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高一数学试卷(全级)


高一数学试卷(全级)
班级 一.选择题 1.集合 A ? {x | y ? A. [1, ??) 姓名 座号

x ?1}, B= { y | y ? x 2 ? 2} ,则 A B 等于(
B. (1, ??) C. [2, ??) D. (0, ??)



2 .已知函数 y ? g ( x)

的图象与函数 y ? 3x 的图象关于直线 y ? x 对称,则 g (2) 的值为 ( )A.9 B. 3
?2

C. 2

D. log3 2 )

3. a ? ( )

1 2

0. 3

, b ? 0.3 , c ? log 1 3 ,则 a 、 b 、 c 的大小关系是(
2

A. b ? a ? c

B. c ? b ? a
x

C. a ? c ? b

D. a ? b ? c )

4.如果 a>1,b<-1,那么函数 f ( x) ? a ? b 的图象在( A.第一、二、三象限 C.第二、三、四象限 B.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限 ) C. y ? x 2

5.下列函数中有两个不同零点的是( A. y ? lg x 6. 设函数 f ( x) ? ? B. y ? 2 x

D. y ? x ? 1

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是 ? x ? 6, x ? 0
B. (?3,1) ? (2,??) D. (??,?3) ? (1,3)

A. (?3,1) ? (3,??) C. (?1,1) ? (3,??)

2 7. 设函数 f ( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1) , 若 f( 则 f( xx1 2... x0 x 12 ) ? f( x ) f x ) 20 1 0 2) 8 ? , 2 .. ? ( ? 1 0 2

的值等于(

)A.4

B.8

C.16

D. 2loga 8

+?) 上递增, 若 f ( ) ? 0 , f (log 1 x) ? 0 那么 x 的取 8.设 f ( x) 是 R 上的偶函数, 且在 [0,
4

1 2

值范围是( ) A. x ? 2或

1 ? x ?1 2

B.

1 ?x?2 2

C.

1 ? x ?1 2

D. x ? 2

2 9. f ( x ) 在 (?1,1) 上既是奇函数,又为减函数. 若 f (1 ? t ) ? f (1 ? t ) ? 0 ,则 t 的取值范围

是(

)A. t ? 1或t ? ?2

B.1 ? t ? 2 1

C. ?2 ? t ? 1

D. t ? 1或t ? 2

10. 已知函数 f ( x ) ? lg x ? ( ) 有两个零点 x1 , x 2 ,则有(
x

1 2



A. x1 x2 ? 0 二.填空题 11. 若 log a

B. x1 x2 ? 1

C. x1 x2 ? 1

D.

0 ? x1 x2 ? 1

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是 3



12. 已知 a ? 0且a ? 1 ,函数 y ? loga ( x ? 1) ? 2 的图象恒过定点 P , 若 P 在幂函数

f ? x ? 的图象上,则 f ?8? ?
13.规定记号“ 数 f ( x) ? k?x 的值域是 14. 下列几个命题:
2



”表示一种运算,即 a?b ? 。

ab ? a ? b, a、b ? R ? . 若 1?k ? 3 ,则函

①方程 x ? (a ? 3) x ? a ? 0 的有一个正实根,一个负实根,则 a ? 0 。 ②函数 y ?

x2 ?1 ? 1? x2 是偶函数,但不是奇函数。

③函数 f ( x) 的值域是 [?2, 2] ,则函数 f ( x ? 1) 的值域为 [?3,1] 。
2 ④一条曲线 y ?| 3 ? x | 和直线 y ? a (a ? R) 的公共点个数是 m ,则 m 的值不可能是 1。

⑤函数 f ( x) ? lg(5 ? 4 x ? x ) 的单调递增区间为 ( ??, 2]
2

其中正确的有 三、解答题
2



15、计算(1) (2 ? e) ? e ? e

3

9 2

?

3 2

7 3 ? (2 ) ?0.5 ? ? 0 9 5
log2 3

(2) log3 18 ? log3 2 ? log2 9 ? log3 4 ? 2

x 16. 已 知 函 数 f ( x) ? b ? a , ( 其 中 a, b 为 常 数 且 a ? 0 且 a ? 1 ) 的 图 象 经 过 点

A ( 1,6),( B 3, 24) (1)求 f ( x) 的解析式

2

(2)若不等式 ( ) ? ( ) ? 1 ? 2m ? 0 在 x ? (??,1] 上恒成立,求实数 m 的取值范围。
x x

1 a

1 b

17. 已知 m ? R ,函数 f ( x) ? m( x2 ?1) ? x ? a 。 (1) f ( x) 恒有零点,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 0 时, f ( x) 在(2, ??) 上单调,求 m 的取值范围。

