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高中竞赛数学讲义第51讲圆


第 51 讲



对圆的问题的研究是高中解析几何的重点内容之一,在高考和数学竞赛中也很常见,学 习中应熟练掌握圆的方程的几种常见的形式: 1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,其圆心为(a,b),半径为 r(r>0). 2.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0, D E 1 ①当 D2+E2-4F>0 时,该方程表

示圆,圆心(- 2 ,- 2 ),半径 r=2 D2+E2-4F ; D E ②当 D2+E2-4F=0 时,该方程表示点(- 2 ,- 2 )(点圆); ③当 D2+E2-4F<0 时,该方程不表示任何曲线(虚圆). 3.以(x1,y1),(x2,y2)为直径端点的圆的方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0;
?x=a+rcosθ, 4.圆的参数方程:圆心为(a,b)半径为 r 的圆的参数方程? (θ 为参数) ?y=b+rsinθ.

同时在学习的过程中还应该注意点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及一些相关的结 论,注意待定系数法的应用. 与圆有关的问题还常常要考虑用平几方法来解.

A 类例题
y 例 1.设实数 x,y 满足(x-2)2+y2=3,那么 的最大值是( x 1 A. 2 B. 3 3 C. 3 2 )

D. 3(2000 年全国高考题)

y 分析 由于(x,y)在圆上,则 的值可以理解为通过圆上的点与原点连线的斜率,从而比较 x 顺利地解决问题. 解 如图,方程(x-2)2+y2=3 的图形为圆心在(2,0),半径为 r= 3的圆. y 设x=k,则 k 为 y=kx 的斜率,显然 k 的最大值是 圆在 x 轴上方相切时得到, 即直线 OM 的斜率为 k 的最 π 又|AM|= 3,|OA|=2,则∠MOA= . 3 y π 于是可得x的最大值是 k=tan 3 = 3,故选 D. y 说明 这里运用数形结合的思想,把 视为圆上一点(x,y)与原点连线的斜率是破题的“高 x 明”之招. 本题也可以直接解出:以 y=kx 代入圆的方程(k2+1)x2-4x+1=0,这是关于 x 的二次 1 方程, Δ=4-(k2+1)?0,解得 k2?3,则 k 的最大值为 3. 4 例 2.自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x +y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在直线的方程.(1989 年全国高考题) 分析 考虑作出已知圆关于 x 轴的对称图形——圆 C', 则两条入射光线均与圆 C '相切, 以 此为突破口解决问题.
2

在直线 y=kx 与
y

大值.
M O A x

解 已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2 它关于 x 轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y ① 设光线 L 所在直线的方程是 y-3=k(x+ 待定) 由题设知对称圆的圆心 C'(2, -2)到这条直 1, |5k+5| 即 d= =1. 1+k2
A

y

=1, +2)2=1,
C

3)(其中斜率 k
x

O C'

线的距离等于

3 4 整理得,12k2+25k+12=0,解得 k=- ,或 k=- . 4 3 3 4 故所求的直线方程是 y-3=- (x+3),或 y-3=- (x+3),即 3x+4y-3=0,或 4x 4 3 +3y+3=0. 例 3. 设圆满足: ①截 y 轴所得弦长为 2; ②被 x 轴分成两段圆弧, 其弧长的比为 3: 1. 在 满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程.(1997 年全 国高考题) 分析 要求圆心到直线的距离最小的圆的方程,必须先求出距离的最小值或求出何时距离 最小,可以把本题先化成一个最值问题,解决之后再来求圆的方程. 解法一 设圆的圆心为 P(a,b),半径为 r,则点 P 到 x 轴,y 轴距离分别为|b|,|a|. 由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90° ,知圆 P 截 x 轴所得的弦长为 2r,故 r2 =2b2. 又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2,所以有 r2=a2+1. 从而得 2b2-a2=1. |a-2b| 又点 P(a,b)到直线 x-2y=0 的距离为 d= , 5 所以 5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab?a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1.当且仅当 a=b 时上式等号成立,此时 5d2=1,从而 d 取得最小值.
?a=b, 由此有? 2 2 ?2b -a =1. ?a=1, ?a=-1, 解此方程组得? 或? ?b=1 ?b=-1.

