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导数小训练


1.若曲线 f(x)= x,g(x)=xα 在点 P(1,1)处的切线分别为 l1,l2, 且 l1⊥l2,则实数 α 的值为( A.-2 1 C.2 解析:f′(x)= 1 2 x ) B.2 1 D.-2 ,g′(x)=αxα-1,所以在点 P 处的斜率分别为

1 α k1=2,k2=α,因为 l1⊥l2,所以 k1k2=2=-1,所以 α=-2,选 A

. 答案:A x3 2 2. 2014· 深圳中学实战考试]函数 y= 3 -x +1(0<x<2)的图象上任 意点处切线的倾斜角记为 α,则 α 的最小值是( π A.4 5π C. 6 π B.6 3π D. 4 )

解析:由于 y′=x2-2x,当 0<x<2 时,-1≤y′<0,据导数的 3π 几何意义得-1≤tanα<0, 当 tanα=-1 时, α 取得最小值, 即 αmin= 4 . 答案:D 3 设曲线 y=sinx 上任一点(x,y)处的切线斜率为 g(x),则函数 y =x2g(x)的部分图象可以为( )

解析:由题意可知 g(x)=cosx,y=x2cosx,该函数是偶函数,且 当 x=0 时,函数值为 0,故只能是选项 C 中的图象.

答案:C x +1 4.设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+3=0 垂直, x -1 则 a=( A.2 1 C.2 ) B.-2 1 D.-2

-2 解析:函数的导函数为 y′= ,所以函数在(3,2)处的切线 ?x-1?2 1 1 斜率为 k=-2, 直线 ax+y+3=0 的斜率为-a, 所以-a· (-2)=-1, 解得 a=-2,选 B. 答案:B 1 5.已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(1)=1,且 f(x)的导函数 f′(x)<3, x 2 则 f(x)<3+3的解集为( A.{x|-1<x<1} C.{x|x<-1 或 x>1} ) B.{x|x<-1} D.{x|x>1}

x 2 1 2 解析:设 F(x)=f(x)-3-3,则 F(1)=f(1)-3-3=0,对任意 x 1 ∈R,F′(x)=f′(x)-3<0,即函数 F(x)在 R 上单调递减,则 F(x)<0 x 2 的解集为(1,+∞),即 f(x)<3+3的解集为(1,+∞),选 D. 答案:D 6. 定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f′(x), 已知 f(x+1)是偶函 数,(x-1)f′(x)<0.若 x1<x2,且 x1+x2>2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系 是( )

A.f(x1)<f(x2) C.f(x1)>f(x2)

B.f(x1)=f(x2) D.不确定

解析:由题可知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,且在(1, +∞)上是减函数,由 x1<x2 且 x1+x2>2,可知 x2>1,x2>2-x1.若 2- x1>1,则 f(x2)<f(2-x1)=f(x1);若 2-x1<1,即 x1>1,此时 x1<x2 可得 f(x1)>f(x2);若 x1=1,根据函数性质,当 x=1 时函数取得最大值,也 有 f(x1)>f(x2).故选 C. 答案:C

7. 1 如图, 函数 g(x)=f(x)+5x2 的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x +8,则 f(5)+f′(5)=________. 解析: g(5)=f(5)+5=-5+8=3, 所以 f(5)=-2.又 g′(x)=f′(x) 2 2 +5x, 所以 g′(5)=f′(5)+5×5=-1, 解得 f′(5)=-3, f(5)+f′(5) =-5. 答案:-5 f′?1? 1 8.曲线 f(x)= e ex-f(0)x+2x2 在点(1,f(1))处的切线方程为 ________. 解析:f′(x)= f′?1? x f′?1? 1 e - f (0) + x ? f ′ (1) = e e e -f(0)+1?f(0)

f′?1? 1 =1.在函数 f(x)= e ex-f(0)x+2x2 中,令 x=0,则得 f′(1)=e.所 1 以 f(1)=e-2,所以 1 f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 y=e(x-1)+f(1)=ex-2,即 y= 1 ex-2. 1 答案:y=ex-2 1 1 3 9.已知函数 f(x)=2x-4sinx- 4 cosx 的图象在点 A(x0,y0)处的 切线斜率为 1,则 tanx0=________. 1 1 3 1 1 解析:函数的导数 f′(x)=2-4cosx+ 4 sinx,由 f′(x0)=2-4 3 1 3 π cosx0+ 4 sinx0=1 得,-2cosx0+ 2 sinx0=1,即 sin(x0-6)=1,所以 π π 2π x0-6=2kπ+2,k∈Z,即 x0=2kπ+ 3 ,k∈Z,所以 tanx0=tan(2kπ 2π 2π + 3 )=tan 3 =- 3. 答案:- 3 10.已知函数 f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程. 解:(1)∵f′(x)=3x2-8x+5, ∴f′(2)=1,又 f(2)=-2, ∴曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(-2)=x-2,即 x- y-4=0.
2 (2)设切点坐标为(x0,x3 0-4x0+5x0-4),

