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数学归纳法(2)》学案(学生版)


数学归纳法(2)
学习要求:掌握数学归纳法的实际应用 典型例题 一.数学归纳法处理整除 问题 例 1、用数学归纳法证明:

姓名

An ? 5n ? 2 ? 3n?1 ?1(n ? N * ) 能被 8 整除.

二.数学归纳法处理几何问 题 例 2:平面内有 n 条直线,其中任何两条不平行,任何三条直线不共点,问:这 n 条直线将 平面分成多少部分?
[来源:学科网] [来源:学科网 ZXXK]

变题:平面内有 n 个圆,其中每两个圆都相交与两点,且每三个圆都不相交 于同一点, 2 求证:这 n 个圆 把平面分成 n +n+2 个部分。
[来源:学科网]

三.数学归纳法处理不等式证明问题 例 3.证明不等式 : 1 ?

1 1 1 ? ??? ? 2 n (n ? N * ). 2 3 n

四.数学归纳法处理探索性问题 例 4、是否存在常数 a、b,使得等式: n 都成立,并证明你的结 论.

12 22 n2 an2 ? n ? ??? ? 对一切正整数 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) bn ? 2

课后作业: 1. 凸 n 边形有 f(n) 条对角线,则凸 n+1 边形的对角线 的条数 f(n+1)=f(n)+ .

2.设有通过一点的 k 个平面,其中任何三个平面或三个以上的平面不共有一条直线,这 k 个 平面将空间分成 f(k)个区域,则 k+1 个平面将空间分成 f(k+1 )=f(k)+ 3 . 用数学归纳法证明:当 n 为正偶数时,xn-yn 能被 x+y 整除. 个区域.

4. 平面内有 n (n?2)条直线,任何两条都不平行,任何三条不过同一点,问交点的个数为多少? 并证明.
科网 ZXXK]

[来源:学

[来源:学§科§网]

5. 求证: 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 2 ? (n ? N , n ? 2). 2 2 3 n n

n(n+1) 2 2 2 2 6.是否存在常数 a,b,c 使得等式 1·2 +2·3 +…+n(n+1) = (an +bn+c)对于一切 12

正整数 n 都成立?并证明你的结论.


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