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2015高中数学 第一章 空间几何体学案 新人教A版必修2


2015 高中数学 第一章 空间几何体学案 新人教 A 版必修 2
1.1 空间几何体的结构

1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

[提出问题] 观察下列图片:

问题 1:图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点? 提示:由若干个平面多边形围成. 问题 2:图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与(1)(2)(3)中有何不同? 提示:(4)(5)(6)的表面是由平面与曲面围成,(7)的表面是由曲面围成的. 问题 3:图片(4)(5)(6)(7)中的几何体是否可以看作平面图形绕某定直线旋转而成? 提示:可以. [导入新知] 1.空间几何体 概念 空间几 何体 定义 在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间的一部分.如果我们只考 虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形 就叫做空间几何体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多 多面体 面体的面;相邻两个面的公共边叫做多面体的棱;棱与棱的公共点叫做多面体的 顶点 旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转

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体,这条定直线叫做旋转体的轴

2.多面体 多面体 定义 有两个面互相平行,其余 各面都是四边形,并且每 棱柱 相邻两个四边形的公共 边都互相平行,由这些面 所围成的多面体叫做棱 柱 如图可记作:棱柱 ABCD -A′B′C′D′ 图形及表示 相关概念 底面(底): 两个互相 平行的面 侧面:其余各面 侧棱: 相邻侧面的公 共边 顶点: 侧面与底面的 公共顶点 底面(底): 多边形面 有一个面是多边形,其余 棱锥 各面都是有一个公共顶 点的三角形,由这些面所 围成的多面体叫做棱锥 如图可记作:棱锥 S- 侧面: 有公共顶点的 各个三角形面 侧棱: 相邻侧面的公 共边 顶点: 各侧面的公共 顶点 上底面: 原棱锥的截 面 用一个平行于棱锥底面 棱台 的平面去截棱锥,底面与 截面之间的部分叫做棱 台 如图可记作:棱台 下底面: 原棱锥的底 面 侧面:其余各面 侧棱: 相邻侧面的公 共边 顶点: 侧面与上(下) 底面的公共顶点

ABCD

ABCD-A′B′C′D′

[化解疑难] 1.对于多面体概念的理解,注意以下两个方面: (1)多面体是由平面多边形围成的,围成一个多面体至少要四个面.一个多面体由几个 面围成,就称为几面体. (2)多面体是一个“封闭”的几何体,包括其内部的部分.
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2.棱柱具有以下结构特征和特点: (1)侧棱互相平行且相等,侧面都是平行四边形. (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形,如图 a 所示.

(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形,如图 b 所示. (4)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱, 如图 c 所示. 3.对于棱锥要注意有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体 不一定是棱锥,必须强调其余各面是共顶点的三角形,如图 d 所示. 4.棱台中各侧棱延长后必相交于一点,否则不是棱台.

棱柱的结构特征 [例 1] 下列关于棱柱的说法: (1)所有的面都是平行四边形; (2)每一个面都不会是三角形; (3)两底面平行,并且各侧棱也平行; (4)被平面截成的两部分可以都是棱柱. 其中正确说法的序号是________. [解析] (1)错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;

(2)错误,棱柱的底面可以是三角形; (3)正确,由棱柱的定义易知; (4)正确, 棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱, 所以说法正确的序号是(3)(4). [答案] (3)(4) [类题通法] 有关棱柱的结构特征问题的解题策略 (1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析 ①两个面互相平行;

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②其余各面是四边形; ③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时,首先看是否有两个平行的面作为底面, 再看是否满足其他特征. (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除. [活学活用] 1.下列四个命题中,假命题为( )

A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B.棱柱的各个侧面都是平行四边形 C.棱柱的两底面是全等的多边形 D.棱柱的面中,至少有两个面互相平行 解析:选 A A 错,正六棱柱的两个相对的侧面互相平行,但不是棱柱的底面,B、C、D 是正确的. 棱锥、棱台的结构特征 [例 2] 下列关于棱锥、棱台的说法: (1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台; (2)棱台的侧面一定不会是平行四边形; (3)棱锥的侧面只能是三角形; (4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥; (5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥,其中正确说法的序号是________. [解析] (1)错误,若平面不与棱锥底面平行,用这个平面去截棱锥,棱锥底面和截

面之间的部分不是棱台; (2)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形; (3)正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形; (4)正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥; (5)错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

[答案] (2)(3)(4) [类题通法] 判断棱锥、棱台形状的两个方法 (1)举反例法: 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
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(2)直接法: 棱锥 定底面 看侧棱 只有一个面是多边形,此面即为底面 相交于一点 棱台 两个互相平行的面,即为底面 延长后相交于一点

[活学活用] 2.试判断下列说法正确与否: ①由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥; ②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台. 解:①不正确,由六个面围成的封闭图形有可能是四棱柱;②不正确,两个底面平行且 相似,其余各面都是梯形的多面体.侧棱不一定相交于一点,所以不一定是棱台. 多面体的平面展开图 [例 3] 如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什么几何体?

[解] 由几何体的侧面展开图的特点,结合棱柱,棱锥,棱台的定义,可把侧面展开图 还原为原几何体,如图所示:

所以①为五棱柱,②为五棱锥,③为三棱台. [类题通法] 1.解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力. 2.若给出多面体画其展开图时,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画 出来,然后依次画出各侧面. 3.若是给出表面展开图,则可把上述程序逆推. [活学活用] 3.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左 面、右面”表示,如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体 的外表面上),若图中“0”上方的“2”在正方体的上面,则这个正方体
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的下面是( A.1 C.快

) B.2 D.乐

解析:选 B 由题意,将正方体的展开图还原成正方体,1 与乐相对,2 与 2 相对,0 与快相对,所以下面是 2.

1.柱、锥、台结构特征判断中的误区

[典例] 如图所示,几何体的正确说法的序号为________. (1)这是一个六面体;(2)这是一个四棱台;(3)这是一个四棱柱;(4)此几 何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到; (5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱 得到. [解析] (1)正确,因为有六个面,属于六面体的范围; (2)错误,因为侧棱的延长线不能交于一点,所以不正确; (3)正确,如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱; (4)(5)都正确,如图所示.

[易错防范] 1.解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点,直观感觉是棱台,而不注意逻辑推 理. 2.解答空间几何体概念的判断题时,要注意紧扣定义,切忌只凭图形主观臆断. [成功破障]

如图, 将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度, 则倾斜后水槽中的水形 成的几何体是( )
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A.棱柱 C.棱柱与棱锥的组合体 解析:选 A 如图 ∵平面 AA1D1D∥平面 BB1C1C,

B.棱台 D.不能确定

∴有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都易证是平行四边形(水 面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状.

[随堂即时演练] 1.下列几何体中棱柱有( )

A.5 个 C.3 个

B.4 个 D.2 个

解析:选 D 由棱柱定义知,①③为棱柱. 2.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )

解析:选 D A、B、C 中底面边数与侧面个数不一致,故不能围成棱柱. 3.棱锥最少有________个面. 答案:4 4. 下列几何体中, ________是棱柱, ________是棱锥, ________是棱台(仅填相应序号).

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答案:①③④ ⑥ ⑤ 5.(1)三棱锥、四棱锥、十五棱锥分别有多少条棱?多少个面? (2)有没有一个多棱锥,其棱数是 2 012?若有,求出有多少个面;若没有,说明理由. 解:(1)三棱锥有 6 条棱、4 个面;四棱锥有 8 条棱、5 个面;十五棱锥有 30 条棱、16 个面. (2)设 n 棱锥的棱数是 2 012,则 2n=2012,所以 n=1 006,1 006 棱锥的棱数是 2 012, 它有 1 007 个面. [课时达标检测] 一、选择题 1.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是( )

答案:C 2.有两个面平行的多面体不可能是( A.棱柱 C.棱台 ) B.棱锥 D.以上都错

解析:选 B 棱柱、棱台的上、下底面是平行的,而棱锥的任意两面均不平行. 3.关于棱柱,下列说法正确的是( A.只有两个面平行 B.所有的棱都相等 C.所有的面都是平行四边形 D.两底面平行,侧棱也互相平行 解析:选 D 对于 A,如正方体可以有六个面平行,故 A 错;对于 B,如长方体并不是 所有的棱都相等,故 B 错;对于 C,如三棱柱的底面是三角形,故 C 错;对于 D,由棱柱的 概念,知两底面平行,侧棱也互相平行.故选 D. 4.(2011·广东高考)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线 称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )
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)

A.20 C.12

B.15 D.10

解析:选 D 从正五棱柱的上底面 1 个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点 相连可得 2 条对角线,故共有 5×2=10 条对角线. 5.下列命题中正确的是( )

A.用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B.两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.棱台的底面是两个相似的正方形 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 解析:选 D A 中的平面不一定平行于底面,故 A 错;B 中侧棱不一定交于一点;C 中底 面不一定是正方形. 二、填空题 6.面数最少的棱柱为________棱柱,共有________个面围成. 解析:棱柱有相互平行的两个底面,其侧面至少有 3 个,故面数最少的棱柱为三棱柱, 共有五个面围成. 答案:三 5 7.如图,M 是棱长为 2 cm 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点, 沿正方体表面从点 A 到点 M 的最短路程是________ cm. 解析:由题意,若以 BC 为轴展开,则 A,M 两点连成的线段所在的 直角三角形的两直角边的长度分别为 2 cm,3 cm,故两点之间的距离是 13 cm.若以 BB1 为轴展开, 则 A, M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分 别为 1,4,故两点之间的距离是 17 cm. 故沿正方体表面从点 A 到点 M 的最短路程是 13 cm. 答案: 13 8.侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体. 侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体. 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体. 棱长都相等的长方体叫做正方体. 请根据上述定义,回答下面的问题: (1)直四棱柱________是长方体; (2)正四棱柱________是正方体.(填“一定”、“不一定”、“一定不”)
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解析:根据上述定义知:长方体一定是直四棱柱,但是直四棱柱不一定是长方体;正方 体一定是正四棱柱,但是正四棱柱不一定是正方体. 答案:(1)不一定 三、解答题 9.观察下列四张图片,结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征. (2)不一定

解:(1)是上海世博会中国馆,其主体结构是四棱台. (2)是法国卢浮宫,其主体结构是四棱锥. (3)是国家游泳中心“水立方”,其主体结构是四棱柱. (4)是美国五角大楼,其主体结构是五棱柱. 10. (2011·山东高考改编)给出两块正三角形纸片(如图所示), 要求将其中一块剪拼成 一个底面为正三角形的三棱锥模型, 另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型, 请设 计一种剪拼方案,分别用虚线标示在图中,并作简要说明.

