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2014年陕西省宝鸡市高三理科数学质量检测一


2014 年陕西省宝鸡市高三数学质量检测(一)
数学(理科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 15 考题为三选 一,其它题为必考题,考生作答时,将答案写在答题卡上,在本试卷上答题无效.本试卷满 分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.选择题

答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字 9 笔或碳素笔书写,字体:工整、笔迹清 楚,将答案书写在答题卡规定的位置上. 3.所有题目必须在答题卡上作答,在试卷上答题无效。

第Ⅰ卷
有一个是符合题目要求的. 1.满足 i3 ? z ? 1 ? 3i 的复数 z 是 A. ?3?i
? ?

(选择题共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只

开 始 C.
? ?

B.

?3?i
? ?

3?i
? ?

D.

3?i
输入 x

2.设 a , b 为向量。则 " a ? b ? a b " 是 a∥ b 的 A .充分不必要条件 C. 充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也必要条件

3.执行右面的框 4 图, 若输出的结果为 值是 A.

1 , 则输入的实数 x 的 2

x ?1




3 2

B.

1 4

C.

2 2

D.

2

y ? x ?1

y ? log2 x

4.若 ( x ? A. 4

) 的展开式中第四项为常数项,则 n ? 23 x
B.

1

n

输出 y

5

C.

6

D.

7
结 束

5. 已 知 一 次 函 数 f ( x) ? kx ? b 的 图 像 经 过 点 P(1,2) 和

Q(?2,?4) ,令 a n ?
等于 A . 24

6 1 * , n ? N ,记数列的前项和为 sn ,当 s n ? 时, n 的值 25 f (n) f ( n ? 1)
25
C.

B.

23

D.

26

6.已知函数 y ? A sin ??x ? ? ? ? k 的最大值为 4 , 最小值为 0 , 最小正周期为 是其图像的一条对称轴,则符合条件的解析式为

? ? , 直线 x ? 2 3

1

A . y ? 2 sin? 4 x ?

? ?

??

??2 6?

B.

?? ? y ? 2 sin? 2 x ? ? ? 2 3? ?
y ? 4 sin( 4 x ?

C.

?? ? y ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 3? ?

D.

?
6

)

7.关于直线 a , b 及平面 ? , ? ,下列命题中正确的是 A. C.

若a ∥?,? ? ? ? b, 则a ∥ b

B. D.

若a ∥?,b ∥?,则a ∥ b

若a ? ? , a ∥ ?,则? ? ?

若a ∥?,b ? a, 则b ? ?

8 对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 A . f (1) ? f (3) ? 2 f (2) C.

2? x ? 0 ,则必有 , f ( x)

B. f (1) ? f (3) ? 2 f (2) D.

f (1) ? f (3) ? 2 f (2)
2 2

f (1) ? f (3) ? 2 f (2)

y ? 1(b ? a ? 0) 的半焦距为 c ,直线 l 过 A(a,0), B(0, b) 两点,若原点 O 到 9.设双曲线 x ? 2 2 a b
l 的距离为

3c ,则双曲线的离心率为 4
B.

A.

2 3 或2 3

2

C.

2或

2 3 3

D.

2 3 3

10. 定义函数 y ? f ( x), x ? D ,若存在常数 c ,对任意 x1 ? D ,存在唯一 x 2 ? D 的,使得

f ( x1) ? f ( x 2) ? c ,则称函数 f ( x) 在 D 上的均值为 c ,已知 f ( x) ? lg x, x ? ?10,100? ,则 2
函数 f ( x) ? lg x 在 x ? ?10,100? 上的均值为。 A.

3 2

B.

3 4

C.

7 10

D.

