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29第三节 等比数列及其前n项和


东平明湖中学高三数学学案
班级:_________ 姓名:_________ 座号: 排 号 科目: 数学 课题:第三节 等比数列及其前n项和 课型:新授 主备人: 王俊岭 审核人:刘燕 教师寄语:学而不思,犹如食而不化 编号:29 使用时间:2013 年 11 月

为等比数列,公比为 qk.

【课堂探究】
考点一 等比数列的基本运算 ) [例 1] (1)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=( A.7 B.5 C.-5 D.-7

(2)等比数列{an}为递增数列,且 a2=a10,2(an+an+2)=5an+1,则通项公式 an=________. 5 (3)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,则 q= 怎 么 考 ________. [自主解答]

【课标要求】
考 什 么 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列 的通项公式与前 n 项和公式. 3.能在具体的问题中, 识别数列的等比关 系,并能用有关知识解决相应的问题

1.考查等比数列的性质及其基本量的计算. 2.以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公 式、前 n 项和公式及性质的综合应用. ————— 等比数列运算的通法

【知识梳理】 1.等比数列的相关概念
相关名词 定义 通项公式 前 n 项和公 式 等比中项 2.等比数列的性质 (1)对任意的正整数 m,n,p,q,若 m+n=p+q 则 am·n=ap·q. a a 特别地,若 m+n=2p,则 am·n=a2. a p (2)若等比数列前 n 项和为 Sn 则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 仍成等比数列 (3)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p 是常数)也是等比数列. (4)等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,an+k,an+2k,an+3k,… 等比数列{an}的有关概念及公式 an+1 an =q(q 是常数且 q≠0,n∈N*)或 =q(q 是常数且 q≠0,n∈N*且 n≥2) an an-1 an=a1qn 1=am·n q
- -m

求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式 an= a1·n 1(a1q≠0)及前 n 项和公式 Sn 中共有五个变量,已知其中的三个变量,可以通过构造方程或 q 方程组求另外两个变量,在求公比 q 时,要注意应用 q≠0 验证求得的结果.


?q=1? ?na1 ? Sn=?a1?1-qn? a1-anq ? 1-q = 1-q ?q≠1? ? 设 a,b 为任意两个同号的实数,则 a,b 的等比中项 G=± ab

1.(1)在等数列{an}中,a1=8,a4=a3a5,则 a7=( 1 A. 16 1 B. 8 1 C. 4 1 D. 2

)

(2)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5=( 15 A. 2 31 B. 4 33 C. 4 17 D. 2

)

考点二

等比数列的判定与证明

考点三

等比数列的性质及应用

[例 2] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;
?an? (2)在(1)的条件下证明?2n?是等差数列,并求 an. ? ?

[例 3] (1)在等比数列{an}中, a1·2·3·4=1, 13·14·15·16=8, a41·42·43·44=________. 若 a a a a a a a 则 a a a (2)数列{an}为等比数列,n 为其前 n 项和,若 a1+a2+a3=3,4+a5+a6=6, S12=________. S , a 则 [自主解答]

[自主解答]

—————

——等比数列常见性质的应用

等比数列的性质可以分为三类:①通项公式的变形,②等比中项的变形,③前 n 项和公式的 变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. ————— 等比数列的判定方法 3.已知等比数列前 n 项的和为 2,其后 2n 项的和为 12,求再后面 3n 项的和.

an+1 an (1)定义法:若 =q(n∈N*)或 =q(n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列. an an-1 (2)等比中项公式法:若数列{an}中,an≠0 且 a2+1=an·n+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列. a n (3)通项公式法:若通项公式 an=c·n(c,q 均是不为 0 的常数,n∈N*),则{an}是等比数列. q (4)前 n 项和公式法:若数列前 n 项和 Sn=k·n-k(k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列. q

【当堂训练】
1.在等比数列{an}中,如果公比 q<1,那么等比数列{an}是( A.递增数列 B.递减数列 D.无法确定数列的增减性 )

2. 成等差数列的三个正数的和等于 15, 并且这三个数分别加上 2、 13 后成为等比数列{bn} 5、 中的 b3、b4、b5. 5? ? (1)求数列{bn}的通项公式;(2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

C.常数列

2.(教材习题改编)等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+… +log3a10=( A.12 C.8 ) B.10 D.2+log35

3.(教材习题改编)在等比数列{an}中,若 a5-a1=15,a4-a2=6,则 a3=________. 4.在等比数列{an}中,an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则 a3+a5 的值为________. 5.在 1 与 4 之间插入三个数使这五个数成等比数列,则这三个数分别是________.

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