解:如图(1)所示,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个底面为正三角形的三棱 锥.

如图(2)所示,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三 1 角形边长的 ,有一组对角为直角,余下部分按虚线折成,可成为一个缺上底的底面为正三 4 角形的三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.

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1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 简单组合体的结构特征

旋转体 [提出问题] 如图,给出下列实物图.

问题 1:上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同? 提示:它们不是由平面多边形围成的. 问题 2:上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否以某平面图形旋转而成? 提示:可以. 问题 3:如何形成上述几何体的曲面? 提示:可将半圆、直角梯形、直角三角形绕一边所在直线为轴旋转而成. [导入新知] 旋转体 结构特征 以矩形的一边所在直线为旋 转轴,其余三边旋转形成的 面所围成的旋转体叫做圆 柱.旋转轴叫做圆柱的轴; 圆柱 垂直于轴的边旋转而成的圆 面叫做圆柱的底面;平行于 轴的边旋转而成的曲面叫做 圆柱的侧面;无论旋转到什 么位置,不垂直于轴的边都 叫做圆柱侧面的母线 以直角三角形的一条直角边 圆锥 所在直线为旋转轴,其余两 边旋转形成的面所围成的旋 我们用表示圆锥轴的 字母表示圆锥, 左图可 表示为圆锥 SO 我们用表示圆柱轴的 字母表示圆柱, 左图可 表示为圆柱 OO′ 图形 表示

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转体叫做圆锥 用平行于圆锥底面的平面去 圆台 截圆锥,底面与截面之间的 部分叫做圆台 以半圆的直径所在直线为旋 转轴,半圆面旋转一周所形 成的旋转体叫做球体,简称 球 球.半圆的圆心叫做球的球 心,半圆的半径叫做球的半 径,半圆的直径叫做球的直 径 球常用球心字母进行 表示, 左图可表示为球 我们用表示圆台轴的 字母表示圆台, 左图可 表示为圆台 OO′

O

[化解疑难] 1.以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转成的曲面围成的旋转体不是 圆锥. 2.球与球面是完全不同的两个概念,球是指球面所围成的空间,而球面只指球的表面 部分. 3.圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴,各边旋转半周形成的 曲面所围成的几何体. 简单组合体 [提出问题] 中国首个空间实验室“天宫一号”于 2011 年 9 月 29 日 16 分成功发射升空,并与当年 11 月与“神舟八号”实现无人空间对接,下图为天宫一号目标飞行器的结构示意图.

其主体结构如图所示:

问题 1:该几何体由几个几何体组合而成?
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提示:4 个. 问题 2:图中标注的①②③④部分分别为什么几何体? 提示:①为圆台,②为圆柱,③为圆台,④为圆柱. [导入新知] 1.简单组合体的概念 由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. 2.简单组合体的构成形式 有两种基本形式: 一种是由简单几何体拼接而成的; 另一种是由简单几何体截去或挖去 一部分而成的. [化解疑难] 简单组合体识别的要求 (1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征. (2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式. (3)若用分割的方法,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面).

旋转体的结构特征

[例 1] 给出下列说法:(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴,其余两边旋转形成 的曲面围成的几何体是圆锥;(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转 形成的曲面围成的几何体是圆锥; (3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形; (4)圆锥 侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径,其中正确说法的序号是________. [解析] (1)不正确,因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体就不是圆

锥,而是两个同底圆锥的组合体; (2)正确,以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转形成的曲面围成的 几何体是圆锥; (3)正确,如图所示,经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形;

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(4)正确,如图所示,圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的 2 倍(即直径).

[答案] (2)(3)(4) [类题通法] 1.判断简单旋转体结构特征的方法 (1)明确由哪个平面图形旋转而成. (2)明确旋转轴是哪条直线. 2.简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、 母线、 高等体现简单旋转体结构特征的关键量. (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. [活学活用] 1.给出下列说法:(1)圆柱的底面是圆面;(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩 形面;(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交;(4)夹在圆柱的两个截面 间的几何体还是一个旋转体.其中说法正确的是________. 解析:(1)正确,圆柱的底面是圆面; (2)正确,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;

(3)不正确,圆台的母线延长相交于一点; (4)不正确,圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体. 答案:(1)(2) 简单组合体 [例 2] 观察下列几何体的结构特点,完成以下问题:

(1) 图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的?试画出几何图形,可旋转该图形 180°后得到几何体①;
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(2)图②所示几何体结构特点是什么?试画出几何图形,可旋转该图形 360°得到几何 体②; (3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的?并说明该几何体的面数、棱数、顶点 数. [解析] (1)图①是由圆锥和圆台组合而成.

可旋转如下图形 180°得到几何体①.

(2)图②是由一个圆台, 从上而下挖去一个圆锥, 且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心. 可旋转如下图形 360°得到几何体②.

(3)图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成,且四棱锥的底面与四棱柱底面相同. 共有 9 个面,9 个顶点,16 条棱. [类题通法] 1.明确组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的,必要时也可以指 出棱数、面数和顶点数,如图③所示的组合体有 9 个面,9 个顶点,16 条棱. 2.会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步,因此我们应注意观察周围的物体, 然后将它们“分拆”成几个简单的几何体,进而培养我们的空间想象能力和识图能力. [活学活用] 2.下列组合体是由哪些几何体组成的?

解:(1)由两个几何体组合而成,分别为球、圆柱. (2)由三个几何体组合而成,分别为圆柱、圆台、圆柱.

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(3)由三个几何体组合而成,分别为圆锥、圆柱、圆台.

1.旋转体的生成过程

[典例] 如图,四边形 ABCD 为直角梯形,试作出绕其各条边所在的直线旋 转所得到的几何体. [解题流程]

分别以边AD、AB、BC、CD所在直线为旋转轴旋转

已知四边形ABCD为直角梯形

以边 AD 所在直线为旋转轴旋转― → 以边 AB 所在直线为旋转轴旋转― → 以边 CD 所在直线为旋转轴旋转― → 以边 BC 所在直线为旋转轴旋转

[规范解答] 以边 AD 所在直线为旋转轴旋转,形成的几何体是圆台,如图(1)所示.

以边 AB 所在直线为旋转轴旋转,形成的几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接而成的几何 体,如图(2)所示.

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以边 CD 所在直线为旋转轴旋转, 形成的几何体是一个圆柱挖掉一个圆锥构成的几何体, 如图(3)所示.

以边 BC 所在直线为旋转轴旋转,形成的几何体是由一个圆台挖掉一个圆锥构成的几何 体和一个圆锥拼接而成,如图(4)所示.

[活学活用] 一个有 30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥吗?如果 以斜边上的高所在的直线 为轴旋转 180°得到什么几何体?旋转 360°又得到什么几何体? 解:如图(1)和(2)所示,绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥. 如图(3)所示,绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥. 如图(4)所示, 绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转 180°围成的几何体是两个半圆锥, 旋转 360°围成的几何体是一个圆锥.

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[随堂即时演练] 1.(2012·临海高一检测)圆锥的母线有( A.1 条 C.3 条 答案:D 2.右图是由哪个平面图形旋转得到的( ) )

B.2 条 D.无数条

解析:选 A 图中几何体由圆锥、圆台组合而成,可由 A 中图形绕图中虚线旋转 360° 得到. 3.等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转 180°,所得几何体是________. 答案:圆锥 4.如图所示的组合体的结构特征为________.

解析:该组合体上面是一个四棱锥,下面是一个四棱柱,因此该组合体的结构特征是四 棱锥和四棱柱的一个组合体. 答案:一个四棱锥和一个四棱柱的组合体
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5.如图,AB 为圆弧 BC 所在圆的直径,∠BAC=45°.将这个平面图形绕直线

AB 旋转一周,得到一个组合体,试说明这个组合体的结构特征.
解:如图所示,这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的.

[课时达标检测] 一、选择题 1.下列命题中正确的是( )

①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个; ②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆; ③圆台的两个底面可以不平行. A.①② C.②③ B.② D.①③

解析:选 B ①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于 90°时,其面积不是最大的;③圆台 的两个底面一定平行.故①③错误. 2.将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括( A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱 C.两个圆柱、一个圆台 D.一个圆柱、两个圆锥 解析:选 D 从较短的底边的端点向另一底边作垂线,两条垂线把等腰梯形分成了两个 直角三角形, 一个矩形, 所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由 一个圆柱,两个圆锥所组成的几何体,如图: )

3. 以钝角三角形的较小边所在的直线为轴, 其他两边旋转一周所得到的几何体是( A.两个圆锥拼接而成的组合体 B.一个圆台 C.一个圆锥 D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥 解析:选 D 如图以 AB 为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆 锥.

)

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4.下列叙述中正确的个数是(

)

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面; ④用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. A.0 C.2 B.1 D.3

解析:选 B ①中应以直角三角形的直角边所在直线为轴,②中应以直角梯形中的直角 腰所在直线为轴,④中应用平行于底面的平面去截,③正确. 5.如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不 正确的是( . A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B.该几何体有 12 条棱、6 个顶点 C.该几何体有 8 个面,并且各面均为三角形 D.该几何体有 9 个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形 解析:选 D 该几何体用平面 ABCD 可分割成两个四棱锥,因此它是这两个四棱锥的组 合体,因而四边形 ABCD 是它的一个截面而不是一个面. 二、填空题 6.下列 7 种几何体: )

(1)柱体有________; (2)锥体有________; (3)球有__________; (4)棱柱有________; (5)圆柱有________; (6)棱锥有________; (7)圆锥有________. 解析:由柱、锥、台及球的结构特点易于分析,柱体有 a、d、e、f;锥体有 b、g;球 有 c;棱柱有 d、e、f;圆柱有 a;棱锥为 g;圆锥为 b. 答案:(1)a、d、e、f (2)b、g (3)c
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(4)d、e、f (5)a (6)g (7)b 7.下面这个几何体的结构特征是___________________________________________ ________________________________________________________________________.

