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2014-2015学年度山东省滕州市实验中学高三第一学期期中考试数学试题


2014-2015 学年度山东省滕州市实验中学高三第一学期期中考试 数学试题
第Ⅰ卷(60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. ) 1.设集合 A={ x | x ? 3 x ? 2 ? 0 },则满足 A
2

B={0,1,2}的集合 B 的个数是 C.4 D.6

A.1

B.3

2.已知 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 A. a ? 3 ? b ? 3 C. B. ac ? bc

a b D. a ? 2 ? b ? 3 ? c c ? ? ? ? ? ? ? ? 3.已知 a , b 是两个非零向量,给定命题 p : a ? b ? a b ,命题 q : ?t ? R ,使得 a ? tb ,则 p 是 q 的
A.充分不必要条件 C.充要条件 4.已知各项均为正数的等比数列 {a n } 中, 3a1 , A.27 B.3 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a ? a13 1 ? a3 , 2a2 成等差数列,则 11 a8 ? a10 2
C. ?1 或 3 D.1 或 27

5.函数 f ( x) 的定义域为 (0,1] ,则函数 f (lg A. [?5,4] C. [?5,?2] ? [1,4]

x2 ? x ) 的定义域为 2
B. [?5,?2) D. [?5,?2) ? (1,4]

6.已知 cos( x ?

?
6

)??

3 ? ,则 cos x ? cos( x ? ) ? 3 3
B. ?

A. ?

2 3 3

2 3 3

C. ? 1

D. ? 1

x ?1 ? ? 7.已知 x,y 满足 ? x ? y ? 4 ,记目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 1,最大值为 7,则 b, c 的值分别为 ? x ? by ? c ? 0 ?
A.-1,-2 B.-2,-1 C.1,2 D.1,-2

8 . 已 知 等 比 数 列 ?an ? 满 足 an > 0 , n = 1,2 , … , 且 a5 ? a2 n ? 5 ? 22 n ( n ? 3) , 则 当 n ≥1 时 ,

log 2 a1 ? log 2 a2 ? ??? ? log2 a2n ?1 =
A.n(2n-1) B. (n+1)2
2

C.n2

D. (n-1)2 π π

<x< ? -1? ? 4 2? ? π 1 + 2sin x ?0, ?,且函数 f(x)= 9.已知 x∈ 的最小值为 b,若函数 g(x)=? ? 2? sin 2x π? ?8x -6bx+4? ?0<x≤4?
2

,则不等

式 g(x)≤1 的解集为 π π? A.? ?4,2? π 3 B.? , ? ?4 2 ? C.? 3 3? ?4,2? D.? 3 π? ? 4 ,2?

10.设 F1,F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线与 C 的左、右两支分别交于 a 2 b2

A,B 两点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3:4 : 5,则双曲线的离心率为 A. 13 B. 15 C.2 D. 3

11.若曲线 f(x,y)=0 上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f(x,y)=0 的“自公切线”.下列 方程:① x2-y2=1;② y=x2-|x|;③ y=3sin x+4cos x;④ |x|+1= 4-y2对应的曲线中存在“自公切线”的有 A.① ②
3 2

B.② ③

C.① ④

D.③ ④

12.函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c ,在定义域 x ? ? ?2, 2? 上表示的曲线过原点,且在 x ? ?1 处的切线斜率均为

?1 .有以下命题:
① f ? x ? 是奇函数;② 若 f ? x ? 在 ? s, t ? 内递减,则 t ? s 的最大值为 4;③ f ? x ? 的最大值为 M,最小值为 m,则

M ? m=0 ;④若对 ?x ? ? ?2, 2?,k ? f ? ? x ? 恒成立,则 k 的最大值为 2.其中正确命题的个数为
A.1 个 B.2 个 C.3 个 第Ⅱ 卷(90 分) 二、填空题:本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若函数 f ? x ? 在 R 上可导, f ? x ? ? x ? x f ? ?1? ,则
3 2

D.4 个

? f ? x ? dx ?
0

2



14.若 x ? 0, y ? 0, 且 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 3 y 的最小值为
2



15.抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,过点 P(2,0)且斜率为 1 的直线与抛 3 6

物线 C 交于 A,B 两点,则弦 AB 的中点到抛物线准线的距离为_______ 16 . 对 于 实 数 a,b, 定 义 运 算 "?" : a ? b ? ?

