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第4节 直线、平面平行关系的判定与性质


第4节

直线、平面平行关系的判定与性质 练题感 提知能

课时训练 【选题明细表】 知识点、方法 与平行有关的命题判定 直线与平面平行 面面平行 综合问题 A组 一、选择题

题号 1、2、3、9 5、6、7、10 4、8、14 11、12、13、15

1.平面α ∥平面β ,点 A,C∈α ,B

,D∈β ,则 AC∥BD 的充要条件是 ( D ) (B)AD∥CB

(A)AB∥CD

(C)AB 与 CD 相交 (D)A,B,C,D 四点共面 解析:充分性:若 A,B,C,D 四点共面,则由面面平行的性质知,AC∥BD, 反之(即必要性),显然成立,故选 D. 2.(2013 北京海淀区期末)以下命题中真命题的个数是( ①若直线 l 平行于平面α 内的无数条直线,则直线 l∥α ; ②若直线 a 在平面α 外,则 a∥α ; ③若直线 a∥b,b? α ,则 a∥α ; ④若直线 a∥b,b? α ,则 a 平行于平面α 内的无数条直线. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 A )

解析:对于①,l 可以在平面α 内,①是假命题;②a 与α 可以相交,② 是假命题;③a 可以在平面α 内,③是假命题;④是真命题.故选 A. 3.给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面α 、β 、γ 的三个命 题: ①若 l 与 m 为异面直线,l? α ,m? β ,则α ∥β ; ②若α ∥β ,l? α ,m? β ,则 l∥m; ③若α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n. 其中真命题的个数为( C )

(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 解析:①当异面直线 l、m 满足 l? α ,m? β 时,α 、β 也可以相交,故 ①为假命题. ②若α ∥β ,l? α ,m? β ,则 l、m 平行或异面,故②为假命题. ③如图所示,设几何体三侧面分别为α 、β 、γ .

交线 l、m、n,若 l∥γ , 则 l∥m,l∥n, 则 m∥n,③为真命题.故选 C. 4.设平面α ∥平面β ,A∈α ,B∈β ,C 是 AB 的中点,当 A、 B 分别在α 、 β 内移动时,那么所有的动点 C( (A)不共面 (B)当且仅当 A、B 在两条相交直线上移动时才共面 D )

(C)当且仅当 A、B 在两条给定的平行直线上移动时才共面 (D)不论 A、B 如何移动都共面 解析:作平面γ ∥α ,γ ∥β ,且平面γ 到平面α 的距离等于平面γ 到 平面β 的距离,则不论 A、B 分别在平面α 、β 内如何移动,所有的动 点 C 都在平面γ 内, 故选 D. 5. 如图所示,

正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AB、CC1 的中点,在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线( (A)不存在 (C)有 2 条 (B)有 1 条 (D)有无数条 D )

解析:平面 ADD1A1 与平面 D1EF 有公共点 D1,由公理 3 知必有过该点的 公共线 l,在平面 ADD1A1 内与 l 平行的线有无数条,且它们都不在平面 D1EF 内,由线面平行的判定定理知它们都与平面 D1EF 平行,故选 D. 二、填空题 6.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E 是 DD1 的中点,则 BD1 与平面 ACE 的位置 关系为 .

解析:如图所示,

连接 BD 与 AC 交于 O 点,连接 OE,则 OE∥BD1, 而 OE? 平面 ACE, BD1?平面 ACE, 所以 BD1∥平面 ACE. 答案:平行 7. 如图所示,

正方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF ∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于 .

解析:由于 EF∥平面 AB1C,则 EF∥AC,E 为 AD 中点,则 F 必为 DC 的中 点, ∴EF= AC, 又 AB=2, ∴AC=2 . 因此 EF= . 答案: 8.(2013 吉林市联考)设α ,β 是两个不重合的平面,a,b 是两条不同 的直线,给出下列条件:

①α ,β 都平行于直线 a,b; ②a,b 是α 内的两条直线,且 a∥β ,b∥β ; ③a 与 b 相交,且都在α ,β 外,a∥α ,a∥β ,b∥α ,b∥β . 其中可判定α ∥β 的条件是 .(填序号)

解析:对于①,满足条件的α ,β 可能相交;对于②,当 a∥b 时,α 与β 可能相交;③设 a,b 确定平面γ ,则α ∥γ ,β ∥γ ,则α ∥β . 答案:③ 9.α 、β 、γ 是三个平面,a、b 是两条直线,有下列三个条件:①a∥ γ ,b? β ;②a∥γ ,b∥β ;③b∥β ,a? γ .如果命题“α ∩β =a,b? γ ,且 ,则 a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是

(填上你认为正确的所有序号). 解析:①a∥γ ,a? β ,b? β ,β ∩γ =b? a∥b(线面平行的性质). ②如图所示,在正方体中,α ∩β =a,b? γ ,a∥γ ,b∥β ,而 a、 b 异面, 故②错.

