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河北正定中学2015-2016学年高二上学期第一次联考数学试题


第一学期高二年级第一次联考 数学试卷 试卷Ⅰ(共 60 分) 一、选择题(本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ,每题5分,共60分) 1. sin 20 cos10 ? cos160 sin10
o o o o

=

A. ?

3 2

B.

3 2


C. ?

1 2

D.

1 2

2. 某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了 解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为 7 人, 则样本容量为

A .7

B . 15

C .25

D .35

3.正定中学教学处采用系统抽样方法,从学校高三年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做学习 状况问卷调查。现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,在 1 ~ 16 中随机 抽取一个数,如果抽到的是 7,则从 41 ~ 56 中应取的数是

A .47

B .48

C .54

D .55

4. 等差数列 ?an ? 中, 3(a3 ? a5 ) ? 2(a7 ? a10 ? a13 ) ? 24 ,则该数列前 13 项的和是

A . 13
围 [13,17) 的频数是

B . 26

C .52

D . 156

5. 如图是一个容量为 200 的样本频率分布直方图,则样本数据落在范

A . 81

B . 36

C . 24

D . 12

? y ? 1, ? 6. 若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
值为

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

7. 若一个样本容量为 8 的样本的平均数为 5 ,方差为 2 .现样本中 又加入一个新数据 5 , 此时样本容量为 9 , 平均数为 x , 方差为 s , 则
2

A . x ? 5, s 2 ? 2

B . x ? 5, s 2 ? 2

C . x ? 5, s 2 ? 2

D . x ? 5, s 2 ? 2

8.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是

A. 4

B .5

C. 6

D. 7
?

9.连续掷两次骰子分别得到点数 m, n ,则向量 ?m, n ? 与向量 ?? 1,1? 的夹角 ? ? 90 的概率是

A.

1 3

B.

5 12

C.

1 2

D.

7 12

10. f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? 2cos2 x ? m 在 ? 0,

? ?? 上有零点,则 m 的取值范围为 ? 2? ?
D . ?1, 2 ? 2 ? ? ?

A . ?1,3? B . ? ?1, 2?

C . ? ?1, 2 ? 2 ? ? ?

11.已知三棱锥 A ? BCD 内接于球 O , AB ? AD ? AC ? BD ? 3 , ?BCD ? 60? , 则球 O 的表面积为

3 A. ? 2

B . 2?

C . 3?
2 2

9 D. ? 2

12.已知点 P ( x, y ) 满足 x ? y ? 2 , 则满足到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离 d ? ?1,3? 的点 P 概 率为

A.

1 1 ? 2 ?

B.

1 1 ? 2 ?

C.

1 1 ? 4 2?

D.

1 1 ? 4 2?

试卷 Ⅱ(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a ? (2,0),| b |? 1 ,则

? ? | a ? 2b | 等于
14. 右图为甲、 乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶 图,则甲和乙得分的中位数的和是________ 15. ?ABC 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c , 已 知

a 2 ? c 2 ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 则 b ? _______
16.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为_______ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) ? sin x cos( x ? (1)求函数 f ( x) 的最大值;

?
6

)?

1 cos 2 x. 2

(2)已知 ?ABC 的面积为 3 ,且角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若f ( A) ? 的值. 18.(本小题满分 12 分)

1 , b ? c ? 5, 求 a 2

某校在一次期末数学测试中,为统计学生的考试情况,从学校的 2000 名学生中随机抽取 50 名学生的考试成绩,被测学生成绩全部介于 60 分到 140 分之间(满分 150 分),将统计结果按 如下方式分成八组:第一组,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. (1)求第七组的频率,并完成频率分布直方图; (2)估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分和方差(可用中值代替各组数据平均值); (3)若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机 抽取 2 名,求他们的分差小于 10 分的概率.

19. (本小题满分 12 分) 某种产品的广告费支出 x 与销售额(单位:百万元)之间有如下对应数据:

x y

2 30

4 40

5 50

6 60

8 70

如果 y 与 x 之间具有线性相关关系. (1) 求这些数据的线性回归方程; (2)预测当广告费支出为 9 百万元时的销售额.

