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【高三总复习】2013高中数学技能特训:11-1 几何证明选讲(人教B版) 含解析


11-1 几何证明选讲 基础巩固强化 1.如图,CD 是圆 O 的切线,切点为 C,点 A、B 在圆 O 上,BC =1,∠BCD=30° ,则圆 O 的面积为( )

π A.2 [答案] B

B.π

3π C. 2

D.2π

BC [解析] ∠A=∠BCD=30° ,由

sinA=2R,得 R=1,所以圆 O 的 面积为 πR2=π. BE 2.(文)如图,E 是?ABCD 边 BC 上一点,EC=4,AE 交 BD 于 F, BF FD等于( )

4 A.5 [答案] A

4 B.9

5 C.9

4 D.10

[解析] 在 AD 上取点 G,使 AG GD=1:4,连接 CG 交 BD 于 H, 则 CG∥AE, BF BE DH DG BF 4 ∴FH=CE=4, FH = GA =4,∴FD=5. [点评] 利用 AD∥BC 可证△BEF BC∥AD?∠EAD=∠AEB? ? ∠ADF=∠FBE
? ? ?

△DAF.

BF BE BE 4 ?△BFE △DFA?FD=AD=BC=5. (理)如图,在△ABC 中,∠A=90° ,正方形 DEFG 的边长是 6cm, 且四个顶点都在△ABC 的各边上,CE=3 cm,则 BC 的长为( )

A.12cm [答案] B

B.21cm

C.18cm

D.15cm

[解析] ∵四边形 DEFG 是正方形,∴∠GDB=∠FEC=90° ,GD =DE=EF=6 cm,又∵∠B+∠C=90° ,∠B+∠BGD=90° ,∴∠C =∠BGD,∴△BGD △FCE, BD GD EF· GD ∴ EF = EC ,即 BD= EC =12cm, ∴BC=BD+DE+EC=21cm. 3. (文)如图, Rt△ABC 中, CD 为斜边 AB 上的高, CD=6, 且 AD:BD

=3:2,则斜边 AB 上的中线 CE 的长为(

)

A.5 6 C. 15 [答案] B

5 6 B. 2 3 10 D. 2

[解析] 设 AD=3x,则 DB=2x,由射影定理得 CD2=AD· BD,∴ 36=6x2,∴x= 6,∴AB=5 6, 1 5 6 ∴CE=2AB= 2 . (理)如图所示,在矩形 ABCD 中,AE⊥BD 于 E,S 矩形=40cm2,S
△ABE

:S△DBA=1:5,则 AE 的长为________.

[答案] 4cm [解析] ∵∠BAD=90° ,AE⊥BD,∴△ABE ∴S△ABE S△DBA=AB2 DB2. ∵S△ABE:S△DBA=1:5,∴AB2:DB2=1:5, △DBA,

∴AB:DB=1: 5. 设 AB=k,则 DB= 5k,AD=2k, ∵S 矩形=40cm2,∴k· 2k=40,∴k=2 5, ∴BD= 5k=10,AD=4 5, 1 S△ABD=2BD· AE=20, 1 ∴2×10×AE=20,∴AE=4cm. 4.(文)如图,四边形 ABCD 中,DF⊥AB,垂足为 F,DF=3,AF =2FB=2,延长 FB 到 E,使 BE=FB,连接 BD,EC.若 BD∥EC,则 四边形 ABCD 的面积为( )

A.4 C.6 [答案] C

B.5 D.7

[解析] 由条件知 AF=2,BF=BE=1, 1 1 ∴S△ADE=2AE×DF=2×4×3=6, ∵CE∥DB,∴S△DBC=S△DBE,∴S 四边形 ABCD=S△ADE=6.