由于 r2=2b2,则 r= 2. 于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. |a-2b| 解法二 同解法一得 d= , 5 所以,a-2b=± 5d,得 a2=4b2±4 5bd+3d2, 将 a2=2b2-1 代入(1)式,整理得 (1)

2b2±4 5bd+5d2+1=0 (2) 把它看作 b 的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即 Δ=(±4 5d)2-4×2×(5d2+1)=8(5d2+1)?0, 解得 5d2?1. 所以 5d2 有最小值 1,从而 d 有最小值为 5 . 5

将其代入(2)式得 2b2±4b+2=0,解得 b=±1. 将 b=±1 代入 r2=2b2,r2=2,由 r2=a2+1 得 a=±1. 综上 a=±1,b=±1,r2=2, 由|a-2b|=1 知,a,b 同号,于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+ (y+1)2=2. 说明 在解题的过程中,要体会如何合理刻画最值.
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情景再现
1.过点 A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( ) 2 2 2 2 A.(x-3) +(y+1) =4 B.(x+3) +(y-1) =4 C. (x-1)2+(y-1)2=4 D. (x+1)2+(y+1)2=4 (2001 年全国高考题) 2 2 2. 已知当且仅当 k 满足 a?k?b 时, 两曲线 x +y =4+12x+6y 与 x2+y2=k+4x+12y 有公共点,则 b-a 的值为 ;(上海市 2001 高中数学竞赛) 2 3.求过原点且与直线 x=1 及圆(x-1) +(y-2)2=1 都相切的圆的方程.

B 类例题
例 4.设 a、b 是方程 x2+cotθ·x-cscθ=0 的两个不等实根,那么过点 A(a,a2)和 B(b, b )的直线与圆 x2+y2=1 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.随 θ 的值而变化(第九届全国希望杯 邀请赛) 分析 可以先求出过 A、B 的直线方程,然后运用圆心到直线的距离与半径的大小比较, 确定直线与圆的位置关系. 解 选 B. 根据题意,得
2

?a2+cotθ·a-cscθ=0, ?a2sinθ+acosθ-1=0, ? 2 即? 2 ?b +cotθ·b-cscθ=0. ?b sinθ+bcosθ-1=0.

因此,A(a,a2)和 B(b,b2)都在直线 ysinθ+xcosθ-1=0 上. 所以过 A、B 的直线方程为 xcosθ+ysinθ-1=0. (1) |0· sinθ+0· cosθ-1| 因此原点到该直线的距离 d= =1. cos2θ+sin2θ 故过 A、B 的直线与单位圆相切.故选 B. 说明 1.本题求过 A、B 的直线的方程的方法很重要,也很简洁.读者也可以思考一下其 他解法比较一下. 2.判断直线与圆的位置关系常用两种方法:①消去 x,或 y 之一,得到一个一元二次方 程,判断 Δ 的符号;②运用圆心到直线的距离与半径的大小关系的比较进行判断. 3.式(1)即是直线 l 的法线式方程,其中熟字“1”就是原点与直线 l 的距离. 例 5.已知直角坐标平面上一点 Q(2,0)和圆 C:x2+y2=1,动点 M 到圆 C 的切线长与 |MQ|的比等于常数 λ(λ>0).求动点 M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线.(1994 年全国高考 题) 分析 按求轨迹方程的常规方法,设动点 M 的坐标为(x,y),将动点 M 满足的条件等式转 化为解析表达式,化简得轨迹方程,特别要注意题中的隐含条件:二次方程的二次项系数为 0 时退化为一次方程,由此引起对 λ 的讨论. 解 如图设 MN 切圆于 N,则动点 M 组成 的集合为 P={M||MN|=λ|MQ|} y M
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N x

O

Q

式中常数 λ>0. 因为圆的半径|ON|=1, 所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1. 设点 M 的坐标为(x,y),则 x2+y2-1=λ (x-2)2+y2, 整理得(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0. 经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合 P,故这个方程为所求的轨迹方程. 5 5 当 λ=1 时,方程化为 x=4,它表示一条直线,该直线与 x 轴垂直且相交于点(4,0);
2 2λ2 2 2 1+3λ 2λ2 当 λ≠1 时,方程化为(x- 2 ) +y = 2 , 2,它表示圆,该圆圆心的坐标为( 2 λ -1 (λ -1) λ -1

1+3λ2 0),半径为 2 . |λ -1| 说明 本题中轨迹方程的探求、 对 λ 的讨论及对轨迹所表示的曲线的研究都有一定的难度, 应注意理解和掌握. 例 6.实数 x、y 满足方程 x2+y2=6x-4y-9,求 2x-3y 的最大值与最小值的和.(第十 届全国希望杯数学邀请赛) 分析 方程 x2+y2=6x-4y-9,即(x-3)2+(y+2)2=4 表示一个圆,可以写出这个圆的 参数方程,从中求出 2x-3y 的最大值与最小值. 解法一 由 x2+y2=6x-4y-9,得(x-3)2+(y+2)2=4,
?x-3=2cosθ, ?x=3+2cosθ, 于是可设? 即? ?y+2=2sinθ. ?y=-2+2sinθ.