解析:根据图形可知此几何体是由一个四棱锥、一个四棱柱拼接,又在四棱柱中挖去了 一个圆柱而成. 答案:由一个四棱锥、一个四棱柱拼接,又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成 8.如图是一个几何体的表面展成的平面图形,则这个几何体是________.

答案:圆柱 三、解答题 9.指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的.

解:分割原图,使它的每一部分都是简单几何体. 图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体. 图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体. 10.如图所示,用一个平行于圆锥 SO 底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、 下底面的半径分别为 2 cm 和 5 cm,圆台的母线长是 12 cm,求圆锥 SO 的母线长.

解:如图,过圆台的轴作截面,截面为等腰梯形 ABCD,由已知可得上底半 径 O1A=2 cm,下底半径 OB=5 cm,且腰长 AB=12 cm.设截得此圆台的圆锥的 母线长为 l,则由△SAO1∽△SBO,可得 台的圆锥的母线长为 20 cm.

l-12 2 = ,所以 l=20 cm,即截得此圆 l 5

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1.2 空间几何体的三视图和直观图

1.2.1 & 1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图

中心投影与平行投影

[提出问题]

15 年之后, 《泰坦尼克号》再次被搬上了荧屏,而这次的宣传噱头则是 3D.《泰坦尼克号 3D》让观众在明知下一步剧情发展的情况下,仍然会因为 发生在“眼前”的真实爱情悲歌热泪盈眶.从右图中我们可以清楚看到 3D 电影是怎么一回事: 两个投影机会从不同的方向错开一定距离, 把画面中有距离区别的部分 投射到荧幕上.而观众所佩戴的 3D 眼镜也会选择不同的光线进入左右眼,这样你就能看到 物体“前于画面”或“后于画面”的视觉假象了. 电影的播放实质是利用了小孔成像原理, 而太阳光下地面上人的影子是阳光照射到人后 留下的影像. 放电影和太阳光照射成影像都具备光线、不透明物体和投影面这些相同的条件. 问题 1:放电影成像与太阳光成像原理一样吗? 提示:不一样. 问题 2:电影成像中的光线有何特点? 提示:光是由一点向外散射. 问题 3:太阳光照人成影像的光线又有何特点? 提示:一束平行光线. [导入新知] 1.投影的定义 由于光的照射, 在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子, 这种现象叫做投 影.其中,把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影面. 2.中心投影与平行投影 投影 中心投影 定义 光由一点向外散射形成的投 影 特征 投影线交于一点 分类

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平行投影

在一束平行光线照射下形成 的投影

投影线互相平行

正投影和斜投影

[化解疑难] 平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法,但二者又有区别 (1)中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行. (2)平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小 完全相同;而中心投影则不同.

三 视 图 [提出问题] 如梦似幻! ——这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象. 同 天安门、故宫、长城等北京标志性建筑一样,“水立方”成了游客在北京的必到之地. 问题 1:水立方的外观形状是什么? 提示:长方体. 问题 2:假如你站在水立方入口处的正前方或在水立方的左侧看水立方,你看到的是什 么? 提示:水立方的一个侧面. 问题 3:若你在水立方的正上方观察水立方看到什么? 提示:水立方的一个表面. 问题 4:根据上述三个方向观察到的平面,能否画出水立方的形状? 提示:可以. [导入新知] 三视图 正视图 概念 光线从几何体的前面向后面正投影得到 的投影图 光线从几何体的左面向右面正投影得到 的投影图 光线从几何体的上面向下面正投影得到 的投影图 一个几何体的正视图和侧视图高度一 样,正视图和俯视图长度一样,侧视图 与俯视图宽度一样 规律

侧视图

俯视图

[化解疑难] 1.每个视图都反映物体两个方向上的尺寸.正视图反映物体的上下和左右尺寸,俯视 图反映物体的前后和左右尺寸,侧视图反映物体的前后和上下尺寸.
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2.画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,看不见的轮廓线和棱用虚 线表示.

中心投影与平行投影 [例 1] 下列说法中: ①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点; ②空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平行线可能变成了相交的直线; ③两条相交直线的平行投影是两条相交直线. 其中正确的个数为( A.0 C.2 [解析] 序号 ① 正误 √ 原因分析 由平行投影和中心投影的定义可知 空间图形经过中心投影后,直线可能变成直线,也可能变成一个点,如当 ② × 投影中心在直线上时,投影为点;平行线有可能变成相交线,如照片中由 近到远物体之间的距离越来越近,最后相交于一点 ③ × 两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线 ) B.1 D.3

[答案] B [类题通法] 1.判定几何体投影形状的方法: (1)判断一个几何体的投影是什么图形,先分清楚是平行投影还是中心投影,投影面的 位置如何,再根据平行投影或中心投影的性质来判断. (2)对于平行投影, 当图形中的直线或线段不平行于投影线时, 平行投影具有以下性质: ①直线或线段的投影仍是直线或线段; ②平行直线的投影平行或重合; ③平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长; ④与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等; ⑤在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比. 2.画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点、端点等, 方法是先画出这些关键点的投影,再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影.
24

[活学活用] 1.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1、BC 的中点,则 图中阴影部分在平面 ADD1A1 上的投影为( )

解析:选 A N 在面 ADD1A1 内的投影是 AD 中点,M 在面 ADD1A1 内的投影是 AA1 中点.

画空间几何体的三视图

[例 2] 画出如右图所示的四棱锥的三视图. [解] 几何体的三视图如下:

[类题通法] 画三视图的注意事项 (1)务必做到长对正,宽相等,高平齐. (2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置, 且正视图在左, 侧视图在右, 俯视图在正视图的正下方. (3)若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、 虚线的画法. [活学活用] 2.(2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不 可能是( )

解析:选 D 对于选项 A,两个圆柱符合要求;对于选项 B,一个圆柱和一个正四棱柱
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的组合体符合要求;对于选项 C,一个底面为等腰直角三角形的三棱柱和一个正四棱柱的组 合体符合要求; 选项 D 如果可能的话, 则这个空间几何体是一个正三棱柱和一个正四棱柱的 组合体, 其正视图中上面矩形的底边是三棱柱的底面边长, 但侧视图中上面矩形的底面边长 是三棱柱底面三角形的高,故只有选项 D 中的不可能. 由三视图还原空间几何体 [例 3] (1)如图所示的三视图表示的几何体是什么?画出物体的形状.

(1)

(2)

(3)

[解] (1)该三视图表示的是一个四棱台,如图: (2)由俯视图可知该几何体是多面体, 结合正视图、 侧视图可知该几何体是正六棱锥. 如 图:

(3)由于俯视图有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合 体,结合侧视图和正视图,可知该几何体上面是一个圆柱,下面是一个四棱柱,所以该几何 体的形状如图所示.

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[类题通法] 由三视图还原几何体时, 一般先由俯视图确定底面, 由正视图与侧视图确定几何体的高 及位置,同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状. [活学活用] 3.根据图中的物体的三视图,画出物体的形状. (1)

(2)

解:(1)由三视图可知,下面为棱柱、上面为正方体,故表示物体的 实物图形如图. (2)由三视图可知,上面为半球,下面为三棱柱,如图.

2.画几何体的三视图常见误区

[典例] 某几何体及其俯视图如图所示, 下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确
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的是(

)

[解析] 该几何体是由圆柱切割而得, 由俯视图可知正视方向和侧视 方向,进一步可画出正视图和侧视图(如图所示),故选 A.

[答案] A [易错防范] 1. 易忽视组合体的结构特征是由圆柱切割而得到和正视方向与侧视方向的判断而出错. 2.三种视图中,可见的轮廓线都画成实线,存在但不可见的轮廓线一定要画出,但要 画成虚线.画三视图时,一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线,避免出现错误. [成功破障] 沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示,它的俯视图是( )

解析:选 D 从上面看依然可得到两个半圆的组合图形,注意看得到的棱画实线.

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[随堂即时演练] 1.(2012·福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体 不可以是( A.球 C.正方体 ) B.三棱锥 D.圆柱

解析:选 D 球的三视图都是圆;三棱锥的三视图可以都是全等的三角形;正方体的三 视图都是正方形;圆柱的底面放置在水平面上,则其俯视图是圆,正视图是矩形,故应选 D. 2.以下关于投影的叙述不 正确的是( . A.手影就是一种投影 B.中心投影的投影线相交于点光源 C.斜投影的投影线不平行 D.正投影的投影线和投影面垂直 解析:选 C 平行投影的投影线互相平行,分为正投影和斜投影两种,故 C 错. 3.下图中三视图所表示几何体的名称为________. )

解析:由三视图可知,该几何体为圆柱,且圆柱的底面在正前面. 答案:圆柱 4.直线的平行投影可能是________. 答案:直线或点 5.画出如图所示几何体的三视图.

解:图①为正六棱柱,可按棱柱的画法画出;图②为一个圆锥与一个圆台的组合体,按 圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状.三视图如图所示.

29

[课时达标检测] 一、选择题 1.下列说法正确的是( )

A.矩形的平行投影一定是矩形 B.梯形的平行投影一定是梯形 C.两条相交直线的平行投影可能平行 D.若一条线段的平行投影是一条线段,则中点的平行投影仍为这条线段投影的中点 解析:选 D 对于 A,矩形的平行投影可以是线段、矩形、平行四边形,主要与矩形的 放置及投影面的位置有关;同理,对于 B,梯形的平行投影可以是梯形或线段;对于 C,平 行投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线;D 正确. 2.四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下,在地面上的投影(阴影部分)效果如 图,则在字母 L,K,C 的投影中,与字母 N 属同一种投影的有( )

解析:选 A N 和 L,K 属中心投影,C 属平行投影. 3.(2011·江西高考)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所 示,则该几何体的侧视图为( )

解析:选 D 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线,它们在右 侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合, 另一条为体对角线, 它在右侧面上的投影与 右侧面的对角线重合,对照各图可知选 D. 4.如图所示,在这 4 个几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

30

A.①② C.①④

B.①③ D.②④

解析:选 D ①正方体的正视图、侧视图、俯视图都是正方形; ②圆锥的正视图、侧视图、俯视图依次为:三角形、三角形、圆及圆心; ③三棱台的正视图、侧视图、俯视图依次为:梯形、梯形(两梯形不同)、三角形(内外 两个三角形,且对应顶点相连); ④正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图依次为:三角形、三角形、正方形及中心. 5. (2012·陕西高考)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥, 得到图 2 所示的几何体, 则该几何体的左视图为( )

解析:选 B 左视图中能够看到线段 AD1,画为实线,看不到线段 B1C,画为虚线,而且

AD1 与 B1C 不平行,投影为相交线.
二、填空题 6.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体是由(简单几何体)________与________ 组成的.

