 1 - 2?? 2 1 2

? ? 1? 2?

1 1 1 × + ×?- ? ?1 2 2 2 2 ? = ?1×1+1×?-1? ?2 2 2 2 =?

? ? 1 1 1 1? ×?- ?+ × 2 2 2 2?
1 1 1 1 ×?- ?+ × 2 2 2 2

?0 0? ?. ?0 0? ?-1 0? ?0 -1? ?,B=? ?,求 AB 的逆矩阵. 0? ? 0 1? ?1 ?-1 0? -1 ? 0 1? ?,B =? ?, ? 0 1? ?-1 0?

2.设 A=?
-1

解 ∵A =?

2

∴(AB) =B A =?
-1 -1 -1

? 0 1??-1 0? ?0 1? ?? ?=? ?. ?-1 0?? 0 1? ?1 0?

?6 -3? 3.求矩阵 M=? ?的特征值. ?6 -3?
3? ?λ -6 解 f(λ )=? ?=(λ -6)(λ +3)+18=0. ?-6 λ +3? ∴λ 1=0,λ 2=3. ∴M 的特征值为 0 和 3.

题型一 矩阵与变换 例 1 已知 a, b 是实数, 如果矩阵 M=? 求 a,b 的值. 解 设点(x, y)是直线 x-y=1 上任意一点, 在矩阵 M 的作用下变成点(x′, y′), 则?

?2 a? ?所对应的变换将直线 x-y=1 变换成 x+2y=1, ?b 1? ?2 a? ? ?b 1?

?x? ?x′? ? ?=? ?, ?y? ?y′?
所以?
? ?x′=2x+ay, ? ?y′=bx+y.

因为点(x′,y′)在直线 x+2y=1 上,
?2+2b=1, ? 所以(2+2b)x+(a+2)y=1,即? ?a+2=-1, ?

a=-3, ? ? 所以? 1 b=- . ? 2 ?
思维升华 已知变换前后的坐标,求变换对应的矩阵时,通常用待定系数法求解. 二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0, -2). (1)求矩阵 M; (2)设直线 l 在变换作用下得到了直线 m:x-y=4,求 l 的方程. 解 (1)设 M=?

?a b? ?a b?? 1? ?-1? ?,则有? ?? ?=? ?, ?c d? ?c d??-1? ?-1?

3

?a b??-2? ? 0? ? ?? ?=? ?, ?c d?? 1? ?-2?
a=1, ? ?b=2, 解得? c=3, ? ?d=4,

所以?

? ?a-b=-1, ?c-d=-1, ?

? ?-2a+b=0, 且? ?-2c+d=-2, ?

所以 M=? (2)因为?

?1 2? ?. ?3 4?

?x′? ?1 2??x? ?x+2y ? ?=? ?? ?=? ?, ?y′? ?3 4??y? ?3x+4y?

且 m:x′-y′=4,所以(x+2y)-(3x+4y)=4, 整理得 x+y+2=0,所以直线 l 的方程为 x+y+2=0. 题型二 求逆矩阵 2 例 2 (2015·福建)已知矩阵 A=?4

?

1? ?1 3?,B=?0

1? -1?.

(1)求 A 的逆矩阵 A ; (2)求矩阵 C,使得 AC=B. 解 (1)因为|A|=2×3-1×4=2, 1 1 ? - ? ?3 ?3 2 2? - ? ? ? 2 2 . = = ? 4 2 ?- ? ?-2 1? ? ? 2 2?
-1 -1

-1

所以 A

-1

(2)由 AC=B 得(A A)C=A B,故

?3 -1 2 C=A B=?2 ? ?-2
-1

?1 1? ?? ? ??0 -1? ? 1?

?3 ? 2 ? ? 2 = . ? ? - 2 - 3 ? ?
思维升华 求逆矩阵的方法: (1)待定系数法 设 A 是一个二阶可逆矩阵? (2)公式法

?a b? ?,AB=BA=E; ?c d?

4

?a b? -1 |A|=? ?=ad-bc≠0,有 A ?c d?

?|d ? A| = ?-c ?|A|

? ?. a ? |A|?
-b |A |

已知矩阵 A=? 解 设矩阵 A 的逆矩阵为? 则? 即?

?-1 0? ?1 2? -1 ?,B=? ?,求矩阵 A B. ? 0 2? ?0 6?

?a b? ?, ?c d?

?-1 0??a b? ?1 0? ?? ?=? ?, ? 0 2??c d? ?0 1? ?-a -b? ?1 0? ?=? ? ? 2c 2d? ?0 1?

1 故 a=-1,b=0,c=0,d= , 2

?-1 0? ?, 从而 A 的逆矩阵为 A =? ? 0 1 ? 2 ? ?
-1

?-1 0? 1 2 ? ?-1 -2? ?? 所以 A B=? =? ? ?. 1 ? 0 ??0 6? 3? ? ? 0 2 ? ?
-1

题型三 特征值与特征向量 例 3 已知矩阵 A 的逆矩阵 A =?
-1

?2 1? ?. ?1 2?