?? ? ?a ? 中, b 附:线性回归方程 ? y ? bx

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? ? y ? bx ? , ,a

20. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1. (1)设集合 P ? {1, 2,3} 和 Q ? {?1,1, 2,3, 4} ,分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和

b ,求函数 y ? f ( x) 在区间[ 1,??) 上是增函数的概率;

?x ? y ? 8 ? 0 ? (2)设点 ( a, b) 是区域 ? x ? 0 内的随机点,求函数 y ? f ( x)在区间 [1,??) 上是增函 ?y ? 0 ?
数的概率.

21.(本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,

PA ? AD ? 1, E, F 分别为 PD, AC 的中点。
(1)求证: EF // 平面 PAB ; (2)求直线 EF 与平面 ABE 所成角的大小。

22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 12x ? 32 ? 0 的圆心为 Q ,过点 P(0, 2) 且
2 2

斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A, B . (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k ,使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在, 请说明理由.

??? ? ??? ?

??? ?

2015—2016 学年度第一学期第一次月考 高二年级数学试卷参考答案 一、选择题 DBDBC 二、填空题 三、解答题 17.解:(1) f ( x ) ? sin x ? 13.3 CAABD DB

14.58 15.4 16.

10 3

? 3 ? 1 1 3 1 cos x ? sin x ? ? cos 2 x ? ? sin x cos x ? cos 2 x 2 2 2 2 ? 2 ?

?

? 1 1 ? 1? 3 1 ?? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? .……………………………4 分 ? 2? 2 2 6? 4 ? 4 2 ?

∴函数 f ( x) 的最大值为 (2)由题意 f ( A) ?

3 .……………………………………………5 分 4

? 1 1 ? ?? 1 1 sin ? 2 A ? ? ? ? ,化简得 sin(2 A ? ) ? . 6 2 2 ? 6? 4 2
? ? 13? ? 5? ?( , ) , ∴ 2A ? ? , 6 6 6 6 6

? A ? ?0, ? ? ,? 2 A ?
∴A?

?
3

. ……………………………7 分



?ABC 中,根据余弦定理,得 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 13.
所以 a ? 13 …………………………………………………10 分 18、 (本小题满分 12 分) 考查频率分布直方图和概率。 (1)由频率分布直方图知第七组的频率 f7=1-(0.004+0.012+0.016+0.03+0.02+0.006+0.004)×10=0.08.直方图如图. --2分 (2)估计该校的 2 000 名学生这次考试的平均成绩为: 65×0.04+75×0.12+85×0.16+95×0.3+105×0.2+1 15×0.06+125×0.08+135×0.04 =97(分). ---------- 5 分

s 2 ? 276 ----------8 分
(3)第六组有学生 3 人,分别记作 A1,A2,A3,第一组有学生 2 人,分别记作 B1,B2,则从中 任取 2 人的所有基本事件为(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A1,

A2),(A1,A3),(A2,A3),(B1,B2),共 10 个.分差大于 10 分表示所选 2 人来自不同组,其基 本事件有 6 个:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),所以从中任意 抽取 2 人, 分差小于 10 分的概率 P=

4 2 = 。 10 5
5 5 2

------------------- 12 分

19.解:(1) x =5, y =50, ?xiyi=1 390, ?xi=145,
i=1 i=1
z

?xiyi-5 x
^
i=1

5

·y ^ - ^- =7, a= y -b x =15, ∴线性回归方程

P

b=
2 i-5 x ?x2 5



M

E

i=1
A N F B x C H D y

^ 为y=7x+15. ^ (2)当 x=9 时,y=78. 即当广告费支出为 9 百万元时,销售额为 78 百万元.
2 20.解(1)∵函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为 x ?

2b , a

要使 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1 在区间 [1,??) 上为增函数,
2

当且仅当 a >0 且

2b ? 1, 即2b ? a ……………………2 分 a

若 a =1 则 b =-1, 若 a =2 则 b =-1,1 若 a =3 则 b =-1,1, ; ………………4 分

∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5 ∴所求事件的概率为
5 1 ? 15 3

………………6 分

(2)由(1)知当且仅当 2b ? a 且 a >0 时, 函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1在区是间 [1,??) 上为增函数,
2

? ?a ? b ? 8 ? 0 ? ? ? ? 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 ?(a, b) | ?a ? 0 ? ? ?b ? 0 ? ? ? ?
构成所求事件的区域为三角形部分。 ………………8 分

?a ? b ? 8 ? 0 16 8 ? 由? 得交点坐标为 ( , ), ………………10 分 a 3 3 b? ? 2 ?