10

2

第Ⅱ卷

(非选择题共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分,把答案填在答题卡中对应题号后
的横线上(必做题 11—14 题,选做题 15 题)

?log3 x, x ? 0 x 11. 已 知 函 数 f ( x) ? ? , 则 满 足 方 程 f (a) ? 1 的 所 有 a 的 值 为 ? 1 ,x ? 0 ( ) ? ? 3
________________________ 12.已知某几何体的三视图如图, 其中主视图 中半圆直径为 2,则该几何体的体积 _______________________ 2 1

1

?3x ? y ? 6 ? 0 ?x? y?2?0 ? 13. 设 x, y 满足约束条件 ? , x ? 0 ? ? y?0 ?
则 目 标 函 数 z ? 2x ? y 最 大 值 为 _________________ 14. 若

1

2

1

3

f ( x) ? ?

a a ? a
x

,则

f (?3) ? f (?2) ? f (?1) ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? _______________________.

15.选做题(请在下列 3 道题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评 阅记分)

A(参数方程与极坐标系选做题)在直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos? ; ? y ? 3 sin ?

在 极 坐 标 系 ( 以 原 点 为 坐 标 原 点 , 以 轴 正 半 轴 为 极 轴 ) 中 曲 线 C2 的 方 程 为

? ? cos( ? ? ) ? 2 ,则 C1 与 C 2 的交点的距离为_________________________
4
经过圆

B(几何证明选做题)如图,割线 PBC

D C O

E P B



P
3

O , OB ? PB ? 1 , OB 绕点 O 逆时针旋 120? 转
到 OD ,连 PD 交圆 O 于点 E ,则 PE ? ______________________

C(不等式选做题)不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的取值范
围为_________________

三 解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 16. (本小题 12 分)
已知数列 ?an?的前 n 项和 sn 满足 sn ? 2 an ? (?1) , (n ? N *)
n

(1)求数列 ?an?的前三项 a1 , a 2 , a3

2 n (?1) ,求证:数列 ?bn? 为等比数列,并指出 ?an?的通项公式。 3 17. (本小题 12 分)
(2)设 bn ? a n ? 在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为

a, b, c , q ? (2a,1), p ? (2b ? c, cos C ) 且
?

?

?

P
P

q ∥p

?

E
? 2 cos 2C ? 1 的取值 1 ? tan C

(1)求 sin A 的值 (2) 求三角函数式 范围

D C A B

18(本小题 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD AB CD , 为 梯 形 , ∥

?AD ? CD ? 2 AB ? 2, ?DAB ? 60? PD ? 平面ABCD , M 为 PC 的中点
(1)证明: BD ? PC

1 AD ,求二面角 D ? BM ? P 的余弦值 2 19(本小题 12 分)
(2)若 PD ? 为了参加广州亚运会,从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子排球国家队,队员来源人 数如下表: 对别 人数 北京 4 上海 6 天津 3 八一 5

(1) 从这 18 名队员中随机选出两名,求两人来自同一队的概率; (2) 中国女排奋力拼搏,战胜了韩国队获得冠军,若要求选出两位队员代表发言,设其中 来自北京队的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E?

20(本小题 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是
4

一个面积为 8 的正方形(记为 Q ) (1)求椭圆 C 的方程 (2)设点 P 是直线 x ? ?4 与 x 轴的交点,过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M , N 两点,当 线段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包括边界)时,求直线 l 斜率的取值范围

21(本小题 14 分)
已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? (1)求函数 F ( x) 的单调区间 (2)若以函数 y ? F ( x)(x ? (0,3]) 图象上任意一点 P( x0 , y 0) 为切点的切线的斜率 k ? 成立,求实数 a 的最小值 (3)是否存在实数 m ,使得函数 y ? g (

a (a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) x

1 恒 2

2a ) ? m ? 1 的图象与函数 y ? f (1 ? x2) 的图象 2 x ?1

恰有四个不同交点?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由。

A卷

5

,

数学参考答案
一、选择题: 题号 理A B卷 文A B卷 1 D A B A 2 C B C C 3 D C D B 4 B C B D 5 A A B A 6 A B A B 7 C C C C 8 C D A A 9 A A C C 10 A D A D

二、填空题: 11. (理)3 和 0 (文) (-1,1) 12.(理)24-

3? 1 , (文) 2 6

13. 14

14. (理)-4(文)2n -n; 15. A. 2 7
2

B.