(1)求矩阵 A; (2)求矩阵 A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 解 (1)因为矩阵 A 是矩阵 A 的逆矩阵,且|A |=2×2-1×1=3≠0, 1? 2 所以 A= ? 3?-1 2 ? -1? ? 3 ?= 2? ? 1 ?-3 1 - 3
-1 -1 -1

? ?. 2? 3?
?λ -2 -1? 2 ?=λ -4λ +3=(λ -1)(λ -3), ? -1 λ -2?

(2)矩阵 A 的特征多项式为 f(λ )=?
-1 -1

令 f(λ )=0,得矩阵 A 的特征值为 λ 1=1 或 λ 2=3, 所以 ξ 1=?

? 1? -1 ?是矩阵 A 的属于特征值 λ 1=1 的一个特征向量, ? -1?

?1? -1 ξ 2=? ?是矩阵 A 的属于特征值 λ 2=3 的一个特征向量. 1 ? ?

5

思维升华 已知 A=? (1)令 f(λ )=?

?a b? ?,求特征值和特征向量的步骤: ?c d?

?λ -a -b? ?=(λ -a)(λ -d)-bc=0,求出特征值 λ ; ? -c λ -d?

??λ -a?x-by=0, ? (2)列方程组? ?-cx+?λ -d?y=0; ?

(3)赋值法求特征向量,一般取 x=1 或者 y=1,写出相应的向量. 已知矩阵 A=? -3). (1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 A 的特征值及特征向量. 解 (1)由题意得?

?1 -1? 其中 a∈R, 若点 P(1,1)在矩阵 A 的变换下得到点 P′(0, ?, 1? ?a

?1 -1??1? ? 0? ?? ?=? ?, 1??1? ?-3? ?a

所以 a+1=-3,所以 a=-4. (2)由(1)知 A=? 令 f(λ )=?

? 1 -1? ?, 1? ?-4

1? ?λ -1 2 ?=(λ -1) -4=0. ? 4 λ -1?

解得 A 的特征值为 λ =-1 或 3.
?-2x+y=0, ? 当 λ =-1 时,由? ? ?4x-2y=0 ? ?2x+y=0, 当 λ =3 时,由? ?4x+2y=0 ?

?1? 得矩阵 A 的属于特征值-1 的一个特征向量为? ?, ?2? ? 1? ?. ?-2?

得矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量为?

1.二阶矩阵与平面列向量乘法:?

?a c??x? ?ax+cy? ?? ?=? ?,这是所有变换的基础. ?b d??y? ?bx+dy?

2.证明两个矩阵互为逆矩阵时,切记从两个方向进行,即 AB=E=BA. 3.二元一次方程组?
? ?a1x+b1y=c1, ?a2x+b2y=c2 ?

相应的矩阵方程为 AX=B,其中 A=?

?a1 b1? ?为系数矩 ?a2 b2?

阵,X 为未知数向量? ?,B=? ?为常数向量. 4. 若某一向量在矩阵变换作用下的像与原像共线, 则称这个向量是属于该变换矩阵的特征向 量,相应共线系数为属于该特征向量的特征值.

?x? ?y?

?c1? ?c2?

6

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.已知 A=?

?1 5? ?,求 A 的特征值. ?6 2? ?λ -1 -5? ? ? -6 λ -2?

解 A 的特征多项式 f(λ )=?
2

=(λ -1)(λ -2)-30=λ -3λ -28=(λ -7)(λ +4), ∴A 的特征值为 λ 1=7,λ 2=-4. 故 A 的特征值为 7 和-4. 2.已知矩阵 A=?

? 2 -1? ? 4 -1? ?,B=? ?,求满足 AX=B 的二阶矩阵 X. 3? 1? ?-4 ?-3
-1

?3 1 ? 解 由题意,得 A =?2 2 ?,∵AX=B, ? ? ? 2 1? ?3 1 ? 4 -1 ?9 -1 ? ? ? ?2 ?. ∴X=A B=?2 2 ?? ?=? ? ? ? -3 ? 1? ? 2 1? ? 5 -1?
-1

3.已知矩阵 M=?

?1 2? ?1? ? 0? ?,α =? ?,β =? ?,求 M(2α +4β ). ?3 4? ?2? ?-3?
2?? 2? ?-14? ?? ?=? ?. 4??-8? ?-26?

?2? ? 0 ? ? 2? ?1 解 2α +4β =? ?+? ?=? ?,M(2α +4β )=? ?4? ?-12? ?-8? ?3

?1? 4.已知矩阵 A 将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值 3 的一个特征向量是? ?,求矩阵 A. ?1?
解 设 A=?
? ?a=2, ?c=3. ?

?a b? ?a b??1? ?2? ?,由? ?? ?=? ?, ?c d? ?c d??0? ?3?
由?