(理)已知矩形 ABCD,R、P 分别在边 CD、BC 上,E、F 分别为 AP、PR 的中点,当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时,点 R 在 CD 上固定不 变,设 BP=x,EF=y,那么下列结论中正确的是( )

A.y 是 x 的增函数 B.y 是 x 的减函数 C.y 随 x 的增大先增大再减小 D.无论 x 怎样变化,y 为常数 [答案] D [解析] ∵E、F 分别为 AP、PR 中点,∴EF 是△PAR 的中位线, 1 ∴EF=2AR,∵R 固定,∴AR 是常数,即 y 为常数. 5.(2012· 合肥二检)如图,半径为 2 的⊙O 中,∠AOB=90° ,D 为 OB 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,则线段 DE 的长为

(

)

5 A. 5 3 5 C. 5 [答案] C [解析]

2 5 B. 5 3 D. 2

延长 BO 交圆 O 于点 F,由 D 为 OB 的中点,知 DF=3,DB=1, 又∠AOB=90° , 所以 AD= 5, 由相交弦定理知 AD· DE=DF· DB, 即 5 3 5 DE=3×1,解得 DE= 5 . 6.(文)(2012· 佛山质检)如图所示,△ABC 内接于圆 O,过点 A 的 切线交 BC 的延长线于点 P,D 为 AB 的中点,DP 交 AC 于点 M,若 BP=8,AM=4,AC=6,则 PA=________.

[答案] 4 2 [解析] 由题意 MC=AC-AM=6-4=2.又 D 为 AB 的中点,∴ AD=BD.过点 C 作 CN∥AB 交 PD 于 N,

AM AD BD BP 8 4 ∴MC=CN=CN=CP,∴PC=2,∴PC=4. ∵PA2=PC· PB=32,∴PA=4 2. (理)(2012· 天津十二校联考)如图所示,EA 是圆 O 的切线,割线 EB 交圆 O 于点 C,C 在直径 AB 上的射影为 D,CD=2,BD=4,则 EA =

( A.4 C.3

) 5 B.2 1 D.2

[答案] B [解析] 解法 1:根据题意可得 BC2=CD2+BD2=22+42=20,即 BC=2 5.由射影定理得 BC2=AB· BD,即 20=4AB,解得 AB=5,所以 AC= 52-20= 5,设 EA=x,EC=y,根据切割线定理可得 x2=y(y +2 5),即 x2=y2+2 5y,在 Rt△ACE 中,x2=y2+( 5)2,故 2 5y= 5 5 25 5 5 5,解得 y= 2 ,故 x2=4+5= 4 ,得 x=2,即 EA=2. 解法 2:连 AC,∵AB 为直径,∴∠ACB=90° ,CD⊥AB,CD=2, CD2 BD=4,∴AD= BD =1,

又 EA 切⊙O 于 A,∴∠EAB=90° , ∴△EAB EA AB AB· CD 5 △CDB,∴CD=BD,∴AE= BD =2.

7.(文)(2012· 合肥二检)如图,在⊙O 中,∠AOB=90° ,D 为 OB 3 5 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,线段 DE 的长为 5 ,则⊙O 的 半径为________.

[答案] 2 [解析] 延长 BO 交⊙O 于点 F,设⊙O 的半径为 r,则 AD= r 5 1 1 3 r2+?2?2= 2 r,又 BD=2,DF=2r-2r=2r, 5r 3 5 1 3 由圆的相交弦定理得 AD· DE=BD· DF,即 2 × 5 =2r×2r,解 得 r=2. (理)

(2011· 深圳调研)如图,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OB

绕点 O 逆时针旋转 120° 到 OD, 连 PD 交圆 O 于点 E, 则 PE=________. [答案] 3 7 7

[解析] ∵∠POD=120° ,OD=OB=1,PO=2, ∴PD= PO2+OD2-2OD· PO· cos120° = 7, 由相交弦定理得,PE· PD=PB· PC, PB· PC 1×3 3 7 ∴PE= PD = = 7 . 7 8.(文)如图,PA 切圆 O 于点 A,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB =1,OA 绕点 O 逆时针旋转 60° 到 OD,则 PD 的长为________.

