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2014届高考数学理科试题大冲关:2.1函数及其表示


2014 届高考数学理科试题大冲关:函数及其表示
一、选择题 b 1.已知 a、b 为实数,集合 M={ ,1},N={a,0},f:x→x 表示把 M 中的元素 x 映射到 a 集合 N 中仍为 x,则 a+b 等于( A.-1 C .1 ) B.0 D.± 1 )

2.已知函数 f(x)对任意的 x、y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y

),且 f(2)=4,则 f(1)=( A.-2 C.0.5 B.1 D.2

1 3.已知 f:x→-sin x 是集合 A(A?[0,2π])到集合 B={0, }的一个映射,则集合 A 中的 2 元素个数最多有( A.4 个 C .6 个 ) B.5 个 D.7 个 )

4.定义 x?y=x3-y,则 h?(h?h)=( A.-h C .h B.0 D.h3

x ? ?2 ,x>0, ? 5.已知函数 ?(x)= ?x+1,x≤0. ?

若 ?(a)+?(1)=0,则实数 a 的值等于( A.-3 C .1 B.-1 D.3

)

6.若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(x)=( A.x-1 C.2x+1 二、填空题 1 1 7.已知 f(x- )=x2+ 2,则函数 f(3)=________. x x 8.设 f(x)=?
? ?lgx,x>0, ?10 ,x≤0, ?
x

)

B.x+1 D.3x+3

则 f(f(-2))=________.

9.设函数 ?(x)=x3cos x+1.若 ?(a)=11,则 ?(-a)=____. 三、解答题 10.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1.

(1)求 f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x)>2x+5.

11.函数 f(x)对一切实数 x、y 均有 f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且 f(1)=0, (1)求 f(0)的值; (2)试确定函数 f(x)的解析式.

12.我国是水资源相对匮乏的国家,为鼓励节约用水,某市打算制定一项水费措施,规 定每季度每人用水不超过 5 吨时,每吨水费的价格(基本消费价)为 1.3 元,若超过 5 吨而不超 过 6 吨时, 超过部分的水费加收 200%, 若超过 6 吨而不超过 7 吨时, 超过部分的水费加收 400%, 如果某人本季度实际用水量为 x(x≤7)吨,试计算本季度他应缴纳的水费.

详解答案
一、选择题 1.解析:a=1,b=0,∴a+b=1. 答案:C 2.解析:在 f(x+y)=f(x)+f(y)中,令 x=y=1,则 f(2)=f(1)+f(1)=4,∴f(1)=2. 答案:D 1 7π 11π 3.解析:∵A?[0,2π],由-sin x=0 得 x=0,π,2π;由-sin x= 得 x= , ,∴A 2 6 6 中最多有 5 个元素. 答案:B 4.解析:h?h=h3-h,

∴h?(h?h)=h?(h3-h)=h3-(h3-h)=h. 答案:C 5.解析:法一:当 a>0 时,由 ?(a)+?(1)=0 得 2a+2=0,可见不存在实数 a 满足条件, 当 a<0 时,由 ?(a)+?(1)=0 得 a+1+2=0,解得 a=-3,满足条件. 法二:由指数函数的性质可知:2x>0 ,又因为 ?(1)=2,所以 a<0,所以 ?(a)=a+1, 即 a+1+2=0,解得:a=-3. 法三:验证法,把 a=-3 代入 ?(a)=a+1=-2,又因为 ?(1)=2,所以 ?(a)+?(1)=0, 满足条件. 答案:A 6.解析:在 2f(x)-f(-x)=3x+1① 将①中 x 换为-x,则有 2f(-x)-f(x)=-3x+1② ①×2+②得 3f(x)=3x+3, ∴f(x)=x+1. 答案:B 二、填空题 1 1 1 7.解析:∵f(x- )=x2+ 2=(x- )2+2, x x x ∴f(x)=x2+2,∴f(3)=32+2=11. 答案:11
? ?lgx,x>0, 8.解析:因为 f(x)=? x 又-2<0, ?10 ,x≤0, ?

∴f(-2)=10 答案:-2

-2,

10 2>0,f(10 2)=lg10 2=-2.
- - -

9.解析:观察可知,y=x3cos x 为奇函数, 且 ?(a)=a3cos a+1=11, ∴a3cos a=10,则 ?(-a)=-a3cos a+1=-10+1=-9. 答案:-9 三、解答题 10.解:(1)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ∵f(0)=1,∴c=1. 把 f(x)的表达式代入 f(x+1)-f(x)=2x,有 a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. ∴2ax+a+b=2x. ∴a=1,b=-1.

∴f(x)=x2-x+1. (2)由 x2-x+1>2x+5,即 x2-3x-4>0, 解得 x>4 或 x<-1. 故原不等式解集为{x|x>4 或 x<-1}. 11.解:(1)令 x=1,y=0,得 f(1)-f(0)=2. 又∵f(1)=0, ∴f(0)=-2. (2)令 y=0,则 f(x)-f(0)=x(x+1), 由(1)知,f(1)=x(x+1)+f(0) =x(x+1)-2 =x2+x-2. 12.解:设 y 表示本季度应缴纳的水费(元), 当 0<x≤5 时,y=1.3x; 当 5<x≤6 时,应将 x 分成两部分: 5 与(x-5)分别计算,第一部分为基本 消费 1.3×5,第二部分由基本消费与加价消费组成,即 1.3×(x-5)+1.3(x-5)×200% =3.9x-19.5, 此时 y=1.3×5+3.9x-19.5 =3.9x-13, 当 6<x≤7 时,同理 y=6.5x-28.6 综上可知: 1.3x, 0<x≤5 ? ? y=?3.9x-13, 5<x≤6 ? ?6.5x-28.6, 6<x≤7

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