?a 2 ? ab(a ? b) 设 f ( x) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) , 且 关 于 x 的 方 程 2 ?b ? ab(a ? b)

f ( x) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1 , x 2 , x3 ,则 x1 x 2 x3 的取值范围是___________
三、解答题:本大题共六个大题,满分 70;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) (1)已知 cos ? ?

1 11 ? , cos(? ? ? ) ? ? ,且 ? , ? ? (0, ) ,求 cos ? 的值; 7 14 2

??) 2 4 (2)已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? ,求 的值. 4 cos 2? ? sin( 2? ? ? ) ? 1 cos(
18. (本题满分 12 分)在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, 且 3a ? 2c sin A ? 0 . (Ⅰ )求角 C 的大小; 19. (本题满分 12 分) 设数列 {a n } 是等差数列,数列 {bn } 的前 n 项和 S n 满足 S n ? (Ⅰ )求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式: (Ⅱ )设 cn ? an ? bn , ,设 Tn 为 ?cn ? 的前 n 项和,求 Tn . 20. (本题满分 12 分) 设椭圆 C: 原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,证明:点 O 到直线 AB 的距离为定值,并 (Ⅱ )若 c ? 2, 求 a ? b 的最大值.

?

3 (bn ? 1) 且 a 2 ? b1 , a5 ? b2 2

x2 y2 21 1 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,右焦点到直线 ? ? 1 的距离 d ? ,O 为坐标 2 7 2 a b a b

求弦 AB 长度的最小值。 21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3 x(a, b ? R ) ,在点(1,f(1) )处的切线方程为 y+2=0.
3 2

(1)求函数 f(x)解析式; (2)若对于区间[-2,2]上的任意两个自变量 x1 , x 2 都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? c ,求实数 c 的最小值; (3)若过点 M(2,m) (m ? 2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围; 22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? x ? b ( a, b 均为正常数) ,设函数 f ( x) 在 x ? (1)若对任意的 x ? [0,

?
3

处有极值.

?
2

] ,不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 总成立,求实数 b 的取值范围; m ? 1 2m ? 1 ?, ? ) 上单调递增,求实数 m 的取值范围. 3 3

(2)若函数 f ( x) 在区间 (

2014-2015 学年度山东省滕州市实验中学高三第一学期期中考试 数学试题参考答案
一、选择题:1.C 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.D 10.A 11.B 12.B 二、填空题:13.-4 三、解答题: 18.解: (Ⅰ )由 3a-2csin A=0 及正弦定理, 得 3sin A-2sin Csin A=0(sin A≠0) , (1 分) ∴ sin C= π ∴ C= 3 3 , (4 分)∵ △ ABC 是锐角三角形, 2 (6 分) 14. [ , 2]

3 4

15.11

16. (

1? 3 ,0) 16

π π (Ⅱ )∵ c=2,C= ,由余弦定理,a2+b2-2abcos =4, 3 3 即 a2+b2-ab=4 (8 分)

?a+b?2,即(a+b)2≤16, ∴ (a+b)2=4+3ab≤4+3· (10 分) ? 2 ?
∴ a+b≤4,当且仅当 a=b=2 取“=”(11 分) 故 a+b 的最大值是 4. (12 分)

19.解: (1) an ? 2n ? 1 ,

(3 分)

(3 分) bn ? 3n .

(2) Tn ? 3 ? ( n ? 1)3n ?1 . (12 分) 20. (1)

x2 y2 ? ?1 4 3
2 2

(2)设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,当直线 AB 的斜率不存在时, x 2 ? ? x1 , y1 ? y 2 ,? y1 ? y 2 ,又

x12 y12 ? ? 1, 4 3

解得 x1 ?