1 8 ?8? 3 ? 1 ………………12 分 ∴所求事件的概率为 P ? 2 1 3 ?8?8 2
21. (1)分别取 PA 和 AB 中点 M 、 连接 MN 、 则 NF ∥ N, NF , ME 、 所以 NF ∥ ME ,

1 1 = 2 AD , = 2 AD , ME∥

=

? 四边形 MEFN 为平行四边形.

-------------2 - -----4

? EF∥MN ,又 EF ? 平面PAB, MN ? 平面PAB, ? EF ∥ 平面PAB .

(2) 由已知得,底面 ABCD 为正方形,侧棱 PA ⊥底面 ABCD ,所以 AP,AB, AD 两两 垂直. 如图所示,以 A 为坐标原点,分别以 AB, AD, AP 为 x轴,y轴,z轴 的正方向,建立空间直角 坐 标 系

A? x

y , z





P(0, 0, 1), A(0, 0, 0, ), B(1,0,0), C(11 , , 0), D(0, 1, 0)

,

??? ? ? ??? ? 1 1 1 ??? 1 1 1 1 1 0, 0) ,- -------6 E (0,, ), F ( ,, 0) ,所以, EF ? ( , 0, ? ) , AE ? (0, , ), AB ? (1, 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ??? ? ? ??? ? 设平面 ABE 法向量 n ? (a, b, c) , n?AE ? 0, n?AB ? 0,

1 ?1 ? b? c ?0 所以 ? 2 令 b ? 1, 则a ? 0, c ? ?1 2 ? ?a ? 0
所以 n ? (0,1, ?1) 为平面 ABE 的一个法向量 设直线 EF 与平面 ABE 所成角为 ? ,

?

-------8

??? ? ? ??? ? ? EF ?n 1 于是 sin ? ? cos ? EF , n ? ? ??? ? ? ? .-------------10 EF n 2
所以直线 EF 与平面 ABE 所成角为

? . -------------12 6

解法 2 在平面 PAD 内作 EH ∥ PA于H , 因为侧棱 PA ⊥底面 ABCD ,

所以 EH ⊥底面 ABCD . -------------6

E 为 PD 的中点, EH ?

1 1 1 1 , S? ABF ? ? 1? ? 2 2 2 4
-------------8

1 1 1 1 1 VE ? ABF ? S? ABF ?EH ? ? ? ? 3 3 4 2 24
设点 F 到平面 ABE 的距离为 h

1 1 2 2 VE ? ABF ? VF ? ABE , S? ABE ? ? AB ? AE ? ?1? ? 2 2 2 4
1 1 2 S? ABF ?EH ? S? ABE ?h , h ? . 3 3 4
设直线 EF 与平面 ABE 所成角为 ? , -------------10

sin ? ?

? h 1 ? ,所以直线 EF 与平面 ABE 所成角为 . 6 EF 2

-------------12

22.试题解析: (1)圆的方程可化为 ( x-6)2+y 2=4 ,可得圆心为 Q(6, 0) ,半径为 2. 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 .直线 l 与圆 ( x-6)2+y 2=4 交于两个不同的点 A,B 等价于

d=

6k ? 2 k 2 ?1

< 2,化简得 (?8k 2 ? 6k ) ? 0 ,解得 ?

3 3 ? ? k ? 0 ,即 k 的取值范围为 ? ? ,0? . ? 4 ? 4 ?

(2)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,则 OA + OB = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 由?

??? ?

??? ?

? ? y ? kx ? 2 2 2 ? ?? x ? 6 ? ? y ? 4

得 (k 2+ 1) x2+4(k-3) x+36=0 ,

则 x1 ? x2 ? -

4( k ? 3) ,① k 2 ?1

又 y1+y2=k ( x1+x2 )+4 .② 而 P ? 0, 2?,Q ? 6,0? , PQ = ? 6, ?2 ? . 所 以 OA + OB 与 PQ 共 线 等 价 于 ?2( x1+x 2 ) =6 ( y+ 1 y ) 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

,将①②代入上式,解得

3 3 ? k ? ? .由(2)知 k ? ? ? , 0 ? ,故没有符合题意的常数 k . ? 4 ? 4 ?


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