3 7 7

C. (理)[-1,4](或-1≤a≤4)

(文) (-∞,-3) (或 a<-3) 三、解答题: n 16. (理科)解:⑴在 Sn=2an+(-1) 中分别令 n=1,2,3 得

?a1 ? 2a1 ? 1 ? (2 分) ?a1 ? a 2 ? 2a 2 ? 1 ?a ? a ? a ? 2 a ? 1 2 3 3 ? 1
n n-1

?a1 ? 1 ? 解得 ?a 2 ? 0 ?a ? 2 ? 3

(4 分)

⑵由 Sn=2an+(-1) ,n≥1 得 Sn-1=2an-1+(-1) ,n≥2 n n 两式想减得 an=2aa-2an-1+2(-1) ,即 an=2an-1-2(-1)

(6 分)

2 2 4 n n n n-1 ∴an+ (-1) =2an-1+ (-1) -2(-1) =2an-1+ (-1) 3 3 3 2 n-1 =2[an-1+ (-1) ](n≥2) (9 分) 3 2 1 即 bn=2bn-1(n≥2),b1=a1- = 3 3 1 ∴{bn}是首项为 ,公比为 2 的等比数列. (10 分) 3 1 2 n-1 n ∴bn= ×2 = an+ (-1) 3 3 1 2 n-1 n an= ×2 - (-1) (12 分) 3 3
(文科) 解: (Ⅰ) 由题意知,q>0,2q+q2=15 解得 q=3(q=-5 不合题意舍去) (2 分) n-1 ∴an=3 (4 分)
6

(Ⅱ)设等差数列{bn}的公差为 d,则 b1=3,b1+2d=9,∴d=3, bn=3+3(n-1)=3n (7 分) n anbn=n·3 1 2 3 n-1 n ∴Sn=1×3 +2×3 +3×3 +?+(n-1)×3 +n×3 2 3 n n+1 3Sn= 1×3 +2×3 +?+(n-1)×3 +n×3 两式相减得 1 2 3 n n+1 -2Sn=3 +3 +3 +?+3 -n×3 (9 分)

3 n n+1 (3 -1)-n×3 2 2n ? 1 n+1 3 Sn= ·3 4 4
= 17. (理科)解:(Ⅰ)∵ q =(2a,1) , p =(2b-c,cosC)且 q ∥ p ∴2acosC=2b-c 由正弦定理得 2sinAcosC=2sinB-sinC 又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC ∴

(11 分) (12 分)

1 sinC=cosAsinC 2
∴cosA= ∴A=

∵sinC≠0 又∵0<A<?, ∴sinA=

? 3

1 2

3 2 ? 2 cos 2C 2(cos2 C ? sin 2 C ) 2 (Ⅱ)原式= +1=1=1-2cos C+2sinCcosC sin C 1 ? tan C 1? cosC ? =sin2C-cos2C= 2 sin(2C- ) 4 2 ? ? 13 ∵0<C< ? ∴ ? <2C- < ? 3 4 4 12 ? 2 ∴? < sin(2C- )≤1 4 2 ? ∴-1< 2 sin(2C- )≤ 2 4 ? 2 cos 2C ? 1 的取值范围为(-1, 2 ] 即三角函数式 1 ? tan C
(文科) 解: (Ⅰ)∵ b +c -a =bc , cosA= 又∵ 0 ? A ? ? ∴sinA= 1 ? cos2 A =
2 2 2

b2 ? c2 ? a2 1 = 2 2bc

(3 分)

3 2

(5 分)

(Ⅱ)在△ABC 中,sinA=

3 3 ,a= 3 ,cosC= 2 3
7

可得 sinC= ∵A+B+C=?

6 3

(6 分)

∴sinB =sin(A+C)=

3 3 1 6 3? 6 × + × = 2 3 2 3 6

(9 分)

由正弦定理知:

a b ? sin A sin B

a sin B ∴b= = sin A

3?

