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第二、三章导数及其应用测试题及答案


学校:石油中学

命题人: 齐宗锁

(第二、三章) 第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 2 1.函数 y=x cosx 的导数为( ) 2 2 (A) y′=2xcosx-x sinx (B) y′=2xcosx+x sinx 2 2 (C) y′=x cosx-2xsinx (D) y′=xcosx-x sinx 2.下列结论中正确的是( ) (A)导数为零的点一定是极值点 (B)如果在 (C)如果在 (D)如果在
x0 x0 x0 f (x0 ) 附近的左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧 f ' ( x ) ? 0 ,那么 是极大值 f (x0 ) 附近的左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧 f ' ( x ) ? 0 ,那么 是极小值 f (x0 ) 附近的左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧 f ' ( x ) ? 0 ,那么 是极大值
3

3.过曲线 y

? x ? x ? 2 上的点 P0

的切线平行于直线 y

? 4 x ? 1 ,则切点 P 0

的坐标为( )

A. (0,-1)或(1,0) C. (0,-2)或(-1,-4)

B. (1,0)或(-1,-4) D. (2,8)或(1,0)

4.下列结论中 ①若 y ? ? cos x ,则 y ? ? ③若 y
? f (x) ? 1 x
2

? sin x

;② 若 f ( x )

?

1 x

,则 y? ? ?

1 2x x



, 则 f ?( 3 ) ? ?

2 27

;正确的个数为( 2 D. 3



A . 0

B.

1

C.

5.如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm, 为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处,则克服弹力所做的功为( ) (A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J 6.函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=( A.
1 8
2

)

B.

1 4

C.

1 2

D..1

7.设 f ( x ) 在 x A. 2 f ?( 2 )

? 2 处有导数,则 lim

f (2 ? ? x) ? f (2 ? ?x) 2?x

?x? 0

?





B. 1
2
1 x

f ?( 2 )

C. f ? ( 2 )

D. 4 f ? ( 2 )

8.曲线 y ? e 2 在点 P ( 4 , e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )

A. 9 e 2
2

B. 4 e 2

C. 2 e 2

D. e 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)
一、选择题: 题号 答案 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上 3 2 9.曲线 y=2x -3x 共有____个极值. 10.已知 f ( x ) ? ( x ? 1)( x ? 2 )( x ? 3 )( x ? 4 )( x ? 5 ) 则 f ? (1) ? 11. 求曲线 y ? ln( 2 x ? 1) 上的点到直线 l: x ? y ? 3 ? 0 的最短距离。 2 12. y
x x ? x ? s in · c o s 2 2

1

2

3

4

5

6

7

8

的导数

; 时, x
?

13.已知 y

?

sin x 1 ? cos x

, x ? ( ? π , π ) ,当 y ? ? 2
2


? ?3x ? 7

14.已知抛物线 y

? ax

? bx ? 5

在点(2,1)处的切线方程为 y

,则 a ?



。 b ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)一物体沿直线以速度 v ( t ) ? 2 t ? 3 ( t 的单位为:秒, v 的单位为:米/ 秒)的速度作变速直线运动,求该物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程?

16. (本小题满分 12 分) 已知曲线 y = x + x-2 在点 P0 处的切线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限, ⑴求 P0 的坐标; ⑵若直线
l ? l1

3

l1

平行直线

, 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.

17. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? a x ? ( a ? 1) x ? 4 8( a ? 2 ) x ? b 的图象关于原点成
3 2

? ? 4, 4 ? 上的单调性,并证明你的结论. 中心对称, 试判断 f ( x ) 在区间

18.已知曲线 y

? f (x) ? 5

x

,求:

(1)曲线与直线 y ? 2 x ? 4 平行的切线的方程。 (2)过点 P ( 0 ,5 ) 且与曲线相切的直线的方程。
f ( x ) ? ln x ( x ? 0 )
g ( x) ? 1 f ?( x ) ? a f ?( x )( x ? 0 )

19. (本小题满分 14 分)已知函数

,函数

⑴当 x ? 0 时,求函数 y ? g ( x ) 的表达式; ⑵若 a ? 0 ,函数 y ? g ( x ) 在 (0, ? ? ) 上的最小值是 2 ,求 a 的值;
y ? 2 3 x? 7 6 与函数 y ? g ( x ) 的图象所围成图形的面积.