18. 设函数 f ( x) ? ka ? a (a ? 0且a ? 1) 是奇函数.
x

?x

(1)求常数 k 的值; (2)若 0 ? a ? 1 , f ( x ? 2) ? f (3 ? 2 x) ? 0 ,求 x 的取值范围;

1 ) ? (3) 若 f(
的值。

8 2x ?2 x , 且函数 g ( x) ? a ? a ? 2mf ( x) 在 [1, ??) 上的最小值为 ?2 , 求m 3

19.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别是 1 万件、1.2 万件、1.3 万件, 为了估测以后每个月的产量, 以这三个月的产品数量为依据, 用一个函数模拟该产品的月产 量 y 与月份 x 的关系, 模拟函数可以选用二次函数或函数 y ? a ? b ? c (其中 a , b, c 为常数)
x

3

已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用以上哪个函数作为模拟 函数较好,并说明理 由。

20. 已知指数函数 y ? g ( x) 满足: g (2) ? 4 ,定义域为 R 上的函数 f ( x) ? 奇函数. (Ⅰ )求 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)判断 y ? f ( x) 在 R 上的单调性并用单调性定义证明; (Ⅲ)若方程 f ( x ) ? b 在 ( ?? , 0) 上有解,试证: ?1 ? 3 f (b) ? 0 .

? g ( x) ? n 是 g ( x) ? m

4

答案:1、C 2、D 3、A 4、B 5、D 6、A 7、C 8、B 9、B 10、D 11、 {a

2 ? a ? 1} 3

12、 2 2
9 3

13、 (1,??)
1 1

14、①④

15、解:(1)原式=| 2 ? e |- (e 2 ? e 2 ) 3 ? (
9 3 1 ? 2 2 3 1

?

25 ? 2 3 ) ? 9 5

………2 分

= e ? 2 - (e =e ? 2-e ? =-2

9 3 ) ? ( )2 ? 25 5

………4 分 ………5 分 ………6 分 ………2 分 ………4 分 ………5 分 ………6 分

3 3 ? 5 5

(2)原式= (log3 18 ? log3 2) ? log2 32 ? log3 22 ? 3 = log 3
18 ? 2 ? 2 log 2 3 ? log 3 2 ? 3 2

= 2 ? 2? 2 ? 3 =1

? a ?b ? 6 ? a ? 2, b ? 3,? f ( x) ? 3 ? 2 x ? 3 b ? a ? 24 16.(12 分) (1)由题意得 ? ????5 分
1 1 1 1 (2)设 g ( x ) ? ( )x ? ( )x ? ( )x ? ( )x ,则 y ? g ( x) 在 R 上为减函数(可以不证 a b 2 3 明)
????7 分

? 当 x ? 1 时 g min ( x) ? g (1) ?

5 ????9 分 6

1 1 5 11 ? ( ) x ? ( ) x ? 1 ? 2m ? 0 在 x ? ? ??,1? 上恒成立,即 2m ? 1 ? ? m ? 6 12 a b 11 ? m 的取值范围为: m ? 12
????12 分 17 解: (14 分)(Ⅰ)当 m ? 0 时, f ( x) ? x ? a 是一次函数,它的图象恒与 x 轴相交,此时

a?R
………..2 分
2 当 m ? 0 时 , 由 题 意 知 , 方 程 mx ? x ? (m ? a) ? 0 恒 有 两 实 数 解 , 其 充 要 条 件 是

? ? 1 ? 4m(m ? a) ? 4m2 ? 4am ? 1 ? 0
又只需 ? ? (4a) ?16 ? 0 ,解得 ?1 ? a ? 1 ,即 a ?[?1,1]
' 2

………..4 分 ………..6 分

5

∴当 m ? 0 时, a ? R ;当 m ? 0 时, a ?[?1,1]

…………7 分

(Ⅱ) 当 m ? 0 时, f ( x) ? x 是一次函数,满足在 x ? (2, ??) 上是单调函数。………9 分

?m ? 0 ?m ? 0 ? ? 当 m ? 0 时,要使 f ( x) 在 x ? (2, ??) 上是单调函数,只须 ? 1 或? 1 ,解得 ? ? 2 ?? ?2 ? ? 2m ? 2m
m ? 0或m ? ? 1 4
………13 分

综上得,满足条件的 m 的取值范围是 ?m m ? 0或m ? ? ?

? ?