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解析:由三视图可得,几何体为一四棱台和长方体的组合体. 答案:四棱台 长方体 7.如图甲所示,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AA1,C1D1 的中点,G 是正方形

BCC1B1 的中心,则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的________.

解析:在面 ABCD 和面 A1B1C1D1 上的投影是图乙(1);在面 ADD1A1 和面 BCC1B1 上的投影是 图乙(2);在面 ABB1A1 和面 DCC1D1 上的投影是图乙(3). 答案:(1)(2)(3) 8.两条平行线在一个平面内的正投影可能是________. ①两条平行线; ②两个点; ③两条相交直线; ④一条直线和直线外的一点; ⑤一条直线. 解析:如图,在正方体 A1B1C1D1?ABCD 中,直线 A1B1∥C1D1,它们在平面 ABCD 内的投影为

AB,CD,且 AB∥CD,故①正确;它们在平面 BCC1B1 内的正投影是点 B1 和点 C1,故②正确;
取 A1D1 的中点 E,B1C1 的中点 F, 连接 EF,则 EF∥D1C1 且 EF 与 D1C1 在平面 ABB1A1 内的投影是同一直线 A1B1,故⑤正确, 故填①②⑤.

答案:①②⑤ 三、解答题 9.如图所示,画出下列组合体的三视图.

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解:三视图如图①②所示.

10.某组合体的三视图如图所示,试画图说明此组合体的结构特征.

解:该三视图表示的是组合体,如图所示,是 7 个小正方体拼接而成的 组合体.

33

1.2.3 空间几何体的直观图

[提出问题] 美术与数学,一个属于艺术,一个属于科学,看似毫无关系,但事实上这两个学科之间 有着千丝万缕的联系,在美术画图中,空间图形或实物在画板上画得既富有立体感,又能表 达出各主要部分的位置关系和度量关系. 问题 1:在画实物图的平面图形时,其中的直角在图中一定画成直角吗? 提示:为了直观,不一定. 问题 2:正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么?为什么? 提示:平行四边形、扁圆形,为增加直观性. 问题 3:这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗? 提示:不相同. [导入新知] 1.用斜二测画法画平面图形的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们画 成对应的 x′轴和 y′轴, 两轴 相交于点 O′,且使∠x′O′y′=45°(或 135°),它们确定的平面表示水平面. (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段, 在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的 线段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段, 长度变为原来的一半. 2.用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 (1)画底面,这时使用平面图形的斜二测画法即可. (2)画 z′轴, z′轴过点 O′, 且与 x′轴的夹角为 90°, 并画出高线(与原图高线相等, 画正棱柱时只需要画侧棱即可),连线成图. (3)擦去辅助线,被遮线用虚线表示. [化解疑难] 1.画水平放置的平面图形的直观图,关键是确定多边形顶点的位置,借助于平面直角 坐标系确定顶点后,只需把这些顶点顺次连接即可. 2.用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变,垂线长减半,直角画 45°(或 135°).
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水平放置的平面图形的直观图 [例 1] 按图示的建系方法,画水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图.

[解] 画法: (1)在图(1)中作 AG⊥x 轴于 G,作 DH⊥x 轴于 H. (2)在图(2)中画相应的 x′轴与 y′轴,两轴相交于点 O′,使∠x′O′y′=45°. (3)在图(2)中的 x′轴上取 O′B′=OB,O′G′=OG,O′C′=OC,O′H′=OH,y′ 1 轴上取 O′E′= OE,分别过 G′和 H′作 y′轴的平行线,并在相应的平行线上取 G′A′ 2 1 1 = GA,H′D′= HD. 2 2 (4)连接 A′B′,A′E′,E′D′,D′C′,并擦去辅助线 G′A′,H′D′,x′轴与

y′轴,便得到水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图 A′B′C′D′E′(如图(3)).

[类题通法] 1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面 多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点. 2.画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行 的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段. [活学活用] 1.如图是水平放置的由正方形 ABCE 和正三角形 CDE 所构成的平面图形, 请 画出它的直观图. 解:画法:(1)以 AB 边所在直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴,两轴相交于 点 O(如图(1)),画相应的 x′轴和 y′轴,两轴相交于点 O′,使∠x′O′y′ =45°(如图(2)); (2)在图(2)中,以 O′为中点,在 x′轴上截取 A′B′=AB;分别过 A′,B′作 y′轴 1 1 1 的平行线,截取 A′E′= AE,B′C′= BC;在 y′轴上截取 O′D′= OD. 2 2 2
35

(3)连接 E′D′, D′C′, C′E′, 并擦去辅助线 x′轴和 y′轴, 便得到平面图形 ABCDE 水平放置的直观图 A′B′C′D′E′(如图(3)).

空间几何体的直观图

[例 2] 用斜二测画法画棱长为 2 cm 的正方体 ABCD?A′B′C′D′的直观图. [解] 画法:(1)画轴.如图①,画 x 轴、y 轴、z 轴,三轴相交于点 O,使∠xOy=45°, ∠xOz=90°. (2)画底面.以点 O 为中心,在 x 轴上取线段 MN,使 MN=2 cm;在 y 轴上取线段 PQ, 使 PQ=1 cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线,过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线,设它们的交点 分别为 A、B、C、D,四边形 ABCD 就是正方体的底面 ABCD. (3)画侧棱.过 A、B、C、D 各点分别作 z 轴的平行线,并在这些平行线上分别截取 2 cm 长的线段 AA′、BB′、CC′、DD′. (4)成图.顺次连接 A′、B′、C′、D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分 改为虚线),就得到正方体的直观图(如图②).

[类题通法] 画空间图形的直观图的原则 (1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系 Oxyz,并且把它们画成对应的 x′轴与 y′ 轴,两轴交于点 O′,且使∠x′O′y′=45°(或 135°),它们确定的平面表示水平面,再 作 z′轴与平面 x′O′y′垂直. (2)作空间图形的直观图时平行于 x 轴的线段画成平行于 x′轴的线段并且长度不变. (3)平行于 y 轴的线段画成平行于 y′轴的线段,且线段长度画成原来的二分之一. (4)平行于 z 轴的线段画成平行于 z′轴的线段并且长度不变. [活学活用]
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2.如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

解:(1)画轴.如下图①,画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一个正四棱台,上部 是一个正四棱锥,利用斜二测画法画出底面 ABCD,在 z 轴上截取 OO′,使 OO′等于三视图 中相应高度,过 O′作 Ox 的平行线 O′x′,Oy 的平行线 O′y′,利用 O′x′与 O′y′画 出上底面 A′B′C′D′. (3)画正四棱锥顶点.在 Oz 上截取点 P,使 PO′等于三视图中相应的高度. (4)成图.连接 PA′,PB′,PC′,PD′,A′A,B′B,C′C,D′D,整理得到三视图 表示的几何体的直观图,如下图②.

直观图的还原和计算问题

[例 3] 如图所示, 梯形 A1B1C1D1 是一平面图形 ABCD 的直观图. 若

A1D1∥O′y′,A1B1∥C1D1,A1B1= C1D1=2,A1D1=O′D1=1.
试画出原四边形的形状,并求原图形的面积. [解] 如图,建立直角坐标系 xOy,在 x 轴上截取 OD=O′D1=1;OC=O′C1=2.

2 3

在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA=2D1A1=2. 在过点 A 的 x 轴的平行线上截取 AB=A1B1=2. 连接 BC,即得到了原图形(如图). 由作法可知,原四边形 ABCD 是直角梯形,上、下底长度分别为 AB=2,CD=3,直角腰 长度为 AD=2.
37

2+3 所以面积为 S= ×2=5. 2 [类题通法] 由直观图还原为平面图的关键是找与 x′轴, y′轴平行的直线或线段, 且平行于 x′轴 的线段还原时长度不变,平行于 y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的 2 倍,由 此确定图形的各个顶点,顺次连接即可. [活学活用] 3.如图所示,将水平放置的直观图 A′B′C′D′还原为平面图形.

解:(1)如下图①,在水平放置的直观图中延长 D′A′交 O′x′轴于点 E′. (2)如下图②,画互相垂直的轴 Ox,Oy,取 OE=O′E′,

过 E 作 EF∥Oy,在 EF 上截取 AE=2A′E′,DE=2D′E′,然后分别过 A,D 作 AB∥Ox,

DC∥Ox,并使 AB=DC=A′B′.
(3)连接 AB,BC,CD,得直观图 A′B′C′D′的还原图形. 综上可知,此水平放置的直观图是矩形.

3.解答平面图形直观图还原问题的易错点

[典例] (2012·温州高一检测)一梯形的直观图是一个如图所示的等 腰梯形,且梯形 OA′B′C′的面积为 2,则原梯形的面积为( A.2 C.2 2 B. 2 D.4 )

38

[解析] 如图,由斜二测画法原理知, 原梯形与直观图中的梯形上、 下底边的长度是一样的, 不 一样的是两个梯形的高. 原梯形的高 OC 是直观图中 OC′长度的 2 倍, OC′的长度 是直观图中梯形的高的 2倍, 由此知原梯形的高 OC 的长度是直观图中梯形高的 2 2倍, 故其面积是梯形 OA′B′C′ 面积的 2 2倍,梯形 OA′B′C′的面积为 2,所以原梯形的面积是 4. [答案] D [易错防范] 1.原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样,但高的长度不一样.原梯形的高 OC 是直观图中 OC′的长度的 2 倍,OC′长度是直观图中梯形的高的 2倍,此处易出错. 2. 解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化, 直观图面积 S′与原图形面积 S 满足 S′= 2 S. 4

[成功破障] 如图所示, △A′O′B′表示水平放置的△AOB 的直观图, B′在 x′轴上, A′O′和 x′ 轴垂直,且 A′O′=2,则△AOB 的边 OB 上的高为( )

A.2 C.2 2

B.4 D.4 2

解析:选 D 由直观图与原图形中边 OB 长度不变, 得 S 原图形=2 2S 直观图, 1 1 得 ·OB·h=2 2× ×2·O′B′, 2 2 ∵OB=O′B′,∴h=4 2.