⑶在⑵的条件下,求直线

参考答案及评分标准

一、选择题:ABBCD 二、填空题:

BCD
1 2 2? 3

9.两 10、24; 11、 5

12、 y ? ? 1 ?

cos x ;

13、 ?



14、 a ? ? 3 , b ? 9

三、解答题:
0≤ t≤ 3 3 2 时, v ( t ) ? 2 t ? 3 ≤ 0 ; 当 2 ≤ t≤ 5

15.解:∵当

时, v ( t ) ? 2 t ? 3 ≥ 0 .

∴物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程
3

S ?

?

2 0

(3 ? 2 t ) d x ?

?

5 3 2

( 2 t ? 3) d x

9

? (1 0 ?

9 4

)?

29 2 (米)

=4
2

16.解:⑴由 y=x +x-2,得 y′=3x +1, 2 由已知得 3x +1=4,解之得 x=±1.当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限, ∴切点 P0 的坐标为 (-1,-4).
l ? l1 l1
? 1 4 ,

3

⑵∵直线

, 的斜率为 4,∴直线 l 的斜率为

∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为 (-1,-4)
y?4 ? ? 1 4 ( x ? 1)

∴直线 l 的方程为

即 x ? 4 y ? 17 ? 0 .

17.解: 答 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数. 证明:∵函数 f(x)的图象关于原点成中心对称, 则 f(x)是奇函数,所以 a=1,b=0,于是 f(x)= x ? 48 x .
3
2 ? f ? ( x ) ? 3 x ? 4 8,

? ∴当 x ? ( ? 4, 4 ) ? f ( x ) ? 0

? ? 4, 4 ? 上连续 又∵函数 f ( x ) 在
所以 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数. 18、略解: (1)令 f ? ( x ) ?
2 5 x ? 2 得: x ?
25 16

,所以切点为 (

25 25 , ) 16 4

所以所求的切线方程为: 1 6 x ? 8 y ? 2 5 ? 0 ; ( 2 ) 设 切 点 坐 标 为
(m n ,

,)





n ? 5 m

-------------------------------------------------------①

所以切线方程为:y ? n ? ②

5 2 m

(x ? m)

5 因为 P 在曲线上, 所以: ? n ? 2

5 m

( 0 ? m ) --

解①②联立的方程组得: ( 4 ,10 ) 19.解:⑴∵
f ( x ) ? ln x

所以所求的直线方程为: 5 x ? 4 y ? 20 ? 0

,

∴当 x ? 0 时, f ( x ) ? ln x ; 当 x ? 0 时, f ( x ) ? ln ( ? x )
f ?( x ) ? 1 x ; 当 x ? 0 时, a x . a x , f ?( x ) ? 1 ?x ? ( ? 1) ? 1 x .

∴当 x ? 0 时,

∴当 x ? 0 时,函数

y ? g (x) ? x ?

⑵∵由⑴知当 x ? 0 时,

g (x) ? x ?

∴当 a ? 0 , x ? 0 时, g ( x ) ≥ 2 a 当且仅当 x ?

a 时取等号.

∴函数 y ? g ( x ) 在 (0, ? ? ) 上的最小值是 2 a ,∴依题意得 2 a ? 2 ∴ a ? 1 .
2 7 3 ? ? y ? x? x ? ? x2 ? 2 ? ? 1 ? ? 3 6 2 ? ,? ? ? 5 13 ? y2 ? 1 ?y ? x? ?y ? ? 2 1 6 x 解得 ? ? ? ⑶由 ?
y ? 2 3 x? 7 6 与函数 y ? g ( x ) 的图象所围成图形的面积

∴直线
S ?

?

2 3 2

7 1 ? ? 2 7 ( x ? ) ? ( x ? ) dx ? ln 3 ? 3 ? 6 x ? ? = 24


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