1? 4?

………14 分

18. (14 分)解: (1)

f ( x) 是奇函数,? f (0) ? 0,? k ? 1 ? 0,? k ? 1
??????2 分

经验证可知 k ? 1 时符合题意。 (2)

f ( x) 是奇函数,故 f ( x ? 2) ? f (3 ? 2 x) ? 0 可化为 f ( x ? 2) ? f (2 x ? 3)
??????4 分

0 ? a ? 1 ,? f ( x) 在 R 上是单调函数

? x ? 2 ? 2 x ? 3,? x ? 5

x 的取值范围是: (5, ??) ??????6 分
8 1 8 f (1) ? ,? a ? ? , 即 3a 2 ? 8a ? 3 ? 0 3 a 3 1 ? a ? 3(a ? ? 舍去) ??????8 分 3
(3)

? g ( x) ? 32 x ? 3?2 x ? 2m(3x ? 3? x ) ? (3x ? 3? x )2 ? 2m(3x ? 3? x ) ? 2 ??????10 分
令 t ? (3 ? 3 ),
x ?x

x ? 1,? t ? f (1) ?

8 3

??????11 分

?(3x ? 3? x )2 ? 2m(3x ? 3? x ) ? 2 ? (t ? m)2 ? 2 ? m2 ??????12 分
8 8 2 时, 2 ? m ? 2, m ? 2, 2 ? , 故 m ? 2 应舍去??????13 分 3 3 8 8 2 8 25 8 ? 当 m ? 时, ( ) ? 2m ? ? 2 ? ?2, m ? 3 3 3 12 3 25 综上, m ? ??????14 分 12 19、解:根据题意,该产品的月产量 y 是月份 x 的函数,可供选用的函数有两种,其中哪一
当m ? 种函数确定的 4 月份该产品的产量愈接近于 1.37 万件,哪种函数作为模拟函数就较好,故 应 先 确 定 出 这 两 个 函 数 的 具 体 解 析 式 设 y1 ? f ( x) ? px ? qx ? r ( p, q, r 为 常 数 , 且
2

6

? ab ? c ? 1, ? p ? q ? r ? 1, ? ? p ? 0) , y2 ? g ( x) ? a ? b ? c , 根 据 已 知 , 得 ?4 p ? 2q ? r ? 1.2, 或 ?ab2 ? c ? 1.2, ? ab3 ? c ? 1.3, ?9 p ? 3q ? r ? 1.3, ? ?
x

? p ? ?0.05, q ? 0.35, r ? 0.7; a ? ?0.8, b ? 0.5, c ? 1.4,

? f ( x) ? ?0.05x 2 ? 0.35x ? 0.7.g ( x) ? ?0.8 ? 0.5 x ? 1.4 ,? f (4) ? 1.3, g (4) ? 1.35
显然 g (4) 更接近于 1.37,故选用 y ? ?0.8 ? 0.5 x ? 1.4 作为模拟函数较好。 20、解: (1) 设 g ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) ,由 g (2) ? 4 得 a ? 2 ,故 g ( x) ? 2 x ,?2 分 由题意 f ( x) ?

? g ( x) ? n ? 2 x ? n ? x g ( x) ? m 2 ?m
????3 分

因为 f ( x) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) =0,得 n ? 1 ∴ f ( x) ?

? 2x ?1 1? 2x m ? 1 f ( x ) ? , 又由 f ( 1 ) = -f ( -1 )知 ∴ ??5 分 2x ? m 1? 2x
????6 分

(2) f ( x) 是 R 上的单调减函数。 证明:设 x1 ? R, x2 ? R 且 x1 ? x 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
x

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 2(2 x2 ? 2 x1 ) ? ? 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )
x1

因为 y ? 2 为 R 上的单调增函数且 x1 ? x 2 ,故 2 又1 ? 2
x1

? 2 x2 ,

? 0 , 1 ? 2 x2 ? 0 故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
????9 分

所以 f ( x) 是 R 上的单调减函数 (3)方程 f ( x ) ? b 在 ( ?? , 0) 上有解,即

2 ? 1 ? b 在 ( ?? , 0) 上有解。 2 ?1
x

x ? (??,0) ? 2 x ? (0,1),

2 ? 1 ? (0,1) 从而 b ? (0,1) ----------12 分 2 ?1 f ( x ) 在 R 上是减函数,? f (1) ? f (b) ? f (0),
x

即?

1 ? f (b ) ? 0, 从而 ?1 ? 3 f (b) ? 0 。………………………………14 分 3

7


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