3? 6 6 =3? 6 . 3 3 2

(12 分)

18.(理科)解: (Ⅰ)由余弦定理得 BD= 12 ? 2 2 ? 2 ?1? 2 cos60? = 3 ∴BD +AB =AD ∴∠ABD=90°,BD⊥AB ∵AB∥DC, ∴BD⊥DC ∵PD⊥底面 ABCD,BD?底面 ABCD ∴BD⊥PD 又∵PD∩DC=D, ∴BD⊥平面 PDC, 又∵PC?平面 PDC, ∴BD⊥PC (Ⅱ)已知 AB=1,AD=CD=2,PD= 3 , 由(Ⅰ)可知 BD⊥平面 PDC. 如图,以 D 为坐标原点,射线 DB 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D—xyz,则 D(0,0,0),B( 3 ,0,0),C(0,2,0),P(0,0, 2 ),M(0,1,
2 2 2

(6 分)

2 ). 2

DB =( 3 ,0,0), DM =(0,1,

2 ), CP =(0,-2, 2 ), CB =( 3 ,-2,0) (7 分) 2

设平面 BDM 的法向量 m =(x,y,z),则 ?

? ?m ? DB ? 0 ? ?m ? DM ? 0
(8 分)

x=0,y+

2 z=0,令 z= 2 , ∴取 m =(0,-1, 2 ) 2

同理设平面 BPM 的法向量为 n =(a,b,c),则 ?

? ?n ? CB ? 0 ? ?n ? CP ? 0

∴ n =(

2 3 ,1, 2 ) 3

(10 分)

8

∴cos< m , n > =

?1 13 3? 3

=-

13 13

(11 分)

∴二面角 D-BM-P 的余弦值大小为

13 . 13

(12 分)

(文)解: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∠ACB=90°,∴∠DAC=90° ∵PA⊥平面 ABCD,DA?平面 ABCD,∴PA⊥DA 又∵AC⊥DA,AC∩PA=A ∴DA⊥平面 PAC (6 分) (Ⅱ)设 PD 的中点为 G,在平面 PAD 内作 GH⊥PA 于 H, 则 GH 平行且等于

1 AD. 2

(8 分)

连接 FH,则四边形 FCGH 为平行四边形, ∴GC∥FH,∵FH?平面 PAE,CG?平面 PAE??? ????∴GC∥平面 PAE,∴G 为 PD 中点时,GC∥平面 PAE. 设 S 为 AD 的中点,连结 GS,则 GS 平行且等于 ∵PA⊥平面 ABCD,∴GS⊥平面 ABCD. ∴VA-CDG=VG-ACD=

(10 分)

1 1 PA= 2 2
(12 分)

1 1 S△ACD·GS= . 3 12

19. (理)解: (Ⅰ)“从这 18 名队员中随机选出两名,两人来自于同一队”记作事件 A, 则 P( A) ?
2 C4 ? C62 ? C32 ? C52 2 ? . 2 9 C18

(5 分) (7 分)

(Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0,1,2.
2 14 2 18

2 1 1 C 91 C4 6 C4 C14 56 ? ? ∵ P(? ? 0) ? , P (? ? 1) ? , P(? ? 2) ? 2 ? , 2 153 C C18 153 153 C18

∴ ? 的分布列为:
?

0
91 153

1
56 153

2
6 153

P

(10 分) ∴ E(? ) ? 0 ?

91 56 6 4 ? 1? ? 2? ? . 153 153 153 9

(12 分)

(文)解:(Ⅰ)由频率分布表可知,样本容量为 n,由 ∴x=

2 =0.04,得 n=50 n
(4 分)

(2 分)

25 14 =0.5, y=50-3-6-25-2=14,z= =0.28 50 50

(Ⅱ)记样本中视力在(3.9,4.2]的三个人为 a,b,c,在(5.1,5.4]的 2 人为 d,e. 由题意,从 5 人中随机抽取两人,所有结果有:{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c}, {b,d},{b,e},{c,d},{c,e},共 10 种. (7 分) 设事件 A 表示 “两人的视力差的绝对值低于 0.5” , 则事件 A 包含的可能结果有: {a,b}, {a,c},{b,c},{d,e},共 4 种. (9 分)

9

P(A)=

4 2 2 = .故两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率为 . 10 5 5
2 2

(12 分)