[答案]

7

[解析] 由图可知,PA2=PB· PC=PB· (PB+BC)=3,∴PA= 3, ∴∠AOP=60° , 又∠AOD=60° ,∴∠POD=120° ,∵PO=2,OD=1, 22+12-PD2 1 ∴cos∠POD= =-2,∴PD= 7. 2×2×1 (理)

(2012· 湖南理, 11)如右图, 过点 P 的直线与⊙O 相交于 A、 B 两点. 若 PA=1,AB=2,PO=3,则⊙O 的半径等于________. [答案] 6

[解析] 设圆半径为 r, 由切割线定理:PA· PB=(3-r)· (3+r), 即 1×3=9-r2,r2=6,∴r= 6. 9.

(2012· 江南十校联考)如图,在圆的内接四边形 ABCD 中,∠ABC =90° ,∠ABD=30° ,∠BDC=45° ,AD=1,则 BC=________. [答案] 2

[解析] 连接 AC.因为∠ABC=90° , 所以 AC 为圆的直径. 又∠ACD

=∠ABD=30° ,所以 AC=2AD=2.又∠BAC=∠BDC=45° ,故 BC= 2. 10.(2012· 哈三中模拟)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,过⊙O 上 一点 H 作⊙O 的切线,BC 与这条线切线平行,AC、AB 的延长线交这 条切线于点 E、F,连接 AH、CH.

(1)求证:AH 平分∠EAF;


(2)若 CH=4,∠CAB=60° ,求圆弧BHC的长. [解析] (1)证明:连接 OH,则 OH⊥EF. ∵EF∥BC,∴OH⊥BC,∴H 为弧 BC 的中点, ∴∠EAH=∠FAH,∴AH 平分∠EAF. (2)连接 CO、BO,∵∠CAB=60° ,∴∠COB=120° , ∴∠COH=60° ,∴△COH 为等边三角形, ∴CO=CH=4, 8π 又∵∠BOC=120° ,∴BHC的长为 3 . 能力拓展提升



11.(文)(2012· 湖南十二校联考)如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥ a AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD=2,点 E,F 分别为线段 AB、AD 的 中点,则 EF=__________.

a [答案] 2 [解析] 连接 DE,可知△AED 为直角三角形,则 EF 是 Rt△DEA a 斜边上的中线,其长等于斜边长的一半,为2. (理)

如图所示,已知圆 O 直径为 6,AB 是圆 O 的直径,C 为圆 O 上 一点,且 BC= 2,过点 B 的圆 O 的切线交 AC 延长线于点 D,则 DA

=________. [答案] 3 [解析] ∵AB 为直径, ∴∠ACB 为直角, ∵BC= 2,AB= 6,∴AC=2, ∵DB 与⊙O 相切,∴∠DBA 为直角, 由射影定理 BC2=AC· CD,∴CD=1,∴AD=3. 12.(文)

如图,BD 为⊙O 的直径,AB=AC,AD 交 BC 于 E,AE=2,ED =4.则 AB 的长为________. [答案] 2 3 [解析] ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,又∠C=∠D,∴∠ABC=

∠D,又∠BAE=∠DAB,∴△ABE △ADB,∴AB2=AE· AD, ∴AB=2 3. (理)

已知 EB 是半圆 O 的直径,A 是 BE 延长线上一点,AC 切半圆 O 于点 D,BC⊥AC 于点 C,若 BC=6,AC=8,则 AE=______,AD= ________. 5 [答案] 2,5 [解析] ∵AD 切⊙O 于 D,∴OD⊥AC,又 BC⊥AC, OD AO ∴△ADO △ACB,∴ BC = AB , ∵BC=6,AC=8,∴AB=10, 5 5 15 设 OD=R,则 AO=3R,∴R+3R=10,∴R= 4 , 5 AD AC 4 AE=AB-2R=2,OD=BC=3,∴AD=5. 13.(文)(2012· 湖北理,15)如下图,点 D 在⊙O 的弦 AB 上移动, AB=4,连接 OD,过点 D 作 OD 的垂线交⊙O 于点 C,则 CD 的最大 值为________.

[答案] 2 [解析] 解法 1:∵CD⊥OD,∴OC2=OD2+CD2,当 OD 最小时, CD 最大,而 OE 最小(E 为 AB 的中点), ∴CDmax=EB=2.

