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正弦定理、余弦定理单元测试及答案


正弦定理、余弦定理
一、选择题 1.在△ABC 中,已知 a ? 5 2 , c ? 10, A ? 30?, 则 B= (A)105° (C)15° (B)60° (D)105°或 15° ( (D) ? ) ( )

2.在△ABC 中,已知 a=6,b=4,C=120°,则 sinB 的值是

(A)

21 7

(B)

57 19

(C)

3 38

57 19
( )

3.在△ABC 中,有 a=2b,且C=30°,则这个三角形一定是 (A)直角三角形 (C)锐角三角形 (B)钝角三角形 (D)以上都有可能

4.△ABC 中,已知 b=30,c=15,C=26°,则此三角形的解的情况是 (A)一解 (C)无解 5.在△ABC 中,中,若 sin B sin C ? cos (A)等边三角形 (C)直角三角形 6.在△ABC 中,已知 sin A ?
2





(B)二解 (D)无法确定

A ,则△ABC 是 2
(B)等腰三角形 (D)等腰直角三角形





3 5 , cos B ? ,则 cos C 等于 5 13
(B)
- 29 -





(A)

56 65

16 65

(C)

16 56 或 65 65

(D)

33 65
( )

7.直角△ABC 的斜边 AB=2,内切圆的半径为 r,则 r 的最大值是 (A) 2 (B)1 (D) 2 ? 1

(C)

2 2

8.若△ABC 的三边长为 a,b,c,且 f ( x) ? b 2 x 2 ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) x ? c 2 , 则 f(x)的图 象是 (A)在 x 轴的上方 (C)与 x 轴相切 二、填空题 9.在△ABC 中,∠C=60°,c=2 2 ,周长为 2(1 ? 2 ? 3), 则∠A= (B)在 x 轴的下方 (D)与 x 轴交于两点 ( )



10.三角形中有∠A=60°,b∶c=8∶5,这个三角形内切圆的面积为 12π ,则这个三角形 面积为 . .

11.平行四边形 ABCD 中,∠B=120°,AB=6,BC=4,则两条对角线的长分别是 12.在 60°角内有一点 P,到两边的距离分别为 1cm 和 2cm,则 P 到角顶点的距离为 .

三、解答题 13.在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,A<B<C,B=60°,且满足

(1 ? cos 2 A)(1 ? cos 2C ) ?

1 ( 3 ? 1). 2
- 30 -

求: (1)A、B、C 的大小; (2)

a ? 2b 的值. c

14.在△ABC 中,已知 sin 2 A ? sin B ? ?

1 7 , cos 2 A ? cos B ? , 求 tan(A ? C ) 的值. 25 27

15.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边.

(Ⅰ)若△ABC 面积为

3 , c ? 2, A ? 60?, 求 a,b 的值; 2
- 31 -

(Ⅱ)若 acosa=bcosB,试判断△ABC 的形状.

单元十二
一、选择题

正弦定理、余弦定理
3 5 12 , cos B ? ,? sin B ? , 则 5 13 13

1.D 2.B 3.B 4.B 5.B 6.B 7.D 8.A 6.提示:? sin A ?

sin B ? sin A ? B ? A 则 A 一定是锐角,从而 cos C ? 16

65

A B 7.提示:在 Rt△ABC 中,有题意 r cot ? r cot ? 2 ? r ? 2 2
2 sin

A B sin 2 2 ? A B A? B cot ? cot sin( ) 2 2 2 2 2 sin

A B sin 又? A ? B ? 90?, ? r ? 2 2 ? 2 2 sin A sin B ? 2[cos A ? B ? cos A ? B ] 2 2 2 2 2 2 A? B 2 2 ? 2[cos ? ] ? 2 (1 ? ) ? 2 ?1 2 2 2
8.提示:? ? ? (b 二、填空题 9.45°或 75° 三、解答题 13.解: (1)由 (1 ? cos 2 A)(1 ? cos 2C ) ? 即 | cos(A ? C ) ? cos(A ? C ) |? 10. 40
2

? c 2 ? a 2 ) ? 4b 2 c 2 而 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A

2 ? ? 4b 2 c 2 cos2 A ? 4b 2 c 2 ? ?4b 2 c 2 sin 2 A ? 0 而 b ? 0 ? f ( x) 恒大于 0

3

11. 2

19 或 2 7

12. 2 21

3

1 1 ( 3 ? 1) 得 2 | cos A cos C |? ( 3 ? 1) 2 2

3 ?1 而 2

A ? C ? 180 ? ? B ? 120 ? 及△ABC 为锐角三角形
- 32 -

? cos(A ? C ) ?

3又 2

A ? B ? C ? C ? A ? 30? 且 C+A=120°∴C=75°,B=60°,A=45°
2b ?

sin A ? 2 sin B sin 45? ? 2 sin 60? ? ? 2. c sin C sin 75? 1 14.解:由 sin 2 A ? sin B ? ? 得 2 cos 2 A ? B sin 2 A ? B ? ? 1 ① 25 2 2 25 7 得 2A ? B 2A ? B 7 ② 由 cos 2 A ? cos B ? ? 2 sin sin ? 25 2 2 25
②÷①得 tan 2 A ? B ? 7 2 又 A+B=π -C ∴2A+B=A+A+B=π +A-C

(2)由(1)及正弦定理得 a ?

则 tan ? ? A ? C ? 7 即 cot A ? C ? 7 ? tan A ? C ? 1



2

2

2

7

A?C 7 2 tan(A ? C ) ? ? . 2 A ? C 24 1 ? tan 2 2 tan

15.解: (I)? S ?

1 3 1 3 得 b=1。由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A bc sin A ? ? b ? 2 sin 60? ? 2 2 2 2

? a 2 ? 1 ? 2 2 ? 2 ?1? 2 cos60? ? 3 则 a ? 3 .
(Ⅱ)由正弦定理及 acosA=bcosB 得 sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B ∴2A=2B 或 2A=π -2B 即 A=B 或 A+B=

? 2

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形

- 33 -


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