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平面向量共线的坐标表示


课题:平面向量共线的坐标表示
学校 凤城高中 姓名 李延玲 一、教学目标: 1.会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件; 2.能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 3.通过学习向量共线的坐标表示,使学生认识事物之间的相互联系,培养学生辨证思 维能力. 二、教学重点、难点: 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性 三、教学方法:启发式、小组合作探究、问题式教学 四、教学过程: (一)课题引入 前面,我们学习了平面向量可以用坐标来表示,并且向量之间可以进行坐标运算。这就 为解决问题提供了方便。 我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ 使得 b =λ a , 那么这个条件是否也能用坐标来表示呢?因此, 我们有必要探究一下这个问题: 两向量共线 的坐标表示。 (二)新知探究 探究:共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ 使得 a =λ b , ( b ? 0 )那么这个条件 是否也能用坐标来表示呢? 设 a =(x1, y1)

?

?

?

?

?

?

? ? b =(x2, y2)( b ? 0 )
? x ? ?x 2 ?? 1 ? y1 ? ?y 2
消去λ :x1y2-x2y1=0

由 a =λ b , (x1, y1) =λ (x2, y2)

?

?

? ? ? 结论: a ∥ b ( b ? 0 ) ? x1y2-x2y1=0
注意:1?消去λ 时不能两式相除,∵y1, y2 有可能为 0, ∵ b ? 0 , ∴x2, y2 中至少有一个不为 0. 2?充要条件不能写成

?

y1 y 2 ? x1 x 2

∵x1, x2 有可能为 0.

3?从而向量共线的充要条件有两种形式: a ∥ b ( b ? 0 ) ?

?

?

?

a ? ?b x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0

(三)典型例题 例 1.已知 a ? (4,2) , b ? (6, y) ,且 a // b ,求 y . 解:∵ a // b ,∴ 4 y ? 2 ? 6 ? 0 .∴ y ? 3 . 点评:利用平面向量共线的充要条件直接求解. 变式训练 1:已知平面向量 a ? (1,2) , b ? (?2, m) ,且 a // b ,则

?

?

? ?

? ?

? ? 2a ? 3b ? _________.
例 2.已知 A(?1, ?1) , B(1,3) , C (2,5) ,求证: A 、 B 、 C 三点共线. 证明: AB ? (1 ? (?1),3 ? (?1)) ? (2, 4) , AC ? (2 ? (?1),5 ? (?1)) ? (3,6) , 又 2 ? 6 ? 3 ? 4 ? 0 ,∴ AB // AC .∵直线 AB 、直线 AC 有公共点 A , ∴ A , B , C 三点共线。 点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线. 变式训练 2:若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为_________. (四)拓展提升 例 3.设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1、P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标. 解: (1) OP ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

1 ???? ???? ? x1 ? x2 y1 ? y 2 ? (OP , ? 1 ? OP 2) =? 2 2 ? ? 2

所以,点 P 的坐标为 ?

? x1 ? x2 y1 ? y 2 ? , ? 2 ? ? 2

(2)当 P 1P ?

??? ?

1 ???? ? 2 x ? x2 2 y1 ? y 2 ? PP2 时,可求得:点的坐标为: ? 1 , ? 2 3 3 ? ?

当P 1 P ? 2PP 2 时,可求得:点的坐标为: ?

? x1 ? 2 x2 y1 ? 2 y 2 ? , ? 3 3 ? ?

点评:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.

变式训练 3:当 P 1 P ? ? PP 2 时,点 P 的坐标是什么?

(五)归纳小结 1.熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式; 2.会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行; 3.明白判断两直线平行与两向量平行的异同。 五、作业布置 1.书面作业:习题 2.3 A 组 5、6 2.探究性作业:习题 2.3 B 组 3 六、教学反思 1.平面向量共线充要条件的两种表达形式是什么? 2.如何用平面向量共线的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行? 3.判断两直线平行与两向量平行有什么异同? 七、超级链接 课后练习与提高

1.若 a =(2,3), b =(4,-1+y),且 a ∥ b ,则 y =( A.6

?

?

?

?



B.5

C.7

D.8 )?

2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3

B.-1

C.1

D.3

3.若 AB =i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、j 的方向分别与 x、y 轴正方向相同且 为单位向量). AB 与 DC 共线,则 x、y 的值可能分别为( A.1,2 )

B.2,2

C.3,2

D.2,4 .

4.已知 a =(4,2), b =(6,y),且 a ∥ b ,则 y =

?
?

?
?

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?

?
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5.已知 a =(1,2), b =(x,1),若 a +2 b 与 2 a - b 平行,则 x 的值为 6.已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平行吗?直线 AB 与平行于直线 CD 吗? 参考答案: 1.C 2.B 3.B 4.3 5.0.5

? ?

6. 解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) , CD =(2-1,7-5)=(1,2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴ AB ∥CD .

又 ∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) , AB =(2, 4),2×4-2×6?0 ∴ AC 与 AB 不平行

∴A,B,C 不共线

∴AB 与 CD 不重合

∴AB∥CD.


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