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高一数学平面向量单元检测


平面向量单元测试
一、选择题: (每小题 4 分,共 40 分,请把答案填在答题卷相应位置) 1.若平面四边形 ABCD 满足 AB ? 2DC, (CD ? CA) ? AB ? 0 ,则该四边形一定是( A.矩形 B.直角梯形 C.等腰梯形 2.下列式子中(其中的 a、b、c 为平面向量) ,正确的是( A. AB ? AC ? BC C. ? (? a) ? (?

? )a(?, ? ? R) 3.已知下列命题中: (1)若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 , (2)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 (3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |?| b | ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 (4)若 a 与 b 平行,则 a b ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是( A. 0
?



D.平行四边形 )

B.a(b·c)= (a·b)c D. 0 ? AB ? 0



B. 1
?

C. 2

D. 3
? ?

4. a ? (2,1), b ? (3, 4) ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影为( A. 2 5 B. 10 C.

) D.2

5

5.在 ?OAB 中, OA =a, OB =b,M 为 OB 的中点,N 为 AB 的中点,ON,AM 交于点 P, 则 AP = ( A. ) B.-

2 1 a- b 3 3

2 1 a+ b 3 3

C.

1 2 a- b 3 3

D.-

1 2 a+ b 3 3

6.如图,半圆的直径 AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半 径 OC 上的动点,则 PA ? PB PC 的最小值为( A. 9 ;

?

?



C
P A

2

B.9;

C. ? 9 ;

2

D.-9;

O

B


7. 设 a ,b 是非零向量, 若函数 f ( x) ? ( x a ? b ) ? ( a ? x b ) 的图像是一条直线, 则必有 ( A. a ? b
? ?

? ?

?

?

?

?

B. a // b

?

?
? C. ? a = b ? D. ? a ? b

8.已知 e1,e2 为不共线的非零向量,且 e1 ? e2 ,则以下四个向量中模最小者为 ( A.

?

?

?

?



1? 1? e1 ? e2 2 2

B. e 1 ?

1? 3

2? e2 3

C.

2 ? 3? e1 ? e2 5 5

D.

1? 3? e1 ? e2 4 4

9. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, 设向量 OA ? a, OB ? b, 其中 a ? (3,1),b ? (1,3).若

OC ? ? a ? ?b, 且0 ? ? ? ? ? 1 ,C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的(



10 . 已 知 O 是 平 面 上 一 定 点 , A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

? AB AC ? ? ?, OP? OA ?? ? 则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 ( ? ??0, ??? , ? AB cosC AC cos B ? ? ?
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心



二、填空题(每小题 4 分,共 20 分,请把答案填在答题卷相应位置) 11.若向量 a, b 满足 a ? 2, b ? 2, (a ? b) ? a ,则向量 a与b 的夹角等于 12. ?ABC 的三内角 A,B,C 所对边长分别是 a, b, c ,设向量 m ? (a ? b, sin C),

n ? ( 3a ? c, sin B ? sin A) ,若 m // n ,则角 B 的大小为_____________
13.若向量 a ? (1,3),b ? ( x,?1) 的夹角为钝角,则实数 x 的取值范围为 。

14 . 已 知 在 同 一 平 面 上 的 三 个 单 位 向 量 a,b,c , 它 们 相 互 之 间 的 夹 角 均 为 120o , 且

|k a ? b ? c | ? 1,则实数 k 的取值范围是
15.给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若
o

OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是________.

三、解答题:3 小题,共 10+15+15=40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16 . 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c . 已 知 向 量

m ? (a ? c, b ? a) , n ? (a ? c, b) , 且 m ? n . (1)求角 C 的大小;

(2)若

sin A ? sin B ?

6 ,求角 A 的值。 2

a, b, c分别是 角 A、 17. 如图, 已知 O 为 ?ABC 的外心, B、 C 的对边, 且满足 CO ? AB ? BO ? CA 。

(1)推导出三边 a , b, c 之间的关系式; (2)求

tan A tan A 的值。 ? tan B tan C

C

O

A

B

? ?? ?? ?? 18.已知 ?ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且( AB )2= AB · AC + BA · BC + CA · CB . 判断 ?ABC 的形状,并求 t ? sin A ? sin B 的取值范围;

平面向量单元检测答案
一、选择题:本大题共有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 D 5 B 6 C 7 A 8 A 9 A 10 A

二、填空题:本大题共有 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11._____

? _______ 4

12.__ 15.

5 ? _______ 6
2

1 13.x<3 且 x≠ 3

14.___ k<0 或 k>2___

16. (1)由 m ? n 得 (a ? c)(a ? c) ? (b ? a)b ? 0 ; 整理得 a ? b ? c ? ab ? 0 .即 a ? b ? c ? ab ,
2 2 2 2 2 2

又 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 ab 1 ? ? ? .又因为 0 ? C ? ? ,所以 C ? . 2ab 2ab 2 3

(2)因为 C ?

?
3

,所以 A ? B ?

2? 2? , 故B ? ? A. 3 3

由 sin A ? sin B ? 即 sin A ?

6 2? 6 . , 得 sin A ? sin( ? A) ? 2 3 2

3 1 6 ,所以 3 sin A ? cos A ? 2 . cos A ? sin A ? 2 2 2 2 ? 2 即 sin( A ? ) ? .因为 0 ? A ? ? ,所以 ? ? A ? ? ? 5? , 6 2 3 6 6 6
故 A?

?

6

?

?

4

或 A?

?
6

?

? 7? 3? . 所以 A ? 或A? . 12 12 4

? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? 18.解(Ⅰ)∵ ( AB )2= AB · AC + BA · BC + CA · CB ,∴ ( AB )2= AB · ( AC + CB )+ CA · CB , ? ?? ?? ?? 即( AB )2= AB · AB + CA · CB ,即 CA · CB =0.∴△ ABC 是以 C 为直角顶点的直角三角形. π π ∴ sinA+sinB=sinA+cosA= 2sin(A+ ),A∈ (0, ) , 4 2 ∴ sinA+sinB 的取值范围为 (1, 2] .-------------------------------------------6 分


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