则 2x-3y=2(3+2cosθ)-3(-2+2sinθ)=4cosθ-6sinθ+12=2 13cos(θ+?)+12, 所以 2x-3y 的最大值为 12+2 13, 2x-3y 的最小值为 12-2 13. 因此,2x-3y 的最大值与最小值之和为 24. 解法二 设 2x-3y=c,代入 x2+y2=6x-4y-9,消去 y,整理得 13x2-(4c+30)x+(c2-12c+81)=0, 此关于 x 的方程 Δ?0,即(4c+30)2-4×13×(c2-12c+81)?0,即 c2-24c+92 ?0. 方程 c2-24c+92=0 的两根为 c1、c2(c1<c2),显然 c1?c?c2, 故 cmax+cmin=c1+c2=24. 2 说明 本题也可以这样解决: 2x-3y=c 表示斜率为3的平行线簇, 从而只要求直线与圆有 |2×3-3×(-2)-c| 公共点的条件即可得出 cmax 和 cmin.由 ?2,解得|12-c|?2 13,即 12- 22+32 2 13?c?12+2 13,故 cmax+cmin=c1+c2=24.

情景再现
π 4. (1)圆 2x2+2y2=1 与直线 xsinθ+y-1=0(θ∈R, θ≠ +kπ, k∈Z)的位置关系是( 2 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 (2002 年北京市春季高考题) )

5 3 (2)在圆 x2+y2-5x=0 内,过点(2,2)有三条弦的长度成等比数列,则其公比的取值范围 是( )

A.[

2
4



5

2 ] 5

B.[

3

4 2 , ] 5 5 5 ,2]

C.[

2 5 , ] 5 2

D .[

2
3

5

(河北省 2000 年高中数学竞赛) 5.知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得弦 AB,以 AB 为直径的圆过原点.若存在,求出 l 的方程,若不存在,说明理由. cosA b 4 6.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边为 a、b、c,若 c=10, = = ,P 为 cosB a 3 △ ABC 内切圆上一动点, d 为点 P 到顶点 A 、 B 、 C 的距离的平方和,则 dmin + dmax = ;(第六届河南省高中 数学竞赛)

C 类例题
例 7.已知:正数 m 取不同的数值时,方程 x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0 表示不同的圆. 求这些圆 的公切线的方程.(福州市高中数学竞赛题) 解 化圆方程为(x-2m-1)2+(y-m)2=m2. 故圆心坐标为(2m+1,m),半径为 m. 若直线 y=kx+b 是这些圆的公切线,则必须而且只需对于一切正数 m 恒有 |k(2m+1)-m+b| =m k2+1 两边平方并整理得, (3k2-4k)m2+2(k+b)(2k-1)m+(k+b)2=0.

? ?3k -4k=0, 从而?2(k+b)(2k-1)=0, ?(k+b)2=0. ?
?k1=0, 解得? 或 ?b1=0.

2

?k =3, ? 4 ?b =-3.
4
2 2

4 4 故这些圆有两条公切线,其方程分别为 y=0 或 y=3x-3. 例 8.三个圆,半径都是 3,中心分别在(14,92)、(17,76)、(19,84),过点(17,76) 作一条直线,使得这三个圆位于这条直线 某一侧的部分的面积和等于这三个圆位于这条直线 另一侧的部分的面积的和. 求这条直线的斜率的绝对值.(第 2 届美国数学邀请赛) 解 首先注意到这三个圆是互相外离的等圆.记 O1(14, 92), O2(19, 84),O3(17,76). 由于过 O3 的直线总把⊙O3 分为等积的两部分, 因此, 只要考虑过平面上 O M 怎样一点所画的直线与⊙O1、⊙O2 相交且使直线两侧的 面积相等. 记 O1O2 的中点为 M,则 M 为两等圆⊙ O1 和⊙O2 的 对称中心, 因此过 M O 且与⊙O1、⊙O2 都相交的直线能满足题目的要求.
1 2

O3

因此,所求直线应过 M 和 O3 的直线,符合题设要求的唯一的. 由于 M(16.5,88),O3(17,76),则该直线的斜率的绝对值是 88-76 |k|=| |=24. 16.5-17

情景再现
7.证明:方程 x4-16x2+2x2y2-16y2+y4=4x3+4xy2-64x 的图形为两个互相内切的 圆.(天津市高中数学竞赛题) 8.已知:通过定点 M(x1,y1)的两个圆与两坐标轴相切,它们的半径分别为 r1、r2. 求证:r1r2=x1+y1.(辽宁省高中数学竞赛题)
2 2

习题 51
?x=tcos?, ?x=4+2cos?, 1.已知直线? (t 为参数)与圆? (?为参数)相切,则直线的倾斜角 ?y=tsin? ?y=2sin?

