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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(96)


加试模拟训练题(96)
1、在四边形 ABCD 中,⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC 的面积比是 3∶4∶1,点 M、N 分别在 AC、CD 上 满足 AM∶AC=CN∶CD,并且 B、M、N 三点共线.求证:M 与 N 分别是 AC 与 CD 的中点. 证明 设 AC、BD 交于点 E. 由 AM∶AC=CN∶CD,故 AM∶MC=CN∶ND, D 令 CN∶ND=r(r

>0), 则 AM∶MC=r. A 由 SABD=3SABC,SBCD=4SABC,即 SABD∶SBCD =3∶4. 从而 AE∶EC∶AC=3∶4∶7. E SACD∶SABC=6∶1,故 DE∶EB=6∶1, N B ∴DB∶BE=7∶1. M r 3 AM∶AC=r∶(r+1),即 AM= AC,AE= AC, r+1 7 4r-3 r 3 1 ∴EM=( - )AC= AC.MC= AC, r+1 7 7(r+1) r+1 4r-3 CN DB EM ∴EM∶MC= .由 Menelaus 定理,知 · · =1,代入得 7 ND BE MC 4r-3 r· 7· =1,即 4r2-3r-1=0,这个方程有惟一的正根 r=1.故 CN∶ND=1,就是 N 为 CN 中点, 7 M 为 AC 中点. 2. n 为一正整数,试确定有多少个实数 x,满足 1≤x<n 和 x -[x ]=(x-[x]) .其中[x]表示 不超过 x 的最大整数. 【题说】1992 年澳大利亚数学奥林匹克题 2. 【解】记[x]=-a,x-[x]=r,则有 1≤a≤n-1,0≤r<1,且 (a+r) -[(a+r) ]=r 即 a +3a r+3ar =[(a+r) ] 所以 a +3a r+3ar 是整数,且 a ≤a +3a r+3ar <a +3a +3a=(a+1) -1.当 a 确定时, 3 3 2 2 3 对任一整数 n,a <n<(a+1) -1,r 的二次方程 3ar +3a r+(a -n)=0 的常数项为负, 3 2 2 3 3 所以恰有一个正根 r. (a+1)-1>n=3ar +3a r+a 推出 r<1. n=a 时, 而且 在 显然 r=0. 所 3 3 以 a 确定时,r 有(a+1) -a -1 个不同的值满足 0≤r<1.从而 x=a+r 的个数为(a+1) 3 3 -a -1.故所求 x 的个数为
3 2 2 3 3 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3

C

3.从 n×n 正方形剪去一个 1×1 的角格,求其余的图形分成等积三角形的最少个数. 【题说】 第十六届(1990 年)全俄数学奥林匹克九年级题 6. 【解】 一个与图中折线 ABC 有公共点的三角形,一条边长不大于 1,
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至少分成

个等积的三角形.

图中的分法表明缺角正方形可以分成 2(n+1)个等积三角形.

4.求方程 2w+2x+2y+2z=20.625 的满足条件 w>x>y>z 的整数解.
【题说】1979 年湖南省赛二试题 2. 【解】方程两端同乘 8,得 2 +2 +2 +2 =165 165 为奇数,故必有 z+3=0,即 z=-3. (1)的两端同减去 1,再除以 4,得 2 +2 +2 =41 同理 y=-1 (2)的两端同减去 1,再除以 8,得 2 +2 =5 于是 x=2,w=4 故所求的解为 w=4,x=2,y=-1,z=-3 【别解】将 20.625 表为 2 的整数幂的和得 2 +2 +2 +2 =2 +2 +2 +2
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w x y z 4 2 -1 -3 w-2 x-2 w+1 x+1 y+1 w+3 x+3 y+3 z+3

(1)

(2)

比较指数即可得解.

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