12 2 21 2 21 ? , 即 O 到直线 AB 的距离 d ? , 当直线的斜率存在时, 直线 AB 的方程为 y=kx+m, 7 7 7

与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立消去 y 得 3 x 2 ? 4(k 2 x 2 ? 2km ? m 2 ) ? 12 ? 0 , 4 3

8km 4m 2 ? 12 ? OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ,? x1 x 2 ? (kx1 ? m)(kx 2 ? m) ? 0 即 ? x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

(k 2 ? 1) x1 x 2 ? km( x1 ? x 2 ) ? m 2 ? 0 ? (k 2 ? 1)
到直线 AB 的距离 d ?

4m 2 ? 12 8k 2 m 2 ? ? m 2 ? 0 ,整理得 7 m 2 ? 12(k 2 ? 1) ? O 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

m 1? k
2

?

12 2 21 ? ? OA ? OB ? OA 2 ? OB 2 ? AB 2 ? 2OA ? OB 当且仅当 7 7
AB 2 4 21 ,? AB ? 2d ? 即弦 AB 的长度的最 2 7

OA=OB 时取“=”有 d ? AB ? OA ? OB 得 d ? AB ? OA ? OB ?

小值是

4 21 7

2 21. (1)由已知得 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 3 ,根据题意,得 ?

? f (1) ? ?2 ? a ? b ? 3 ? ?2 即? 解得 ? f ?(1) ? 0 ?3a ? 2b ? 3 ? 0

?a ? 1 ? f ( x) ? x 3 ? 3x ? ?b ? 0
3 2 (2)由(1)知? f ( x) ? x ? 3 x 则 f ?( x) ? 3 x ? 3 令 f ?( x) ? 0, x ? ?1 又 f(-1)=2,f(1)=-2,f(-2)=-2,f(2)

=2,? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x) max ? f ( x) min ? 4 ? c ? 4
3 2 2 (3)设切点为( x 0 , y 0 ) ,则 y 0 ? x 0 ? 3 x0 ? f ?( x) ? 3 x0 ? 3 切线的斜率为 3 x0 ? 3 则有

3 x0 ? 3x0 ? m 3 2 ,即 2 x 0 3x ? 3 ? ? 6 x0 ? 6 ? m ? 0 过点 M(2,m)可作曲线 y=f(x)的三条切线,方程 x0 ? 2 2 0
3 2 3 2 2 x0 ? 6 x0 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解,g ( x) ? 2 x0 ? 6 x0 ? 6 ? m 有三个不同的零点,g ?( x) ? 6 x 2 ? 12 x

令 g ?( x) ? 0 解得 x=0,x=2,? ?

? g (0) ? 0 ? ?6 ? m ? 2 ? g (2) ? 0

22.解:∵ f ( x) ? a sin x ? x ? b ,∴ f ' ( x) ? a cos x ? 1 ,由题意,得 f ' ( ) ? 0 ,解得 a ? 2 .---- 2 分

?

3

(1)不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 等价于 b ? x ? cos x ? six 对于一切 x ? [0, 记 g ( x) ? x ? cos x ? sin x ,则 g ' ( x) ? 1 ? sin x ? cos x ? 1 ? 2 sin( x ? ∵x ? [0,

?
2

] 恒成立. ---- 4 分
----5 分

?
4

)

?
2

] ,∴x ?

?

? 3? ? ? [ , ] ,∴1 ? 2 sin( x ? ) ? 2 , 4 4 4 4

∴g ' ( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在 [0,

?

2

] 上是减函数.

∴g ( x) max ? g (0) ? 1 ,于是 b ? 1 . ---- 6 分 (2) f ' ( x) ? 2 cos x ? 1 ,由 f ' ( x) ? ∵ 函数 f ( x) 在区间 ( ∴(

m ? 1 2m ? 1 ? ? ?, ? ) ? [? ? 2k? , ? 2k? ] , 3 3 3 3

m ? 1 2m ? 1 ?, ? ) 上单调递增, 3 3

1 ? ? ,得,即 ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z . ---- 7 分 2 3 3

? ?m ?1 ? 3 ? ? ? 3 ? 2k? ? ?6k ? m ? 3k ? 1, k ? Z ? ? 2m ? 1 则有 ? ----9 分,即 ? , ? ? ? 2k? 3 ?m ? 0 ? 3 2m ? 1 ?m ?1 ? 3 ? ? 3 ?,k ? Z ?
∴ k ? 0 时, 0 ? m ? 1 ---- 12 分


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