为(

) (湖南省 1998 年高中数学竞赛)

? 5? A. 或 6 6 ? 2? C.3或 3

? 3? B. 或 4 4
5? ? D.-6或- 6

2.已知:圆 C:x2+y2-2x-2y+1=0,直线 l 与 C 相切,且 l 与 x、y 轴交于点 A、B, O 为原点.|OA|=a,|OB|=b,a>2,b>2. (1)求证:(a-2)(b-2)=2; (2)l 与 x、y 轴交于点 A、B,求线段 AB 的中点轨迹; (3)求△AOB 面积的最小值. 3.设 A(2,0)为平面上一定点,P(sin(2t-60° ),cos(2t-60° ))为动点,则当 t 由 15° 变到 45° 时,线段 AP 扫过的面积是 .(1990 年全国高中数学 y 联赛) 1 4.已知如图的曲线是以原点为圆心,1 为半径的 圆的一部分,则这 一曲线的方程是( ) ?1 O 1 x A.(x+ 1-y2)(y+ 1-x2)=0 B.(x- 1-y2)(y- 1-x2)=0 C.(x+ 1-y2)(y- 1-x2)=0 D.(x- 1-y2)(y+ 1-x2)=0 (1992 年全国高中数学联赛)
?1

5 5 5.已知点集 A={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2?(2)2},B={(x,y)|(x-4)2+(y-5)2>(2)2},则 点集 A∩B 中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 联赛) .(1994 年全国高中数学

6.在直角坐标平面,以(199,0)为圆心,199 为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整 数的点)的个数为________.(1996 年全国高中数学联赛)
[来源:Zxxk.Com]

7. 设定点 P 在圆周 x2+y2=1 上, 若点 Q、 R 在圆 x2+y2=1 的内部或圆周上, 且⊿PQR

为边长是

2 的正三角形.则|OQ|2+|OR|2 的最大值为 3

;(O 为坐标原点) (上

海市 1992 年高中数学竞赛) 8.求一个圆,它与三个圆 C1:(x-5)2+(y-3)2=9;C2:(x-3)2+(y-5)2=25;C3:(x -10)2+y2 =19 都相交,且在交点处的切线互相垂直. 本节“情景再现”解答: 1.C. 2.140. 3 1 25 3.(x- )2+(y- )2= . 8 2 64 4.(1)C.(2)C. 5.圆 C 的圆心(1,-2),半径 r=3.设 l 的方程为 y=x+b,则过 A、B 的圆可写为 x2
[来源:Zxxk.Com]

?-2 +y2-2x+4y-4+λ(x-y+b)=0, 即 x2+y2+(λ-2)x+(4-λ)y-4+λb=0. 其圆心(- 2 ,
4-? - 2 )在直线 y=x+b 上,故 λ-4=2-λ+2b,?λ=b+3. 原点在此圆上,故 λb=4.则 b=1,λ=4;或 b=-4,λ=-1.则直线 l 的方程为 y=x+1, 或 y=x-4. cosA b sinB 6.因为 = = ,则可得 2A=2B,或 2A cosB a sinA b 4 2A=2B 与a=3矛盾,故 A+B=90° ,则 C=90° ,a
y

+ 2B = 180° .而 =6,b=8.内切

A

圆半径=2.建立直角坐标系(如图),设 P(x,y),则(x - 2)2 + (y - 2)2 = CO B x 22.d=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-8)2=3x2+3y2 - 12x - 16y + 100=88-4y(0?y?4).故 dmin+dmax=88+72=160. 7.方程 x4-16x2+2x2y2-16y2+y4=4x3+4xy2-64x 可以写成 2 (x +y2)(x2+y2-16)-4x(x2+y2-16)=0,即(x2+y2-4x)(x2+y2-16)=0,从而 x2+y2-4x =0,或 x2+y2-16=0,即(x-2)2+y2=4,或 x2+y2=16.方程(x-2)2+y2=4 表示圆心为 (2,0),半径为 2 的圆,方程 x2+y2=16 表示圆心为(0,0),半径为 4 的圆.而两圆的半径 的差为 2,且圆心距为 2,所以这两个圆互相内切,即方程 x4-16x2+2x2y2-16y2+y4=4x3 +4xy2-64x 的图形为两个互相内切的圆. 8.如图,由于两圆和两坐标轴相切,设两 圆 的 方 程 分别 为 (x
y