20.(理)解: (Ⅰ)依题意,设椭圆 C 的方程为=1(a>b>0),焦距为 2c, 由题设条件知,a =8,b=c, 所以 b =

1 2 a =4 2
(4 分)

故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? =1 8 4

(Ⅱ)椭圆 C 的左准线方程为 x=-4,所以点 P 的坐标为(-4,0) , 显然直线 l 的斜率 k 存在,所以直线的方程为 y=k(x+4)。 如图,设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 MN 的 中点为 G(x0,y0),

? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 y2 ?1 ? ? 4 ?8
得(1+2k )x +16k x+32k -8=0 2 2 2 2 由?=(16k ) -4(1+2k )(32k -8)>0 解得 ?
2 2 2 2



(6 分)

2 2 <k< 2 2



(7 分)

因为 x1,x2 是方程①的两根,所以 x1+x2=

16k 2 , 1 ? 2k 2
(8 分)

于是 x0=

x1 ? x 2 4k 8k 2 =? ,y0=k(x0+4)= 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

∵x0= ?

8k 2 ≤0,所以点 G 不可能在 y 轴的右边. 1 ? 2k 2

(9 分)

又直线 F1B2,F1B1 方程分别为 y=x+2,y=-x-2 所以点 G 在正方形 Q 内(包括边界)的充要条件为

? 4k 8k 2 ?? ?2 ? ? y 0 ? x0 ? 2 1 ? 2k 2 ?1 ? 2k 2 即? ? 2 ? y 0 ? ? x 0 ? 2 ? 4k ? 8k ?2 2 ? 1 ? 2k 2 ?1 ? 2k
解得 ?

(10 分)

3 ?1 3 ?1 ≤k≤ ,此时②也成立. 2 2 3 ?1 3 ?1 , ]. 2 2

(12 分)

故直线 l 斜率的取值范围是[ ?

(13 分) (1 分)

(文)解: (Ⅰ)依题意,设圆的方程为(x-a)2+y2=16(a>0). ∵圆与 y 轴相切,∴a=4 2 2 ∴圆的方程为(x-4) +y =16 (4 分)

10

(Ⅱ)∵椭圆

4 x2 y2 ? 2 =1 的离心率为 5 25 b

∴e=

c 25 ? b 2 = 4 = 5 a 5
(6 分)

解得 b2=9 ∴c= a 2 ? b 2 =4

∴F1(-4,0),F2(4,0) (7 分) ∴F2(4,0)恰为圆心 C (8 分) (i)过 F2 作 x 轴的垂线,交圆 P1,P2,则∠P1F2F1=∠P2F2F1=90°,符合题意; (10 分) (ii)过 F1 可作圆的两条切线,分别与圆相切于点 P3,P4, 连接 CP3,CP4,则∠F1P3F2=∠F1P4F2=90°,符合题意. (12 分) 综上,圆 C 上存在 4 个点 P,使得△PF1F2 为直角三角形. (13 分) 21.(理)解: (Ⅰ)F(x)=f(x)+g(x)=lnx+
F'

a 1 a x?a (x>0), = ? 2 = 2 x x x x

∵a>0,由 F (x)>0?x∈(a,+∞),∴F(x)在(a,+∞)上是增函数. F' 由 F (x)<0?x∈(0,a),∴F(x)在(0,a)上是减函数. ∴F(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+∞). (Ⅱ)由 F (x)=
F' F'

x?a (0<x≤3)得 x2

k= F (x0)=

x0 ? a 1 1 2 ≤ (0<x0≤3)恒成立?a≥- x0 +x0 恒成立. 2 2 2 x0

1 2 1 x0 +x0 取得最大值 2 2 1 1 ∴a≥ ,a 的最小值为 . 2 2 2a 1 2 1 2 2 (Ⅲ) 若 y=g( 2 )+m-1= x +m- 的图像与 y=f(1+x )=ln(x +1)的图像恰有四个 2 2 x ?1 1 2 1 1 2 1 2 2 不同交点,即 x +m- =ln(x +1)有四个不同的根,亦即 m=ln(x +1)- x + 有四个不同的 2 2 2 2 1 1 2 2 根.令 G ( x) = ln(x +1)- x + . 2 2
∵当 x0=1 时,则 G (x)=
F'

