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必修二立体几何经典证明题


必修二立体几何经典证明试题
1. 如图,三棱柱 ABC - A1B1C1 中,侧棱垂直底面, 1 ∠ACB=90° ,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点 2 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的 比. C1 A1

B1

D C A B

/>2. 如图 5 所示,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? 平面 PAD , AB // CD ,PD ? AD ,E 是

PB 的中点, F 是 CD 上的点且 DF ? PH 为△ PAD 中 AD 边上的高. (1)证明: PH ? 平面 ABCD ;
(2)若 PH ? 1 , AD ?

1 AB , 2

2 , FC ? 1 ,求三

棱锥 E ? BCF 的体积; (3)证明: EF ? 平面 PAB .

3. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB E分 1 1 ? AC 1 1 ,D, 别是棱 BC , (点 D 不同于点 C ) , 且A CC1 上的点 D ? D E F, 为 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE .

4. 如图,四棱锥 P—ABCD 中,ABCD 为矩形,△PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90°, 面 PAD⊥面 ABCD,且 AB=1,AD=2,E、F 分别为 PC 和 BD 的中点. (1)证明:EF∥面 PAD; (2)证明:面 PDC⊥面 PAD; (3)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

P

5. 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, MA ? 平面 ABCD ,PD // MA ,E 、G 、F 分别为 MB 、 PB 、 PC 的中点,且 AD ? PD ? 2MA . (I)求证:平面 EFG ? 平面 PDC ; (II)求三棱锥 P ? MAB 与四棱锥 P ? ABCD 的体积 之比.

F M G C D E B

A

6. 如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互 相垂直。EF//AC,AB= 2 ,CE=EF=1 (Ⅰ)求证:AF//平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDF;

E F

C

B

D

A

7. 如 图 , 在 多 面 体 ABCDEF 中 , 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , AB=2EF=2 , EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90° , BF=FC,H 为 BC 的中点, E F (Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB; (Ⅱ)求证:AC⊥平面 EDB; (Ⅲ)求四面体 B—DEF 的体积;
D H A B C

8. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,E 、 F 分别是 A1 B 、 A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上,

A1 D ? B1C



求证:(1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1 FD ? 平面 BB1C1C .

9.如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE , F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥

A ? BCF ,其中 BC ?

2 . 2

(1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ;
A

2 (3) 当 AD ? 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3
A
G E

D

D

G

E

F

C

B

F 图 4

C
B 图 5

10.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面

ABCD , PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求
证: (1) PA ? 底 面 ABCD ;(2) BE / / 平 面 PAD ;(3) 平 面 BEF ? 平面 PCD

11. (2013 年山东卷)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,

AB ? AC , AB ? PA , E , F , G, M , N 分别为

AB∥CD, AB ? 2CD ,

PB, AB, BC , PD, PC 的中点
(Ⅰ)求证: CE∥平面PAD ; (Ⅱ)求证: 平面EFG ? 平面EMN

立体几何经典试题参考答案
1. 【解析】 (Ⅰ) 由题设知 BC⊥ CC1 ,BC⊥AC,CC1 ? AC ? C ,∴ BC ? 面 ACC1 A1 , ∵ DC1 ? 面 ACC1 A1 ,∴ DC1 ? BC , 由题设知 ?A1 DC1 ? ?ADC ? 450 ,∴ ?CDC1 = 900 , 即 DC1 ? DC , 又∵ DC ? BC ? C , D ∴ DC1 ⊥面 BDC , ∵ C A B A1 C1 又

B1

DC1 ? 面 BDC1 ,
∴面 BDC ⊥面 BDC1 ;

(Ⅱ)设棱锥 B ? DACC1 的体积为 V1 , AC =1,由题意得, V1 = ? 由三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积 V =1,

1 1? 2 1 ? 1? 1 = , 2 3 2

∴ (V ? V1 ) : V1 =1:1, ∴平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积之比为 1:1. 2. 【解析】(1)证明:因为 AB ? 平面 PAD , 所以 PH ? AB 。 因为 PH 为△ PAD 中 AD 边上的高, 所以 PH ? AD 。 因为 AB ? AD ? A , 所以 PH ? 平面 ABCD 。 (2)连结 BH ,取 BH 中点 G ,连结 EG 。 因为 E 是 PB 的中点, 所以 EG // PH 。 因为 PH ? 平面 ABCD , 所以 EG ? 平面 ABCD 。 则 EG ?

1 1 PH ? , 2 2

VE ? B C F ?

1 S ? 3

BCF

1 1 ? EG ? ? ? 3 2

2 F?C A ? D ? EG 。 12

(3)证明:取 PA 中点 M ,连结 MD , ME 。 因为 E 是 PB 的中点, 所以 ME //

1 ? 2 AB 。

因为 DF //

1 ? 2 AB ,
?