∵f′(x0)=3x2 0-8x0+5,
2 ∴切线方程为 y-(-2)=(3x0 -8x0+5)(x-2), 3 又切线过点(x0,x0 -4x2 0+5x0-4), 2 2 ∴x3 0-4x0+5x0-2=(3x0-8x0+5)(x0-2),

整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得 x0=2 或 x0=1, ∴经过 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0 或 y+2= 0. 1 11.已知函数 f(x)=2x2-alnx(a∈R). (1)若函数 f(x)的图象在 x=2 处的切线方程为 y=x+b,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围. a 解:(1)因为 f′(x)=x-x(x>0), 又 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b,斜率为 1,

?2-aln2=2+b, 所以? a ?2-2=1,
解得 a=2,b=-2ln2. (2)若函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数, a 则 f′(x)=x-x≥0 在(1,+∞)上恒成立, 即 a≤x2 在(1,+∞)上恒成立. 所以 a≤1.检验当 a=1 时满足题意. 故 a 的取值范围是(-∞,1]. b 12.设函数 f(x)=ax-x ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程 为 7x-4y-12=0.

(1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值. 7 解:(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y=4x-3, 1 当 x=2 时,y=2. b 又 f′(x)=a+x2, b 1 ? ?2a-2=2, 于是? b 7 ? a + ? 4=4, 3 故 f(x)=x-x . 3 (2)证明:设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 f′(x)=1+x2知,曲线 3 3 在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(1+x2)· (x-x0),即 y-(x0-x )
0 0

?a=1, ? 解得? ? ?b=3.

3 =(1+x2)(x-x0).
0

6 令 x=0 得,y=-x ,从而得切线与直线 x=0,交点坐标为(0,
0

6 -x ). 0 令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为 (2x0,2x0). 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面 1 6 积为2|-x ||2x0|=6. 0 曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的

三角形面积为定值,此定值为 6. x+9 1.经过原点且与曲线 y= 相切的方程是( x+5 x A.x+y=0 或25+y=0 x C.x+y=0 或25-y=0 )

x B.x-y=0 或25+y=0 x D.x-y=0 或25-y=0
0

y0 解析:设切点(x0,y0),则切线的斜率为 k=x ,另一方面,y′= ( x+9 -4 -4 x0+9 y0 2 )′= 故 y′(x0)=k, 即 ?x0 +18x0 2, 2= = x x+5 ?x+5? ?x0+5? x0?x0+5? 0

-3+9 +45=0,得 x0(1)=-3,x0(2)=-15,对应有 y0(1)= =3,y0(2) -3+5 -15+9 3 3 = =5,因此得两个切点 A(-3,3)或 B(-15,5),从而得 y′A -15+5 1 =-1,y′B=-25.由于切线过原点,故得切线 lA:y=-x 或 lB:y x =-25. 答案:A 2.记定义在 R 上的函数 y=f(x)的导函数为 f′(x).如果存在 x0 ∈[a,b],使得 f(b)-f(a)=f′(x0)(b-a)成立,则称 x0 为函数 f(x)在区 间[a, b]上的“中值点”. 那么函数 f(x)=x3-3x 在区间[-2,2]上“中 值点”的个数为________. f?2?-f?-2? 解析:设函数 f(x)的“中值点”为 x0,则 f′(x0)= = 4 2-?-2? 2 2 3 2 = 1 ,即 3 x 0-3=1,解得 x0=± =± 4 3 ∈[-2,2],故函数 3 y=x3-3x 在区间[-2,2]上“中值点”的个数是 2. 答案:2

3.已知函数 y=f(x)的导函数为 f′(x)=5+cosx,且 f(0)=0,如 果 f(1-x)+f(1-x2)<0,则实数 x 的取值范围是________. 解析:由题意知 f(x)=5x+sinx+c,由 f(0)=0,得 c=0.∴f(x)为 奇函数.f(1-x)<f(x2-1),又 f(x)为增函数,1-x<x2-1,∴x2+x- 2>0,∴x<-2 或 x>1. 答案:(-∞,-2)∪(1,+∞) 4.已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及 切点坐标; 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=-4x+3 垂直,求切点 坐标与切线的方程. 解:(1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1. ∴f′(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. ∴切线的方程为 y=13(x-2)+(-6), 即 y=13x-32. (2)设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x2 0+1, ∴直线 l 的方程为
3 y=(3x2 0+1)(x-x0)+x0+x0-16,

又∵直线 l 过点(0,0),
3 ∴0=(3x2 0+1)(-x0)+x0+x0-16,

整理得,x3 0=-8,∴x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,

k=3×(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). 1 (3)∵切线与直线 y=-4x+3 垂直, ∴切线的斜率 k=4. 设切点的坐标为(x0,y0),
2 则 f′(x0)=3x0 +1=4,

∴x0=± 1,
?x0=1, ?x0=-1, ? ? ∴? 或? ? ? ?y0=-14 ?y0=-18,

∴切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 y=4x-18 或 y=4x-14.


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