③b∥β ,b? γ ,a? γ ,a? β ,β ∩γ =a? a∥b(线面平行的性质). 答案:①③ 三、解答题 10.如图所示,

在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD,求证:四边形 EFGH 是平行四边形. 证明:∵AB∥平面 EFGH, ∴AB∥GF,AB∥HE, ∴GF∥HE. 同理得 FE∥GH, ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 11. (2013 兰州一中月考)如图所示,

在四棱锥 P ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠BAD=120°且 PA⊥平 面 ABCD,PA=2 ,M,N 分别为 PB,PD 的中点. (1)证明:MN∥平面 ABCD; (2)设 Q 为 PC 的中点,求三棱锥 M ANQ 的体积. (1)证明:因为 M,N 分别是 PB,PD 的中点, 所以 MN 是△PBD 的中位线, 所以 MN∥BD. 又因为 MN?平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, 所以 MN∥平面 ABCD.

(2)因为三棱锥 A MNQ 的高 h= PA= , S△MNQ= S 菱形 ABCD= ×6 = , 所以 =× × = .

12.(2013 湛江高考测试(二))三棱柱 ABC A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB=BC=AC=AA1,CD⊥AC1,E,F 分别是 BB1,CC1 的中点. (1)证明:平面 DEF∥平面 ABC; (2)证明:CD⊥平面 AEC1.

证明:(1)依题意知 CA=CC1, 又 CD⊥AC1, 所以 D 为 AC1 的中点, 又 F 为 CC1 的中点,所以 DF∥AC. 而 AC? 平面 ABC,所以 DF∥平面 ABC; 同理可证 EF∥平面 ABC, 又 DF∩EF=F, 所以平面 DEF∥平面 ABC. (2)连接 CE,设 AB=2,则 DF=1,EF=2,∠DFE=60°,

由余弦定理,求得 DE= , 又 CD= AC1= ,CE= , 所以 CD2+DE2=CE2, 所以 CD⊥DE. 又 CD⊥AC1,AC1∩DE=D, 所以 CD⊥平面 AEC1. B组 13. (2013 北京东城区月考)如图所示,

在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 BC,CC1 的中点,P 是侧面 BCC1B1 内一点,若 A1P∥平面 AEF,则线段 A1P 长度的取值范围是 ( B ) (B)[ , ] (D)[ , ]

(A)[1, ] (C)[ , ]

解析: 取 B1C1 的中点 M,BB1 的中点 N,

连接 A1M,A1N,MN, 可以证明平面 A1MN∥平面 AEF,

所以点 P 位于线段 MN 上. 因为 A1M=A1N= = ,

MN=

= ,

所以当点 P 位于 M,N 时,A1P 最大, 当 P 位于 MN 中点 O 时,A1P 最小, 此时 A1O= = ,

所以 ≤A1P≤ , 所以线段 A1P 长度的取值范围是[ , ],故选 B. 14. 如图所示,

ABCD A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下底面的棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P、M、N 的平面交上底 面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ= 解析:如图所示,连接 AC、A1C1. .

∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, ∴MN∥PQ. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点, ∴MN∥A1C1∥AC, ∴PQ∥AC,∴ = , 又∵AP= ,∴DP= ,∴PQ= a. 答案: a 15.(2013 惠州一模)如图,直角梯形 ACDE 与等腰直角△ABC 所在平面 互相垂直,F 为 BC 的中点,∠BAC=∠ACD=90°,AE∥CD,DC=AC=2AE=2.

(1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求四面体 B CDE 的体积. (1)证明:取 BD 的中点 P,连接 EP,FP.

则 PF 为中位线,PF DC. 又∵EA DC,∴EAPF, 故四边形 AFPE 是平行四边形,即 AF∥EP. ∵EP? 平面 BDE,AF?平面 BDE, ∴AF∥平面 BDE. (2)解:∵BA⊥AC,平面 ABC⊥平面 ACDE 且交于 AC, ∴BA⊥平面 ACDE,即 BA 就是四面体 B CDE 的高, BA=2, ∵DC=AC=2AE=2,AE∥CD, ∴S 梯形 ACDE= (1+2)×2=3,S△ACE= ×1×2=1, ∴S△CDE=3-1=2, ∴ = ·BA·S△CDE= ×2×2= .


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