所以 ME // DF , 所以四边形 MEDF 是平行四边形, 所以 EF // MD 。 因为 PD ? AD , 所以 MD ? PA 。 因为 AB ? 平面 PAD , 所以 MD ? AB 。 因为 PA ? AB ? A , 所以 MD ? 平面 PAB , 所以 EF ? 平面 PAB 。 3. 【答案】证明: (1)∵ ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, ∴ CC1 ? 平面 ABC 。 又∵ AD ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD 。 又∵ AD ? DE , CC1,DE ? 平面

BCC1B1,CC1 ? DE ? E ,∴ AD ? 平面 BCC1 B1 。
又∵ AD ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 。 (2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1 F ? B1C1 。 又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1F 。 又∵ CC1, ∴ A1 F ? 平面 A1 B1C1 。 B1C1 ? 平面 BCC1 B1 , CC1 ? B1C1 ? C1 , 由(1)知, AD ? 平面 BCC1 B1 ,∴ A1 F ∥ AD 。 又∵ AD ? 平面 ADE, A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1 F // 平面 ADE 4. 如图,连接 AC, ∵ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点, ∴AC 必经过 F 又 E 是 PC 的中点, 所以,EF∥AP 2分 1分

∵EF 在面 PAD 外,PA 在面内,∴EF∥面 PAD (2)∵面 PAD⊥面 ABCD,CD⊥AD,面 PAD ? 面 ABCD=AD,∴CD⊥面 PAD,

又 AP ? 面 PAD,∴AP⊥CD 又∵AP⊥PD,PD 和 CD 是相交直线,AP⊥面 PCD 又 AD ? 面 PAD,所以,面 PDC⊥面 PAD (3)取 AD 中点为 O,连接 PO, 因为面 PAD⊥面 ABCD 及△PAD 为等腰直角三角形,所以 PO⊥面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高 ∵AD=2,∴PO=1,所以四棱锥 P—ABCD 的体积 V ?

1 2 PO ? AB ? AD ? 3 3
P

5. 【解析】(I) 证明:由已知 MA 平面 ABCD,PD ∥MA, 所以 PD∈平面 ABCD 又 BC ∈ 平面 ABCD, M 因为 四边形 ABCD 为正方形, 所以 PD⊥ BC 又 PD∩DC=D, 因此 BC⊥平面 PDC 在△PBC 中,因为 G 平分为 PC 的中点, A 所以 GF∥BC 因此 GF⊥平面 PDC 又 GF ∈平面 EFG, 所以 平面 EFG⊥平面 PDC. (Ⅱ )解:因为 PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,不妨设 MA=1, 则 PD=AD=2,AB CD 所以 Vp-ABCD=1/3S 正方形 ABCD,PD=8/3 由于 DA⊥面 MAB 的距离 所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离, 三 棱 锥 Vp-MAB=1/3 × 1/2 × 1 × 2 × 2=2/3 , 所 以 Vp-MAB : V p-ABCD=1:4。 6. 证明:(Ⅰ)设 AC 于 BD 交于点 G。因为 EF∥AG,且 EF=1, AG=

F G C D E B

E F

1 AG=1 2
C B

所以四边形 AGE F 为平行四边形 所以 AF∥EG 因为 EG ? 平面 BDE,AF ? 平面 BDE, 所以 AF∥平面 BDE
D

A

(Ⅱ)连接 FG。因为 EF∥CG,EF=CG=1,且 CE=1,所以平行四边形 CE FG 为菱形。所以 CF⊥EG. 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 BD⊥AC.又因为平面 ACEF⊥平面 ABCD,且平面

ACEF∩平面 ABCD=AC,所以 BD⊥平面 ACEF.所以 CF⊥BD.又 BD∩EG=G,所以 CF⊥平面 BDE. 7.
E F

(1)证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG, GH,由于H 为BC的中点,故 1 AB, 2 1 又EF / / AB,?四边形EFGH 为平行四边形 A 2 ? EG / / FH,而EG ? 平面EDB, ? FH / / 平面EDB GH / /
(?)证:由四边形ABCD为正方形,有AB ? BC。 又EF//AB, ? EF ? BC。而EF ? FB, ? EF ? 平面BFG ,? EF ? FH ? AB ? FH .又BF ? FG , H 为BC的中点, ? FH ? BC。 ? FH ? 平面ABCD. ? FH ? AC.又FH / / EG, ? AC ? EG , 又AC ? BD,EG ? BD ? G ? AC ? 平面EDB (Ⅲ)解: ? EF ? FB, ?BFC ? 900 ,? BF ? 平面CDEF . ? BF 为四面体B ? DEF的高,又BC ? AB ? 2,? BF ? FC ? 2 1 1 1 VB ? DEF ? * *1* 2 * 2 ? . 3 2 3 ? BF
8.
D C

H B

9. 【答案】(1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE

?

AD AE ? DB EC ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中

也成立,? DE / / BC ,? DE ? 平面 BCF ,

BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ;
BF ? CF ? 1 2.

(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①,

? 在三棱锥 A ? BCF 中,

BC ?

2 2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ②

? BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;
(3)由(1)可知 GE / /CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 ? ? 3 2 ? 3 324
10. 【答案】(I)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA 垂直于这个平面的交线 AD 所以 PA 垂直底面 ABCD. (II)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点 所以 AB∥DE,且 AB=DE 所以 ABED 为平行四边形, 所以 BE∥AD,又因为 BE ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 所以 BE∥平面 PAD. (III)因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形 所以 BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD 所以 CD⊥PD,因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点 所以 PD∥EF,所以 CD⊥EF,所以 CD⊥平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PCD. 11.略


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