AD+DB 2 AB2 解法 2:由题意知,CD =AD· DB≤( ) = 4 =4.(当且仅当 2
2

AD=DB 时取等号).∴CDmax=2. (理)

(2012· 广州测试)如图,AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 C,使 BC AD =2OB,CD 是圆 O 的切线,切点为 D,连接 AD、BD,则BD的值为 ________. [答案] 2

[解析] 连接 OD,则 OD⊥CD.设圆 O 的半径为 r,则 OA=OB= OD=r,BC=2r.所以 OC=3r,CD= OC2-OD2=2 2r.由弦切角定理 AD 得, ∠CDB=∠CAD, 又∠DCB=∠ACD, 所以△CDB △CAD.所以BD AC 4r =CD= = 2. 2 2r 14.(文)(2012· 天津,13)如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过 点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与 3 圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,FB=1,EF=2,则线段 CD 的长为________.

4 [答案] 3 [解析] 如图,由相交弦定理得 AF· FB=EF· FC,

AF· FB ∴FC= EF =2, FC AF FC· AB 8 ∵FC∥BD,∴BD=AB,BD= AF =3. 又由切割线定理知 BD2=DC· DA, 64 4 又由 DA=4CD 知 4DC2=BD2= 9 ,∴DC=3. 明确相交弦定理、切割弦定理等是解题的关键. (理)(2012· 深圳调研)如图,A,B 是圆 O 上的两点,且 OA⊥OB, OA=2,C 为 OA 的中点,连接 BC 并延长交圆 O 于点 D,则 CD= ________.

[答案]

3 5 5

[解析] 延长 CO 交圆于点 E,依题意得,BC= OB2+OC2= 5, 3 5 BC· CD=CA· CE, 5×CD=1×3,因此 CD= 5 . 15.(文)(2012· 银川一中二模)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,D 是 ︵ AC的中点,BD 交 AC 于 E.

(1)求证:DC2=DE· DB; (2)若 CD=2 3,O 到 AC 的距离为 1,求⊙O 的半径 r.

→ 中点知,∠ABD=∠CBD, [解析] (1)证明:由 D 为AC

又∵∠ABD=∠ECD,∴∠CBD=∠ECD, 又∠CDB=∠EDC, DE DC ∴△BCD~△CED,∴DC=DB , ∴DC2=DE· DB; ︵ (2)∵D 是AC的中点,∴OD⊥AC, 设 OD 与 AC 交于点 F,则 OF=1, 在 Rt△COF 中,OC2=CF2+OF2,即 CF2=r2-1, 在 Rt△CFD 中,DC2=CF2+DF2, ∴(2 3)2=r2-1+(r-1)2,解得 r=3. (理)(2012· 昆明一中测试)如图,已知 A、B、C、D 四点共圆,延长 AD 和 BC 相交于点 E,AB=AC.

(1)证明:AB2=AD· AE; (2)若 EG 平分∠AEB,且与 AB、CD 分别相交于点 G、F,证明: ∠CFG=∠BGF. [证明] (1)如图,连接 BD.

因为 AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=∠ADB. 又因为∠BAD=∠EAB,所以△ABD △AEB, AB AE 所以AD=AB,即 AB2=AD· AE. (2)因为 A、B、C、D 四点共圆,所以∠ABC=∠EDF. 又因为∠DEF=∠BEG,所以∠DFE=∠BGF. 又因为∠DFE=∠CFG,所以∠CFG=∠BGF. 16.(2012· 河南商丘模拟)如图,在△ABC 和△ACD 中,∠ACB= ∠ADC=90° ,∠BAC=∠CAD,⊙O 是以 AB 为直径的圆,DC 的延长

线与 AB 的延长线交于点 E.

(1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)若 EB=6,EC=6 2,求 BC 的长. [解析] (1)∵AB 是⊙O 的直径,∠ACB=90° , ∴点 C 在⊙O 上, 连接 OC,可得∠OCA=∠OAC=∠DAC,∴OC∥AD, 又∵AD⊥DC,∴DC⊥OC, ∵OC 为半径, ∴DC 是⊙O 的切线. (2)∵DC 是⊙O 的切线, ∴EC2=EB· EA.