-a1) +(y-b1)

2

2

2 =a1,|a1|=|b1|=r1;(x- a2)2
O2 O1 O x

+(y-b2)2=a2, |a2|
M

2

=|b2|=r2.即 x2+y2-2a1(x±y)+a1=0;x2 a2=0.因为 M(x1,y1)在圆 O1、O2 上,则 x1+
2 2 2 2 2 2

2

+ y2 - 2a2(x±y) + y 1 - 2a1(x1±y1) +
2

a1=0;x1+y1-2a2(x1±y1)+a2=0.如果两圆 O1、O2 在同一象限内,于是 a1、a2 是方程 x2 -2(x1±y1)x+x1+y1=0 的两个根.所以由根与系数关系推得,a1a2=x1+y1,即 r1r2=x1+
2 2 2 2 2

y1.

2

本节“习题 11”解答: 1.A. 2.(1)C:(x-1)2+(y-1)2=1,圆心(1,1),半径为 1.直线 l 的方程为(±bx)+(±ay) |a+b-ab| -ab=0.但只有 bx+ay-ab=0 与 C 可能相切.直线 l 与 C 相切的充要条件为 = a2+b2 1,即 ab-2a-2b+2=0,就是(a-2)(b-2)=2.(2)设 AB 中点为(x,y),则 a=2x,b=2y, 1 代入得轨迹为 2(x - 1)(y - 1) = 1(x > 1) . (3)S △ AOB = ab = a + b - 1 = (a -2) + (b - 2) + 3 ? 2 2 (a-2)(b-2)+3=3+2 2. 3.点 P 在单位圆上,sin(2t-60° )=cos(150° -2t),cos(2t-60° )=sin(150° -2t).当 t 由 1 3 1 3 15° 变到 45° 时,点 P 沿单位圆从(- , )运动到( , ).线段 AP 扫过的面积等于扇形面 2 2 2 2 1 积等于6π. 4.D. 5.7. 6.4 个.提示:把圆心平移至原点,不影响问题的结果.故问题即求 x2+y2=1992 的整 数解数.显然 x、y 一奇一偶,设 x=2m,y=2n-1.且 1?m,n?99.则得 4m2=1992- (2n-1)2=(198+2n)(200-2n).m2=(99+n)(100-n)≡(n-1)(-n)(mod 4).由于 m 为正整
?0,(当n?0,1(mod 4)时) 数, m2≡0, 1(mod 4); (n-1)(-n)≡? 二者矛盾, 故只有 (0, ±199), ?2,(当n?2,3(mod 4)时)

(±199,0)这 4 解.所以共有 4 个,分别为(199,±199),(0,0),(398,0). 2 2 2 2 7.3(4- 6).提示:不妨取 P(1,0),∠QPO=θ,则 Q(1- cosθ, sinθ);R(1- 3 3 3 2 4 4 4 4 cos(θ-60?), sin(θ-60?)). 于是|OQ|2+|OR|2=1- cos? +3+1- cos(?-60?)+3= 3 3 3 14 4 3 3 14 - ( cos?+ sin?)= -4cos(?-30?),当 θ 最大时|OQ|2+|OR|2 取得最大值.当 Q 3 2 3 32 2 1 1 在⊙O 上时,由 OP=OQ=1,PQ= ,即得 cosθ= ,故对于任何点 Q 有 cosθ? , 3 3 3 14 14 6 2 则|OQ|2+|OR|2? -2cos(?-30?)= -2(1+ )= (4- 6). 3 3 3 3 8.设所求圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.则 (a-5)2+(b-3)2=9+r2;?a2+b2-10a-6b=r2-25. ① (a-3)2+(b-5)2=25+r2;?a2+b2-6a-10b=r2-9. ② (a-10)2+b2=19+r2.?a2+b2-20a=r2-81. ③ ②-①: a-b=4. ①-③: 5a-3b=28. 解得 a=8,b=4.r=1.即所求圆为(x-8)2+(y-4)2=1.

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