[随堂即时演练] 1.关于斜二测画法,下列说法不 正确的是( . )

A.原图形中平行于 x 轴的线段,其对应线段平行于 x′轴,长度不变
39

1 B.原图形中平行于 y 轴的线段,其对应线段平行于 y′轴,长度变为原来的 2 C.在画与直角坐标系 xOy 对应的坐标系 x′O′y′时,∠x′O′y′必须是 45° D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 解析:选 C 斜二测作图时,∠x′O′y′也可为 135°,故 C 错. 2.有下列叙述: ①相等的角,在直观图中仍相等; ②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等; ③若两条线段平行,在直观图中对应的线段仍平行; ④若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直. 其中正确的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:选 B 从原图到直观图只能保证平行的仍平行,故只有③正确. 3.已知△ABC 的直观图如图所示,则原△ABC 的面积为________. 解析:由题意,易知在△ABC 中,AC⊥AB,且 AC=6,AB=3. 1 ∴S△ABC= ×6×3=9. 2 答案:9 4.如图所示,一个水平放置的正方形 ABCD,它在直角坐标系 xOy 中, 点 B 的 坐 标 为 (2,2) , 则 在 用 斜 二 测 画 法 画 出 的 正 方 形 的 直 观 图

A′B′C′D′中,顶点 B′到 x′轴的距离为________.
解析:正方形的直观图 A′B′C′D′如图:

因为 O′A′=B′C′=1, ∠B′C′x′=45°, 所以顶点 B′到 x′轴的距离为 1×sin 45°= 2 . 2 2 2

答案:

5.画边长为 1 cm 的正三角形的水平放置的直观图. 解:(1)如图所示,以 BC 边所在直线为 x 轴,以 BC 边上的高线 AO 所在直线为 y 轴,再 画对应的 x′轴与 y′轴,两轴相交于点 O′,使∠x′O′y′=45°.

40

(2)在 x′轴上截取 O′B′=O′C′=0.5 cm, 1 3 在 y′轴上截取 O′A′= AO= cm,连接 A′B′,A′C′,则△A′B′C′即为正三 2 4 角形 ABC 的直观图. [课时达标检测] 一、选择题 1.如图所示为某一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的( )

解析:选 A 由直观图知,原四边形一组对边平行且不相等,为梯形,且梯形两腰不能 与底垂直. 2.水平放置的△ABC,有一边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形 A′B′C′, 则△ABC 是( ) B.直角三角形 D.任意三角形

A.锐角三角形 C.钝角三角形

解析:选 C 如下图所示,斜二测直观图还原为平面图形,故△ABC 是钝角三角形.

3.如图所示的正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm,它是水平放 置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( A.6 cm B.8 cm C.(2+3 2) cm D.(2+2 3) cm 解析:选 B 直观图中,O′B′= 2,原图形中 OC=AB= ?2 2? +1 =3,OA=BC =1,
41
2 2

)

∴原图形的周长是 2×(3+1)=8. 4.如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC 的直观图,则在△ABC 的三边及中线 AD 中,最长的线段是( A.AB C.BC ) B.AD D.AC

解析:选 D 还原△ABC,即可看出△ABC 为直角三角形,故其斜边 AC 最长. 5.已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么正三角形 ABC 的直观图△A′B′C′的面积是 ( ) A. C. 3 2 a 4 6 2 a 8 B. D. 3 2 a 8 6 2 a 16

解析:选 D 如图①为实际图形,建立如图所示的平面直角坐标系 xOy.

如图②,建立坐标系 x′O′y′,使∠x′O′y′=45°,由直观图画法知:A′B′=

AB=a, O′C′= OC=

1 2

3 2 6 a, 过 C′作 C′D′⊥O′x′于 D′, 则 C′D′= O′C′= a. 4 2 8

1 1 6 6 2 所以△A′B′C′的面积是 S= ·A′B′·C′D′= ·a· a= a . 2 2 8 16 二、填空题 6.如图,水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A′B′C′,已知 A′C′=6,

B′C′=4,则 AB 边的实际长度是________.

解析:易知 AC⊥BC,且 AC=6,BC=8,∴AB 应为 Rt△ABC 的斜边,故 AB= AC +BC = 10. 答案:10 7.(2012·杭州检测)如图 Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,直角边 O′B′=1, 则这个平面图形的面积是________.

2

2

42

解析: ∵O′B′=1, ∴O′A′= 2, ∴在 Rt△OAB 中, ∠AOB=90°, OB=1, OA=2 2, 1 ∴S△AOB= ×1×2 2= 2. 2 答案: 2 8 .(2012·石家庄高一检测 ) 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形

ABCD,如图所示,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,原平面图形的面积为________.

解析:过 A 作 AE⊥BC,垂足为 E.又∵DC⊥BC 且 AD∥BC,∴ADCE 是矩形,∴EC=AD= 1.由∠ABC=45°,AB=AD=1 知 BE= 和 1+ 2 ,∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为 1 2

2 1 2 2 ,高为 2,∴原平面图形的面积为 ×(1+1+ )×2=2+ . 2 2 2 2

答案:2+

2 2

三、解答题 9.如图,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复成原图形.

解:画法:(1)如图②,画直角坐标系 xOy,在 x 轴上取 OA=O′A′,即 CA=C′A′;

(2)在图①中,过 B′作 B′D′∥y′轴,交 x′轴于 D′,在图②中,在 x 轴上取 OD=

O′D′,过 D 作 DB∥y 轴,并使 DB=2D′B′.
(3)连接 AB,BC,则△ABC 即为△A′B′C′原来的图形,如图②. 10.已知某几何体的三视图如下,请画出它的直观图(单位:cm).
43

解:画法:

1.3 空间几何体的表面积和体积

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积

[提出问题] 北京奥运会的重要前奏是奥运圣火的传递,圣火由“祥云”火炬承载, 传遍五洲四海,宏扬奥林匹克精神.“祥云”火炬外型是细长的圆台形式, 长 72 cm,重 985 克,燃料为丙烷. 问题 1:能否计算出“祥云”火炬的外层着色需要覆盖多大的面积? 提示:可以,即计算圆台的表面积. 问题 2:能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷?
44

提示:可以,即计算其容积. [导入新知] 1.几种几何体的表面积公式 图形 表面积公式

多面体

多面体的表面积就是各个面的面积的和, 也 就是展开图的面积

底面积:S 底=π r 圆柱

2

侧面积:S 侧=2π rl 表面积:S=2π rl+2π r 底面积:S 底=π r
2 2

旋转 体

圆锥

侧面积:S 侧=π rl 表面积:S=π rl+π r
2

上底面面积:S 上底=π r′ 圆台 下底面面积:S 下底=π r
2

2

侧面积:S 侧=π l(r+r′) 表面积:S=π (r′ +r +r′l+rl)
2 2

2.柱体的体积公式 V=Sh(S 为底面面积,h 为高) 1 锥体的体积公式 V= Sh(S 为底面面积,h 为高) 3 1 台体的体积公式 V= (S′+ S′S+S)h 3 [化解疑难] 对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同. (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出,等底、等高的圆柱 的体积是圆锥的体积的 3 倍. (3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系.

S′=S

V=Sh
?

1 )V= (S′+ S′S+S)h 3

S′=0

?

1 )V= Sh 3

45

柱、锥、台的表面积

[ 例 1] ________.

(2012· 安 徽 高 考 ) 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 该 几 何 体 的 表 面 积 是

[ 解析 ]

由三视图,画出几何体的直观图易求得基本量,如图所示,其表面积 S =

?2+5?×4 ×2+4×(2+4+5+5)=28+64=92. 2

[答案] 92 [类题通法] 1.求几何体的表面积问题,通常将所给几何体分成基本几何体,再通过这些基本几何 体的表面积进行求和或作差, 从而获得几何体的表面积, 另外有时也会用到将几何体展开求 其展开图的面积进而得表面积. 2.结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点,解决此类问题的关键是正确地观察 三视图,把它还原为直观图,特别要注意从三视图中得到几何体的相关量,再结合表面积公 式求解. [活学活用] 1.圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°,求圆台的表面积. 解: 如图所示, 设圆台的上底面周长为 c cm, 由于扇环的圆心角是 180°, 则 c=π ·SA =2π ×10,解得 SA=20(cm).

46

同理可得 SB=40(cm), 所以 AB=SB-SA=20(cm). 所以 S 表=S 侧+S 上+S 下 =π ×(10+20)×20+π ×10 +π ×20 =1 100π (cm ). 柱、锥、台的体积 [例 2] 已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形,侧面 是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积. [解] 如图所示,在三棱台 ABC?A′B′C′中,O′、O 分别为上、 下底面的中心,D、D′分别是 BC、B′C′的中心,则 DD′是等腰梯形
2 2 2

BCC′B′的高,
1 所以,S 侧=3× ×(20+30)×DD′=75DD′. 2 又 A′B′=20 cm,AB=30 cm,则上、下底面面积之和为

S 上+S 下=

3 2 2 2 ×(20 +30 )=325 3(cm ). 4

由 S 侧=S 上+S 下,得 75DD′=325 3, 13 所以,DD′= 3(cm). 3 又∵O′D′= 3 10 3 ×20= (cm), 6 3

OD=

3 ×30=5 3(cm), 6
2 2

∴棱台的高 h=O′O= D′D -?OD-O′D′? = ?