2x 2 x ? x 3 ? x ? x ( x ? 1)( x ? 1) -x= = x2 ?1 x2 ?1 x2 ?1
F'

当 x 变化时 G (x)、G(x)的变化情况如下表: (-?,-1) (-1,0) G (x) 的符 号 G(x)的单 调性 ↗ ↘ ↗ ↘
F'

(1, (0,1) + +? ) -

+

11

1 , G(x)极大值=G(-1)=G(1)=ln2>0 2 1 1 1 画出草图和验证 G(2)=G(-2)=ln5-2+ < 可知,当 m∈( ,ln2)时,y=G(x)与 y=m 2 2 2
由上表知:G(x)极小值=G(0)= 恰有四个不同交点. ∴当 m∈(

1 2a 1 2 1 2 2 ,ln2)时,y=g( 2 )+m-1= x +m- 的图像与 y=f(1+x )=ln(x +1)的图 2 2 2 x ?1

像恰有四个不同交点. (文)解: (I)解法 1:∵h(x)=2x+

a2 +lnx,其定义域为(0,+∞), (1 分) x

a2 1 ∴h (x)=2- 2 x x
`

(3 分)
` 2

∵x=1是函数h(x)的极值点,∴h (1)=0,即3-a =0. ∵a>0,∴a= 3 . 经检验当a= 3 时,x=1是函数h(x)的极值点,∴a= 3 .
2

(5分)

解法2:∵h(x)=2x+

a +lnx,其定义域为(0,+∞), x a2 1 a2 1 ` ` 2 ∴h (x)=2- 2 - . 令h (x)=0,即2- 2 - =0,整理,得2x +x-a=0. x x x x
∵?=1+8a >0,
2 `

∴h (x)=0的两个实根x1=
`

? 1 ? 1 ? 8a 2 ? 1 ? 1 ? 8a 2 (舍去) ,x2= , 4 4

当 x 变化时,h(x),h (x)的变化情况如下表:

x h (x) h(x)
`

(0,x2) ↘

x2
0 极小值

(x2,+∞) + ↗

? 1 ? 1 ? 8a 2 2 依题意, =1,即a =3,∵a>0,∴a= 3 . 4
(Ⅱ)对任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立等价于对任意的x1,x2∈[1,e]都 有[f(x)]min≥[g(x)]max (6分) 当x∈[1,e]时,g (x)=1+
2
`

1 >0. x
(8分)

∴函数g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函数.∴[g(x)]max=g(e)=e+1. ∵f (x)=1`

a ( x ? a )( x ? a ) = ,且x∈[1,e],a>0. x2 x2
`

①当0<a<1且x∈[1,e]时,f (x)>0, ∴函数f(x)=x+

a2 在[1,e]上是增函数, x
2 2

∴[f(x)]min=f(1)=1+a ,由1+a ≥e+1,得a≥ e ,又∵0<a<1,
12

∴ a 不合题意. ②当1≤a≤e时, 若1≤x<a,则f (x)= ∴函数f(x)=x+
`

(10分)

( x ? a )( x ? a ) ( x ? a )( x ? a ) ` <0;若a<x≤e,则f (x)= >0. 2 x x2

a2 在[1,a]上是减函数,在(a,e]上是增函数. x

∴[f(x)]min=f(a)=2a.

e ?1 e ?1 ,又1≤a≤e,∴ ≤a≤e. (12分) 2 2 ( x ? a )( x ? a ) ` ③当a>e且x∈[1,e]时,f (x)= <0, x2 a2 ∴函数f(x)=x+ 在[1,e]上是减函数. x a2 a2 ∴[f(x)]min=f(e)=e+ ,由e+ ≥e+1,得a≥ e , (13分) e e e ?1 综上所述,a 的取值范围为[ ,+∞) (14 分) 2
由2a≥e+1,得a≥

13


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