得?

?a b??1? ?1? ?3? ?? ?=3? ?=? ?, ?c d??1? ?1? ?3?
所以?
?b=1, ? ?d=0. ?

得?

?a+b=3, ? ?c+d=3. ?
2

所以 A=?

?2 1? ?. ?3 0?

5.曲线 C1:x +2y =1 在矩阵 M=?
2

?1 2? ?的作用下变换为曲线 C2,求 C2 的方程. ?0 1?
2 2

解 设 P(x,y)为曲线 C2 上任意一点,P′(x′,y′)为曲线 x +2y =1 上与 P 对应的点,

7

则?

?1 2??x′? ?x? ?? ?=? ?, ?0 1??y′? ?y?
? ?x=x′+2y′, ?y=y′ ?

即?

??

? ?x′=x-2y, ?y′=y. ?

因为 P′是曲线 C1 上的点, 所以 C2 的方程为(x-2y) +2y =1.
2 2

? 1? ?x 6.(2015·江苏)已知 x,y∈R,向量 α =? ?是矩阵 A=? ?-1? ?y
征向量,求矩阵 A 以及它的另一个特征值. 解 由已知,得 Aα =-2α , 即?

1? 0?

?的属于特征值-2 的一个特

?x 1?? 1? ?x-1? ?-2? ?? ?=? ?=? ?, ?y 0??-1? ? y ? ? 2?
? ?x-1=-2, ?y=2, ?

则?

即?

? ?x=-1, ?y=2, ?

所以矩阵 A=?

?-1 1? ?. ? 2 0?

从而矩阵 A 的特征多项式 f(λ )=(λ +2)(λ -1), 所以矩阵 A 的另一个特征值为 1. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 7.设 A 是一个二阶矩阵,如果 A 是可逆的,证明 A 的逆矩阵是唯一的. 证明 设 B1,B2 都是 A 的逆矩阵,则

B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2,
从而 B1=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1)=B2E2=B2. 即 B1=B2.故 A 的逆矩阵是唯一的.

?1 0? 8.求曲线|x|+|y|=1 在矩阵 M=? 1?对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积. ?0 ? ? 3? ?1 0? 解 设点(x0,y0)为曲线|x|+|y|=1 上的任一点,在矩阵 M=? 1?对应的变换作用下得到 ?0 ? ? 3?
的点为(x′,y′),

?1 0? x0 ? ? ?x′? 则由? 1?? ?=? ?, ?0 ??y0? ?y′? ? 3?
x′=x0 ? ? 得? 1 y′= y0, ? 3 ?
即?
?x0=x′ ? ?y0=3y′, ?

8

?1 0? 所以曲线|x|+|y|=1 在矩阵 M=? 1?对应的变换作用下得到的曲线为|x|+3|y|=1, ?0 ? ? 3?
1 2 2 所以围成的图形为菱形,其面积为 ×2× = . 2 3 3 9.设数列{an},{bn}满足 an+1=2an+3bn,bn+1=2bn,且满足? 解 依题设有? 令 A=?

?an+4? ?an? ?=M? ?,求二阶矩阵 M. ?bn+4? ?bn?

?an+1? ?2 3??an? ?=? ?? ?, ?bn+1? ?0 2??bn?

?2 3? 4 ?,则 M=A , ?0 2?

A2=?

?2 3??2 3? ?4 12? ?? ?=? ?. ?0 2??0 2? ?0 4? ?4 12??4 12? ?16 96? ?? ?=? ?. ?0 4??0 4? ? 0 16? ?1 0? ?0 2? ?,B=? ?. ?1 1? ?3 2?
2 2

M=A4=(A2)2=?

10.已知矩阵 A=?

(1)求满足条件 AM=B 的矩阵 M; (2)矩阵 M 对应的变换将曲线 C:x +y =1 变换为曲线 C′,求曲线 C′的方程. 解 (1)设 M=?

?a b? ?, ?c d?

AM=?

b? ?0 2? ?1 0??a b? ? a ?? ?=? ?=? ?, ?1 1??c d? ?a+c b+d? ?3 2?

a=0, ? ?a+c=3, 得? b=2, ? ?b+d=2,

∴a=0,b=2,c=3,d=0.∴M=?

?0 2? ?. ?3 0?

(2)设曲线 C 上任意一点 P(x,y)在矩阵 M 对应的变换作用下变为点 P′(x′,y′), 则 M? ?=?

?x? ?0 2??x? ?2y? ?x′? ?? ?=? ?=? ?, ?y? ?3 0??y? ?3x? ?y′?
x′ ? ?y= 2 , 即? y′ ?x= 3 , ?
2 2

? ?2y=x′, ∴? ?3x=y′, ?

代入曲线 C:x +y =1,得(

x′
2

) +(

2

y′
3

) =1.

2

9

∴曲线 C′的方程是 + =1. 4 9

x2 y2

10


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