13 3 2 10 3 2 ? -?5 3- ? =4 3(cm), 3 3

由棱台的体积公式,可得棱台的体积为

h V= (S 上+S 下+ S上S下)
3 = 4 3 3 ×(325 3+ ×20×30) 3 4
3

=1 900(cm ). [类题通法] 求几何体的体积时,要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时),准确求出几 何体的高和底面积; 同时, 对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为

47

柱、锥、台体的体积计算问题. [活学活用] 2.已知圆台的高为 3,在轴截面中,母线 AA1 与底面圆直径 AB 的夹角为 60°,轴截面 中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积. 解:如图所示,作轴截面 A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母 线长分别为 r、R,l,高为 h. 作 A1D⊥AB 于点 D,则 A1D=3. 又∵∠A1AB=60°,∴AD= , tan 60° 即 R-r=3× 3 ,∴R-r= 3. 3

A1D

又∵∠BA1A=90°,∴∠BA1D=60°. ∴BD=A1D·tan 60°,即 R+r=3× 3, ∴R+r=3 3,∴R=2 3,r= 3,而 h=3, 1 2 2 ∴V 圆台= π h(R +Rr+r ) 3 1 2 2 = π ×3×[(2 3) +2 3× 3+( 3) ] 3 =21 π . 所以圆台的体积为 21 π . 简单组合体的表面积和体积 [例 3] 已知△ABC 的三边长分别是 AC=3,BC=4,AB=5,以 AB 所在直线为轴,将此 三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积. [解] 如图,在△ABC 中,过 C 作 CD⊥AB,垂足为 D. 由 AC=3,BC=4,AB=5, 知 AC +BC =AB ,则 AC⊥BC. ∵BC·AC=AB·CD, 12 12 ∴CD= , 记为 r= , 那么△ABC 以 AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆 5 5 12 锥,且底半径 r= , 5 母线长分别是 AC=3,BC=4, 12 84 所以 S 表面积=π r·(AC+BC)=π × ×(3+4)= π , 5 5
2 2 2

V= π r2(AD+BD)= π r2·AB

1 3

1 3

48

1 48 ?12?2 = π ×? ? ×5= π . 3 5 ?5? 84 48 所以,所求旋转体的表面积是 π ,体积是 π . 5 5 [类题通法] 求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式, 对于与旋转体有关的组合体问题, 要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长, 再 分别代入公式求解. [活学活用] 3.(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )

A.12π C.57π

B.45π D.81π

解析:选 C 由三视图可知,该几何体是由底面直径为 6,高为 5 的圆柱与底面直径为 1 2 2 2 2 6,母线长为 5 的圆锥组成的组合体,因此,体积为 V=π ×3 ×5+ ×π ×3 × 5 -3 = 3 57π .

4.求几何体表面积、体积考虑不全面

[典例] 把长、宽分别为 4、2 的矩形卷成一个圆柱的侧面,求这个圆柱的体积. 2 [解] 设圆柱的底面半径为 r,母线长为 l,高为 h.当 2π r=4,l=2 时,r= ,h= π

l=2,所以 V 圆柱=π r2h= .

8 π

49

1 4 2 当 2π r=2,l=4 时,r= ,h=l=4,所以 V 圆柱=π r h= . π π 8 4 综上所述,这个圆柱的体积为 或 . π π

[易错防范] 把矩形卷成圆柱时,可以以 4 为底,2 为高;也可以以 2 为底,4 为高.容易漏掉一种 情况,解决此类问题一定要考虑全面. [成功破障] 如图,从底面半径为 2a,高为 3a 的圆柱中,挖去一个底面半径为 a 且与圆柱等高的圆锥,求圆柱的表面积 S1 与挖去圆锥后的几何体的表面积 S2 之比. 解:由题意知,S1=2π ·2a· 3 a+2π ·(2a) =(4 3 +8)π a ,S2=S1+π a·(2a) -π a =(4 3+9)π a . ∴S1∶S2=(4 3+8)∶(4 3+9).
2 2 2 2

[随堂即时演练] 1.若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为( A.1∶2 C.1∶ 5 B.1∶ 3 D. 3∶2 )

解析:选 C 设圆锥底面半径为 r,则高 h=2r, ∴其母线长 l= 5r. ∴S 侧=π rl= 5π r ,S 底=π r . 2.若长方体的长、宽、高分别为 3 cm、4 cm、5 cm,则长方体的体积为( A.27 cm C.64 cm
3 2 2

)

B.60 cm

3

3

D.125 cm

3

解析:选 B 长方体即为四棱柱,其体积为底面积×高,即为 3×4×5=60 cm . 3.若圆锥的侧面展开图为一个半径为 2 的半圆,则圆锥的体积是________. 1 解析:易知圆锥的母线长为 2,设圆锥的半径为 r,则 2π r= ×2π ·2, 2 ∴r=1,则高 h=

3

l2-r2=

3.

50

1 1 3 2 ∴V 圆锥= π r · h= π × 3= π . 3 3 3 答案: 3 π 3

4 .圆台的上、下底面半径和高的比为 1 ∶ 4 ∶ 4 ,母线长为 10 ,则圆台的侧面积为 ________. 解析:已知圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4,母线长为 10,设圆台上底面的 半径为 r, 则下底面半径和高分别为 4r 和 4r, 由 100=(4r) +(4r-r) ,得 r=2, 故圆台的侧面积等于 π (r+4r)l=π (2+8)×10=100π . 答案:100π
2 2

5.一个正三棱柱的三视图如图所示(单位:cm),求这个正三棱柱的 表面积与体积. 解:由三视图知直观图如图所示,则高 AA′=2 cm,底面高 B′D′ =2 3 cm,

所以底面边长 A′B′=2 3×

2 3

=4 cm.

1 2 一个底面的面积为 ×2 3×4=4 3 cm . 2 所以 S 表面积=2×4 3+4×2×3=(24+8 3) cm ,
2

V=4 3×2=8 3 cm3.
所以表面积为(24+8 3) cm ,体积为 8 3 cm . [课时达标检测] 一、选择题 1.(2012·深圳高一检测)如图,ABC-A′B′C′是体积为 1 的棱柱, 则四棱锥 C-AA′B′B 的体积是( A. 1 3 ) B. 1 2
2 3

51

C.

2 3

D.

3 4

1 1 解析:选 C ∵VC-A′B′C′= V 柱= , 3 3 1 2 ∴VC-AA′B′B=1- = . 3 3 2.(2012·许昌高一检测)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4π ,那么圆柱的体 积等于( A.π C.4π ) B.2π D.8π

解析:选 B 设圆柱的底面半径为 r,则圆柱的母线长为 2r, 由题意得 S 圆柱侧=2π r×2r=4π r =4π , 所以 r=1,所以 V 圆柱=π r ×2r=2π r =2π . 3.(2012·新课标全国高考)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几 何体的三视图,则此几何体的体积为( )
2 3 2

A.6 C.12

B.9 D.18

解析: 选 B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角 1 1 形,高为 3 的三棱锥,其体积为 × ×6×3×3=9. 3 2 4. (2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为( )

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

解析:选 C 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱,底面等腰梯形的上底
52

1 边长为 2, 下底边长为 4, 高为 4, 两底面积和为 2× ×(2+4)×4=24, 四个侧面面积为 4×(4 2 +2+2 17)=24+8 17,所以几何体的表面积为 48+8 17. 5.(2011·湖南高考)设图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

9 A. π +12 2 C.9π +42 解析:选 B 9π 2 3 ×2= +18. 2 二、填空题

9 B. π +18 2 D.36π +18 由三视图可判断此几何体是球与长方体的组合体,其体积 V= 4π 3

?3?3+ ?2? ? ?

6. 如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a = ________. 解析:由三视图可知几何体为一个直三棱柱,底面三角形中边长 为 2 的边上的高为 a,

?1 ? 则 V=3×? ×2×a?=3 3, ?2 ?
所以 a= 3. 答案: 3 7.(2012·山东高考)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E、

F 分别为线段 AA1、B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为________.
1 1 解析:因为 E 点在线段 AA1 上,所以 S△DED1= ×1×1= .又因为 2 2

F 点在线段 B1C 上,所以点 F 到平面 DED1 的距离为 1,即 h=1,所以 VD1-EDF=VF-DED1=
1 1 1 ×S△DED1×h= × ×1= . 3 2 6 1 答案: 6

1 3

8.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为 8 cm 和 18 cm,侧棱长为 13
53

cm,则其表面积为________. 解析:由已知可得正四棱台侧面梯形的高为 h= 所以 S
2

13 -?
2

?18-8?2=12 (cm), ? ? 2 ?
2 下底



1 2 =4× ×(8+18)×12=624 (cm ),S 2

上底

=8×8=64(cm ),S

=18×18=

324(cm ),于是表面积为 S=624+64+324=1 012(cm ). 答案:1 012 cm 三、解答题 9.如图是某几何体的三视图.
2

2

(1)画出它的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积和体积. 解:(1)这个几何体的直观图如图所示. (2)这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆柱(底面半径为 1,高为 2),它的上部是一个圆锥(底面半径为 1,母线长为 2,高为 3),所以所求表面积 为 S=π ×1 +2π ×1×2+π × 1 3 2 2 1×2=7π ,体积为 V=π ×1 ×2+ ×π ×1 × 3=2π + π . 3 3 10.已知正三棱锥 V-ABC 的正视图、俯视图如图所示,其中 VA=4,AC=2 3,求该三 棱锥的表面积.
2

解:由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示, 且 VA=VB=VC=4,AB=BC=AC=2 3. 取 BC 的中点 D,连接 VD, 则 VD⊥BC,有

VD=

VB2-BD2=

4 -? 3? = 13,
54

2

2

1 1 则 S△VBC= ×VD×BC= × 13×2 3= 39, 2 2

S△ABC= ×(2 3)2×

1 2

3 =3 3, 2

所以,三棱锥 V-ABC 的表面积为 3S△VBC+S△ABC=3 39+3 3=3( 39+ 3).

1.3.2 球的体积和表面积

[提出问题] 从生活经验中我们知道,不能将橘子皮展成平面,因为橘子皮近似于球面,这种曲面不 能展成平面图形.那么,人们又是怎样计算球面的面积的呢?古人在计算圆周率时,一般是 用割圆术,即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.理论上,只要取得圆内接正多边 形的边数越多,圆周率越精确,直到无穷.这种思想就是朴素的极限思想. 问题 1:运用上述思想能否计算球的表面积和体积? 提示:可以. 问题 2:求球的表面积和体积需要什么条件? 提示:已知球的半径即可. [导入新知] 1.球的体积 4 3 设球的半径为 R,则球的体积 V= π R . 3 2.球的表面积 设球的半径为 R,则球的表面积 S=4π R ,即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍. [化解疑难] 1.一个关键 4 2 3 把握住球的表面积公式 S 球=4π R ,球的体积公式 V 球= π R 是计算球的表面积和体积 3 的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就 迎刃而解了. 2.两个结论
55
2

(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方. (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方.

