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2014年人教A版必修二教案 2.2.1-2.2.2直线与平面平行、平面与平面平行的判定


2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理; (2)进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力; 2.过程与方法 学生通过观察图形, 借助已有知识, 掌握直线与平面平行、 平面与平面平行的判定定理. 3.情感、态度与价值观 (1)让学生在发现中学习,增强学习的积极性; (2)让学生了解空间与平面互相转换的数学思想. (二)教学重点、难点 重点、难点:直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用. (三)教学方法 借助实物,让学生通过观察、思考、交流、讨论等理解判定定理,教师给予适当的引导、 点拔. 教学过程 教学内容 1.直线和平面平行的重要性 2.问题(1)怎样判定直线与 平面平行呢? (2) 如图, 直线 a 与平面 ? 平 行吗? 点. 师:如图,直线和平面平 新课导入 行吗? 生:不好判定. 师:直线与平面平行,可 以直接用定义来检验,但“没 有公共点”不好验证所以我们 来寻找比较实用又便于验证 的判定定理. 一.直线和平面平行的判定 探索新知 1.问题 2: 教师做实验,学生观察并 思考问题. 生:平行 通 过 实 验,加深 理解 . 通过 复习巩固 点出主题 师生互动 教 师讲述 直线和 平面 的 重要性并提出问题:怎样判定 直线与平面平行? 生:直线和平面没有公共 设计意图

如图,将一本书平放在桌面上,翻 动收的封面,封面边缘 AB 所在直 线与桌面所在平面具有什么样的 位置关系? 2.问题 3: 如图, 如果在平面

师:问题 2 与问题 1 有什 么区别?

讨论,培 养学生分

生:问题 2 增加了条件: 析 问 题 的 平面外. 直线平行于平面内直 线. 师投影问题 3, 学生讨论、 交流教师引导,要讨论直线 a 与平面 ? 有没有公共点,可转 化为下面两个问题: (1)这两 条直线是否共面?(2)直线 a 与平面 ? 是否相交? 生 1:直线 a∥直线 b,所 以 a、b 共面. 能力.

? 内有直线 b 与
直线 a 平行, 那么 直线 a 与平面 ? 的位置关系如何? 是否可以保证直线 a 与平面 ? 平 行? 2 .直线和平面平行的判定定 理. 平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行,则该直线与此平 面平行. 符号表示:
a ??? ? b???? a ? a b ? ?

生 2:设 a、b 确定一个平 面 ? ,且 ?
? ? A ,则 A 为
?, ? 的 公 共 点 , 又 b 为 面

? 与? 的公共直线, 所以 A∈b,

即 a b = A,但 a∥b 矛盾 ∴直线 a 与平面 ? 不相 交. 师:根据刚才分析,我们 得出以下定理??? 师:定理告诉我们,可以 通过直线间的平行,推证直线 与平面平行 . 这是处理空间位 置关系一种常用方法,即将直 线与平面平行关系(空间问 题)转化为直线间平行关系 (平面问题). 画 龙 点 睛,加深 对知识理 解完善知 识结构.

例 1 已知: 空 间四边形 ABCD, E、F 分别是 AB、 典例分析 AD 的中点. 求证 EF∥平面 BCD.

师:下面我们来看一个例 子(投影例 1)

启发学生 思维,培

师:EF 在面 BCD 外,要 养 学 生 运 证 EF∥面 BCD, 只要证明 EF 与面 BCD 内一条直线平行即 用知识分 析问题、

证明:连结 BD.在△ABD 中, 可,EF 与面 BCD 内哪一条直 解 决 问 题 线平行? 的能力.

因为 E、F 分别是 AB、AD 的 中点, 所以 EF∥BD. 又因为 BD 是平面 ABD 与平面 BCD 的交线, EF ? 平面 BCD, 所以 EF∥平面 BCD. 二.平面与平面平行的判定 例 2 给定下列条件 ①两个平面不相交 ②两个平面没有公共点 ③一个平面内所有直线都平 行于另一个平面 ④一个平面内有一条直线平 行于另一个平面 ⑤一个平面内有两条直线平 行于另一个平面 以上条件能判断两个平面平 探索新知 行的有 ①②③ 2 .平面与平面平行的判定定 理: 一个平面内的两条相交直线 与另一个平面平行,则这两个平面 平行符号表示:
a ? ? , b ? ? , a b ? p, a ? ? ? ?

生:连结 BD,BD 即所求

师:你能证明吗? 学生分析,教师板书

教师投影例 2 并读题,学 生先独立思考,再讨论最后回 答. 生:由两个平面的位置关 系知①正确;由两个平面平行 的定义知②③正确;两个平面 相交,其中一个平面内有无数 条直线与另一个平面平行,故 ④⑤错误,选①②③ 师(表扬) ,如果将条件 ⑤改为两条相交直线呢? 如 图, 借助 长方体 模型, 平 面 ABCD 内两条相交直线 AC, BD 分别与平面 A′B′C′D′内两 条相交直线 A′C′,B′D′平行, 由直线与平面平行的判定定 理可知,这两条直交直线 AC, BD 都与平面 A′B′C′D′平行.此 时,平面 ABCD 平行于平面 A′B′C′D′. 一方面复 习巩固已 学知识, 另一方面 通过开放 性题目培 养学生探 索知识的 积极性.