球的体积与表面积 [例 1] 若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,求圆锥侧面积与球 面面积之比. [解] 设圆锥的底面半径为 r,高为 h,母线长为 l,球的半径为 R, 1 4 ? ? π r2·h= π R3 3 则由题意得?3 ? ?r=2R 1 4 2 3 ∴ π (2R) ·h= π R ,∴R=h,r=2h, 3 3 ∴l=

r2+h2=

5h,
2 2 2

∴S 圆锥侧=π rl=π ×2h× 5h=2 5π h ,S 球=4π R =4π h ,

S圆锥侧 2 5π h2 5 ∴ = . 2 = S球 4π h 2
[类题通法] 求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积,必须知道半径 R 或者通过条件能求出半径 R,然后代入体 积或表面积公式求解. (2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题 目也就易如反掌了. [活学活用] 32π 1.球的体积是 ,则此球的表面积是( 3 A.12π C. 16π 3 )

B.16π D. 64π 3

4 32π 3 解析:选 B 设球的半径为 R,则由已知得 π R = ,解得 R=2. 3 3 故球的表面积 S 表=4π R =16π . 根据三视图计算球的体积与表面积
2

56

[例 2] 一个几何体的三视图(单位: cm)如图所示, 则该几何体的表面积是________cm .

2

[解析]

由三视图知该几何体为一个四棱柱、 一个半圆柱和一个半球的组合体, 其中

1 π 2 四棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为 1×2- ×π ×1 =2- , 四棱柱中不重合的表 2 2 π π 1 1 面积为 2- +1×2×2+2×2+1×2=12- ,半圆柱中不重合的表面积为 ×2π ×2+ 2 2 2 2 5 1 π = π ,半球的表面积为 ×4π =2π ,所以该几何体的表面积为 4π +12. 2 2 [答案] 4π +12 [类题通法] 1.由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积,最重要的是还原组合 体, 并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义. 根据球与球的组合体的结构特征及数 据计算其表面积或体积.此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆. 2.计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接,避免重叠和交叉. [活学活用] 2.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )

A.18π C.33π

B.30π D.40π

解析: 选 C 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成. 球半径和圆锥底面半径都等于 3, 圆锥的母线长等于 5,所以该几何体的表面积 S=2π ×3 +π ×3×5=33π . 球的截面问题 [例 3] 已知球的两平行截面的面积为 5π 和 8π ,它们位于球心的同一侧,且相距为 1,求这个球的表面积.
2

57

[解] 如图所示,设以 r1 为半径的截面面积为 5π ,以 r2 为半径的截 面面积为 8π ,O1O2=1,球的半径为 R,OO2=x,那么可得下列关系式:
2 2 2 2 2 r2 2=R -x 且 π r2=π (R -x )=

8π ,
2 2 2 2 2 r2 1=R -(x+1) 且 π r1=π [R -(x+1) ]=5π ,

于是 π (R -x )-π [R -(x+1) ]=8π -5π , 即 R -x -R +x +2x+1=3,∴2x=2,即 x=1. 又∵π (R -x )=8π ,∴R -1=8,R =9,∴R=3. 球的表面积为 S=4π R =4π ×3 =36π . [类题通法] 球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题. (2)解题时要注意借助球半径 R, 截面圆半径 r, 球心到截面的距离 d 构成的直角三角形, 即 R =d +r . [活学活用]
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

3.已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且 AC=BC=6,

AB=4,求球的表面积与球的体积.
解:如图,设球心为 O,球半径为 R,作 OO1 垂直平面 ABC 于 O1,

由于 OA=OB=OC=R, 则 O1 是△ABC 的外心. 设 M 是 AB 的中点, 由于 AC=BC,则 O1 在 CM 上. 设 O1M=x,易知 O1M⊥AB, 设 O1A= 2 +x ,
2 2

O1C=CM-O1M= 62-22-x.
又 O1A=O1C,∴ 2 +x = 6 -2 -x. 7 2 9 2 解得 x= .则 O1A=O1B=O1C= . 4 4
2 2 2 2

58

在 Rt△OO1A 中,O1O= ,∠OO1A=90°,OA=R. 2

R

R 2 9 2 2 2 由勾股定理得( ) +( ) =R . 2 4
3 6 解得 R= . 2 4 2 3 故 S 球=4π R =54π ,V 球= π R =27 6π . 3

1.探究与球有关的组合问题

[典例] (2013·济宁高一检测)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上, 且一个顶 点上的三条棱的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为________. [解析] 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长,即 2R= 1 +2 +3 = 14,所 以球的表面积 S=4π R =14π . [答案] 14π [多维探究] 1.球的内接正方体问题 若棱长为 2 的正方体的各个顶点均在同一球面上,求此球的体积. 解:正方体的外接球直径等于正方体的对角线长, 即 2R= 3×2,所以 R= 3 4 3 所以 V 球= ·π ·( 3) =4 3π . 3 2.球内切于正方体问题 将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为( A. C. 4π 3 3π 2 B. D. π 6 2π 3 )
2 2 2 2

解析:选 A 由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正

59

4 4π 3 方体的棱长是相等的,故可得球的直径为 2,故半径为 1,其体积是 ×π ×1 = . 3 3 3.球的内接正四面体问题 若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上,求球的表面积. 解:把正四面体放在正方体中,设正方体棱长为 x,则 a= 2x, 由题意 2R= 3x= 3× 2a 6 = a, 2 2

6 3 2 ∴S 球=4π R = aπ = aπ . 4 2 4.球的内接圆锥问题 球的一个内接圆锥满足: 球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半, 则该圆锥的体积和 此球体积的比值为________. 解析:如图所示,设球半径为 r,则球心到该圆锥底面的距离是 ,于是圆锥的底面半 2 径为 3r 3r ?r? r2-? ?2= ,高为 . 2

r

? ?

2

2

1 4 ? 3r?2 3r 3 3 3 该圆锥的体积为 ×π ×? ? × = π r ,球体积为3π r ,∴该圆锥的体积和此球体 3 ? 2 ? 2 8 3 3 πr 8 9 积的比值为 = . 4 3 32 πr 3 答案: 9 32

5.球的内接直棱柱问题 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面 积为( )
2

A.π a C.

7 2 B. π a 3 D.5π a
2

11 2 πa 3

解析:选 B 由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,

60

2 3 3 1 均为 a.如图,P 为三棱柱上底面的中心,O 为球心,易知 AP= × a= a,OP= a,所 3 2 3 2 以球的半径 R=OA 满足 R =?
2

7 ? 3 ?2 ?1 ?2 7 2 2 2 a? +?2a? = a ,故 S 球=4π R = π a . 12 3 ? ? 3 ? ?

[方法感悟] 1.正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,此时球的半径为 r1= ,过在一 2 个平面上的四个切点作截面如图(1). 2.球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点,过球心作正方体的对角面有 r2= (2). 3.长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,根据球的定义可知,长方体的 体对角线是球的直径,若长方体过同一顶点的三条棱长为 a,b,c,则过球心作长方体的对 1 角面有球的半径为 r3= 2 2a ,如图 2

a

a2+b2+c2,如图(3).

4.正方体的外接球 正方体棱长 a 与外接球半径 R 的关系为 2R= 3a. 5.正四面体的外接球 正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为:2R= 6 a. 2

[随堂即时演练] 1.两个球的半径之比为 1∶3,那么两个球的表面积之比为( A.1∶9 C.1∶3 答案:A B.1∶27 D.1∶1 )

61

2.棱长为 2 的正方体的外接球的表面积是( A.8π C.12π B.4π D.16π

)

解析:选 C 正方体的体对角线长为 2 3,即 2R=2 3, ∴R= 3,S=4π R =12π . 3.火星的半径约是地球半径的一半,则地球的体积是火星体积的________倍. 4
2

V地 3 解析:设火星半径为 r,地球半径则为 2r, = V火 4
答案:8

π ?2r? 3 πr
3

3

=8.

4.已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M.若圆 M 的面积为 3π ,则球 O 的表面积等于________. 解析:由题意得圆 M 的半径 r= 3,又球心到圆 M 的距离为 ,由勾股 2 定理得 R =r +( ) ,R=2,则球的表面积为 16π . 2 答案:16π 5.(1)已知球的直径为 2,求它的表面积和体积. 108π (2)已知球的体积为 ,求它的表面积. 3 4 3 2 2 解: (1)∵直径为 2, ∴半径 r=1, ∴表面积 S 球=4π r =4π ×1 =4π , 体积 V 球= π r 3 4 4 3 = π ×1 = π . 3 3 4 108 3 3 2 (2)∵V 球= π r = π ,∴r =27,r=3,∴S 球=4π ×3 =36π . 3 3 [课时达标检测] 一、选择题 1.两个球的体积之比为 8∶27,那么这两个球的表面积之比为( A.2∶3 C. 2∶ 3 B.4∶9 D. 8∶ 27 )
2 2

R

R

2

解析:选 B 设两个球的半径分别为 r1,r2,则 = 3=

V1 r3 8 r1 2 S1 r2 4 1 1 .∴ = , = 2= . V2 r2 27 r2 3 S2 r2 9
)

2.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得截面圆的面积为 π ,则球的表面积为( A. 8π 3 B. 32π 3

62

C.8π 解析:选 C π

D.

8 2π 3
2

设球的半径为 R ,则截面圆的半径为 R -1 ,∴截面圆的面积为 S =
2 2 2

(

R2-1) =(R -1)π =π ,∴R =2,∴球的表面积 S=4π R =8π .
2

3.设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积 为( ) A.3π a
2

B.6π a
2

2

C.12π a

D.24π a

2

解析:选 B
2 2 2

由于长方体的长、宽、高分别为 2a 、 a 、 a ,则长方体的体对角线为

?2a? +a +a = 6a, 又长方体的外接球的直径 2R 等于长方体的体对角线, 所以 2R= 6

a,则 S 球=4π R2=4π ?

? 6 ?2 2 a? =6π a . ?2 ?