借助模型 解决,一 方面起到 示 范 作 用,另一 方面给学 生直观感 受,有利 定理的掌 握.

例 3 已知正方 体 ABCD –A1B1C1D1 证: 平面 AB1D1∥平 典例分析 面 C1BD. 证明: 因为 ABCD – A1B1C1D1 为正方体, 所以 D1C1∥A1B1, D1C1 = A1B1

教师投影例题 3,并读题 师:根据面面平行的判定 定理, 结论可转化为证面 AB1D 内有两条相交直线平行于面 C1BD, 不妨取直线 D1A、 D1B1, 而要证 D1A∥面 C1BD, 证 AD1 ∥BC1 即可,怎样证明? 巩 固 知 识,培养 学生转化 化归能力

又 AB∥A1B1,AB = A1B1 所以 D1C1BA 为平行四边形. 所以 D1A∥C1B. 又 D1 A ? 平面 C1BD,C1 B ? 平 面 C1BD 由直线与平面平行的判定定 理得 D1A∥平面 C1BD 同理 D1B1∥平面 C1BD 又 D1 A D1 B1 ? D1 所以 平面 AB1D1∥平面 C1BD. 点评:线线平行 ? 线面平行 ? 面 面平行. 1 . 如 图 , 长 方 体 ABCD – A′B′C′D′ 中,

学生分析,老师板书,然 后师生共同归纳总结.

学生独立完成 答案: 1. ( 1 )面 A′B′C′D′ ,面 CC′DD′; (2)面 DD′C′C,面 BB′C′C; (3)面 A′D′B′C′,面 BB′C′C.

(1) 与 AB 平行的平面是 (2) 与 AA′ 平行的平面是 (3)与 AD 平行的平面是

. . .

2.直线 BD1∥面 AEC. 3. (1)命题不正确; (2)命题正确. 4 .提示:容易证明 MN ∥EF,NA∥EB,进而可证平 面 AMN∥平面 EFDB. 5.D 巩固所 学知识

2.如图,正方体,E 为 DD1 随堂练习 的中点,试判断 BD1 与平面 AEC 的位置关系并说明理由.

3 .判断下列命题是否正确, 正确的说明理由,错误的举例说 明:
? 和直线 m, (1) 已知平面 ? ,

n , 若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则
? // ? ;

( 2 )一个平面 ? 内两条不平 行直线都平行于另一平面 ? ,则
? // ? ;

4 . 如 图 , 正 方 体 ABCD – A1B1C1D1 中,M,N,E,F 分别是 棱 A1B1, A1D1, B1C1, C1D1 的中点. 求证:平面 AMN∥平面 EFDB.

5.平面 ? 与平面 ? 平行的条 件可以是(
? 平行.



A. ? 内有无穷多条直线都与 B.直线 a∥ ? ,a∥ ? ,E 且 直线 a 不在 ? 内,也不在 ? 内. C.直线 a ? ? ,直线 b ? ? , 且 a∥? ,b∥? D. ? 内的任何直线都与 ? 平 行. 1.直线与平面平行的判定 2.平面与平面平行的判定 归纳总结 3. 面面平行 ? 线面平行 ? 线 线平行 4.借助模型理解与解题 反思、归 纳所学知 学生归纳、总结、教师点 识 , 提 高 评完善 自我整合 知识的能 力. 作业 2.2 第一课时 习案 学生独立完成 固化知识 提升能力

备选例题
例1 在正方体 ABCD – A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC、C1D1

的中点.求证:EF∥平面 BB1D1D.

【证明】连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE,则 OE∥DC,OE = ∵DC∥D1C1,DC = D1C1,F 为 D1C1 的中点, ∴ OE∥D1F,OE = D1F,四边形 D1FEO 为平行四边形. ∴EF∥D1O. 又∵EF ? 平面 BB1D1D,D1O ? 平面 BB1D1D, ∴EF∥平面 BB1D1D.

1 DC . 2

例 2 已知四棱锥 P – ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形.点 M、N、Q 分别在 PA、 BD、PD 上,且 PM : MA = BN : ND = PQ : QD.求证:平面 MNQ∥平面 PBC. 【证明】∵PM∶ MA = BN∶ND = PQ∶ QD. ∴MQ∥AD,NQ∥BP, 而 BP ? 平面 PBC,NQ ? 平面 PBC,∴NQ∥平面 PBC. 又∵ABCD 为平行四边形,BC∥AD, ∴MQ∥BC, 而 BC ? 平面 PBC,MQ ? 平面 PBC, ∴MQ∥平面 PBC. 由 MQ∩NQ = Q,根据平面与平面平行的判定定理, ∴平面 MNQ∥平面 PBC. 【评析】由比例线段得到线线平行,依据线面平行的判定定理得到线面平行,证得两条 相交直线平行于一个平面后,转化为面面平行.一般证“面面平面”问题最终转化为证线与 线的平行.


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