4.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的 3 倍,则圆锥的侧面面积和球的表面 积之比为( A.4∶3 C.3∶2 ) B.3∶1 D.9∶4 3 PC= 3 3

解析: 选 C 作轴截面如图, 则 PO=2OD, ∠CPB=30°, CB=

r,PB=2 3r,圆锥侧面积 S1=6π r2,球的面积 S2=4π r2,S1∶S2=3∶2.
5.(2012·新课标全国高考)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面 α 的距离为 2,则此球的体积为( A. 6π C.4 6π )

B.4 3π D.6 3π

解析:选 B 利用截面圆的性质先求得球的半径长.

如图,设截面圆的圆心为 O′,M 为截面圆上任一点,则 OO′= 2,O′M=1, ∴OM= ? 2? +1= 3,即球的半径为 3,
2

4 3 ∴V= π ( 3) =4 3π . 3 二、填空题 6.(2012·盐城模拟)圆柱形容器的内壁底半径是 10 cm,有一个实心铁球浸没于容器
63

5 2 的水中, 若取出这个铁球, 测得容器的水面下降了 cm, 则这个铁球的表面积为________ cm . 3 4 5 3 2 3 3 解析:设该铁球的半径为 r,则由题意得 π r =π ×10 × ,解得 r =5 ,∴r=5,∴ 3 3 这个铁球的表面积 S=4π ×5 =100π (cm ). 答案:100π 7.球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为 a,则球的表面积为________. 解析:正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面(正方形)的中心,经过四个 切点及球心作截面,如图, 所以有 2r1=a,r1= ,所以 S1=4π r1=π a . 2
2 2

a

2

2

答案:π a

2

8.(2012·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 ________m .
3

3 解析:由三视图知原几何体是两个半径为 的球体相切放置,上面放长、宽、高分别是 2 6、3、1 的长方体,直观图如图.

该几何体的体积 V=2V 球+V 长方体 4 ?3?3 =2× π ? ? +6×1×3 3 ?2? =18+9π . 答案:18+9π
64

三、解答题 9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中 r =1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.

解:该组合体的表面积

S=4π r2+2π rl=4π ×12+2π ×1×3=10π ,该组合体的体积 V= π r3+π r2l=
13π 3 2 π ×1 +π ×1 ×3= . 3

4 3

4 3

10. (2012·潍坊高一检测)用两个平行平面去截半径为 R 的球面, 两个截面圆的半径为

r1=24 cm,r2=15 cm,两截面间的距离为 d=27 cm,求球的表面积.
解:设垂直于截面的大圆面交两截面圆于 A1B1、A2B2,上述大圆的垂直于 A1B1 的直径交

d1+d2=27 ①, ? ? 2 2 2 两截面圆于 O1、O2,设球心到两截面的距离分别为 d1、d2,则?d1+24 =R ②, 2 2 ? ③, ? d2 2+15 =R
=25. 当|d1-d2|=27 时,其与②③组成的方程组无解. ∴S 球=4π R =2 500π (cm ).
2 2

解得 R

空间几何体

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题中,正确的是( )

A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D.底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 解析:选 D 认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分
65

析,故 A,C 都不够准确,B 中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明,故也不正确. 2.如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( )

A.(1)是棱台 C.(3)是棱锥

B.(2)是圆台 D.(4)不是棱柱

解析:选 C 图(1)不是由棱锥截来的,所以(1)不是棱台;图(2)上下两个面不平行, 所以(2)不是圆台;图(4)前后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公 共边平行,所以(4)是棱柱;很明显(3)是棱锥. 3.如图所示的直观图的平面图形 ABCD 是( A.任意梯形 C.任意四边形 )

B.直角梯形 D.平行四边形

解析:选 B AB∥Oy,AD∥Ox,故 AB⊥AD.又 BC∥AD 且 BC≠AD,所以为直角梯形. 4.下列说法正确的是( )

A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形 B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体 C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥 D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线 解析:选 C 圆锥的侧面展开图是一个扇形,A 不正确;棱柱的侧面只需是平行四边形, 所以 B 不正确;通过圆台侧面上一点,只有一条母线,所以 D 不正确;C 任何一个棱台都可 以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥是正确的. 5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形,且侧棱垂直于底面)高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是( A.16π C.24π ) B.20π D.32π

解析:选 C 正四棱柱的底面积为 4,正四棱柱的底面的边长为 2,正四棱柱的底面的 对角线为 2 2, 正四棱柱的对角线为 2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线, 即 2R=2 6,

R= 6,S 球=4π R2=24π .
6.(2012·福州高一检测)如图(1)、(2)、(3)为三个几何体的三视图,根据三视图可以 判断这三个几何体依次为( )

66

A.三棱台、三棱柱、圆锥 B.三棱台、三棱锥、圆锥 C.三棱柱、正四棱锥、圆锥 D.三棱柱、三棱台、圆锥 解析:选 C 由俯视图知(1),(2)是多面体,(3)是旋转体.再由正视图及侧视图可知 (1)是三棱柱,(2)是正四棱锥,(3)是圆锥. 7.(2011·山东高考)如图所示是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列 三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如图所示;②存在四棱柱, 其正(主)视图、俯视图如图所示;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如图 所示.其中真命题的个数是( A.3 C.1 ) B.2 D.0

解析:选 A 只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱,让其直角三角形的直角边所在 的一个侧面平卧;②正四棱柱平躺;③圆柱平躺即可使得三个命题为真. 8.如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB 的直观图,则△OAB 的面 积是( A.6 C.6 2 ) B.3 2 D.12

解析:选 D 由水平放置的平面图形的斜二测画法的规则可知,△OAB 为直角三角形且 1 直角边 OB=2O′B′=4,OA=O′A′=6,因此 S△OAB= ×4×6=12. 2 9.轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( A.1∶2 B.2∶3 )

67

C.1∶3

D.1∶4

解析:选 B 设圆柱的底面圆半径为 r,母线长为 l,依题意得 l=2r,而 S 侧=2π rl,

S 全=2π r2+2π rl,∴S 侧∶S 全=2π rl∶(2π r2+2π rl)=2∶3.
10.已知三棱柱的三视图如下图所示,其中俯视图为正三角 形,则该三棱柱的体积为( A.12 3 C.36 3 解析:选 C ) B.27 3 D.6 若将三棱柱还原为直观图,由三视图知,三棱 3 a=3 3, 2

柱的高为 4,设底面边长为 a,则 ∴a=6,故体积 V=

3 2 ×6 ×4=36 3. 4

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与 圆柱的底面半径相同 ) 后,水恰好淹没最上面的球 ( 如图所示 ) ,则球的半径是 ________ cm. 解析:设球的半径为 r,放入 3 个球后,圆柱液面高度变为 6r.则有 4 2 2 3 π r ·6r=8π r +3· π r ,即 2r=8, 3 ∴r=4. 答案:4 12.(2011·辽宁高考 ) 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3,它的三视图中的俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的 面积是________. 解析:设正三棱柱的底面边长为 a,利用体积为 2 3,很容易求出这个正三棱柱的底面 边长和侧棱长都是 2,所以底面正三角形的高为 3,故所求矩形的面积为 2 3. 答案:2 3 1 13.圆台的母线长扩大到原来的 n 倍,两底面半径都缩小为原来的 ,那么它的侧面积

n

为原来的________倍. 解析:设改变之前圆台的母线长为 l,上底半径为 r,下底半径为 R,则侧面积为 π (r

r R ?r+R?nl +R)l,改变后圆台的母线长为 nl,上底半径为 ,下底半径为 ,则侧面积为 π ? ? n n ? n ?
=π (r+R)l,故它的侧面积为原来的 1 倍. 答案:1
68

14.一块正方形薄铁片的边长为 4 cm,以它的一个顶点为圆心,边长为半 径画弧,沿弧剪下一个扇形(如图),用这块扇形铁片围成一个圆锥筒,则这 个圆锥筒的容积等于________cm . 解析:扇形的面积和圆锥的侧面积相等,根据公式即可算出底面半径 r,则容积易得. 1 即 2π r= ×2π ·4,则 r=1. 4 又母线长为 4 cm,h= 4 -1 = 15. 1 1 15 2 2 则 V= π r h= ·π ·1 · 15= π. 3 3 3 答案: 15 π 3
2 2 3

三、解答题(共 4 小题,共 50 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分)把一个圆锥截成圆台, 已知圆台的上、 下底面半径的比是 1∶4, 母线长为 10 cm.求圆锥的母线长. 解:设圆锥的母线长为 l,圆台上、下底半径分别为 r、R.



l-10 r l-10 1 40 = ,∴ = ,∴l= (cm). l R l 4 3

40 故圆锥的母线长为 cm. 3 16. (本小题满分 12 分)如下图, 在底面半径为 2、 母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3 的圆柱,求圆柱的表面积.

解:设圆柱的底面半径为 r,高为 h′. 圆锥的高 h= 又∵h′= 3, 1 r 2 3- 3 ∴h′= h.∴ = ,∴r=1. 2 2 2 3
69

4 -2 =2 3,

2

2

∴S 表面积=2S 底+S 侧=2π r +2π rh′ =2π +2π × 3=2(1+ 3)π . 17.(本小题满分 12 分)如图(单位:cm),求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何 体的表面积和体积.

2

解:由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成:圆台下底面、侧面和一半球面.S
半球

1 2 =8π , S 圆台侧=35π , S 圆台底=25π .故所求几何体的表面积为 68π cm2, 由 V 圆台= ×(π ×2 3
2 2 2

+ ?π ×2 ?×?π ×5 ?+π ×5 )×4=52π ,

V 半球= π ×23× = π ,
16 140 3 所以,所求几何体的体积为 V 圆台-V 半球=52π - π = π (cm ). 3 3 18.(本小题满分 14 分)(2013·河源高一检测)已知某几何体的俯视 图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形, 侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S. 解:由题设可知,几何体是一个高为 4 的四棱锥,其底面是长、宽分 别为 8 和 6 的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为 8,高为 h1 的等腰 三角形,左、右侧面均为底边长为 6、高为 h2 的等腰三角形,如图所示. 1 1 (1)几何体的体积为:V= ·S 矩形·h= ×6×8×4=64. 3 3 (2)正侧面及其相对侧面底边上的高为:h1= 4 +3 =5.左、右侧面的底边上的高为:
2 2

4 3

1 16 2 3

h2=

4 +4 =4 2. 1 ?1 ? 故几何体的侧面面积为:S=2×? ×8×5+ ×6×4 2?=40+24 2. 2 ?2 ?

2

2

70


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