又∵EB=6,EC=6 2, ∴EA=12,AB=6. ∵∠ECB=∠EAC,∠CEB=∠AEC, ∴△ECB △EAC,

BC EC 2 ∴AC=EA = 2 ,∴AC= 2BC. ∵AC2+BC2=AB2=36, ∴BC=2 3. 1.

如图所示,矩形 ABCD 中,AB=12,AD=10,将此矩形折叠使点 B 落在 AD 边的中点 E 处,则折痕 FG 的长为( A.13 65 C. 6 [答案] C [解析] 过点 A 作 AH∥FG 交 DG 于 H,则四边形 AFGH 为平行 四边形.∴AH=FG. ∵折叠后 B 点与 E 点重合,折痕为 FG, ∴B 与 E 关于 FG 对称.∴BE⊥FG,∴BE⊥AH. ∴∠ABE=∠DAH,∴Rt△ABE Rt△DAH. BE AH 1 ∴AB=AD.∵AB=12,AD=10,AE=2AD=5, 63 B. 5 63 D. 6 )

BE· AD 65 ∴BE= 122+52=13,∴FG=AH= AB = 6 . 2. (2011· 广州市测试)在梯形 ABCD 中, AD∥BC, AD=2, BC=5, AE 3 点 E、 F 分别在 AB、 CD 上, 且 EF∥AD, 若EB=4, 则 EF 的长为________. [答案] [解析] 23 7

PA AD 2 如图所示,延长 BA、CD 交于点 P,∵AD∥BC,∴PB=BC =5, PA 2 AE 3 AE 3 PA 14 PA 14 ∴AB=3,又∵EB=4,∴AB=7,∴AE= 9 ,∴PE=23.∵AD∥EF, AD PA 14 23 ∴ EF =PE=23,又 AD=2,∴EF= 7 . [点评]

DG 过 D 作 DH∥AB 交 EF 于 G, 交 BC 于 H, 由平行截割定理知, GH AE 3 =EB=4,

DG 3 GF DG 3 ∴DH=7,由 GF∥HC 可得,HC=DH=7, 23 ∵GF=EF-2,HC=5-2=3,∴EF= 7 . 3. (2011· 南昌市模拟)函数 f(x)=(x-2010)(x+2011)的图象与 x 轴、 y 轴有三个交点,有一个圆恰好通过这三个点,则此圆与坐标轴的另一 个交点是________. [答案] (0,1) [解析] f(x)的图象与 x 轴交于点 A(-2011,0),B(2010,0),与 y 轴 交于点 C(0,-2010×2011),设经过 A、B、C 三点的圆与 y 轴另一个 交点为 D(0,y0),易知原点 O 在圆的内部,y0>0,由相交弦定理知, |OA|· |OB|=|OC|· |OD|,∴2011×2010=2010×2011y0,∴y0=1. 4.

(2011· 广东汕头测试)如图,正△ABC 的边长为 2,点 M、N 分别是 边 AB、AC 的中点,直线 MN 与△ABC 的外接圆的交点为 P、Q,则线 段 PM=________. [答案] 5-1 2

[解析] 设 PM=x, 则 QN=x, 由相交弦定理可得 PM· MQ=BM· MA

即 x· (x+1)=1,解得 x=

5-1 2 .

5.如图,EB、EC 是⊙O 的两条切线,B、C 是切点,A、D 是⊙ O 上两点,如果∠E=46° ,∠DCF=32° ,则∠A 的度数是________.

[答案] 99° [解析] 连接 OB、OC、AC,根据弦切角定理得, ∠EBC=∠BAC,∠CAD=∠DCF, 1 可得∠A=∠BAC+∠CAD=2(180° -∠E)+∠DCF=67° +32° = 99° . [点评] 可由 EB=EC 及∠E 求得∠ECB, 由∠ECB 和∠DCF 求得 ∠BCD,由圆内接四边形对角互补求得∠A. 6.(2011· 北京朝阳区统考)如图,AB 是⊙O 的直径,CB 切⊙O 于 点 B,CD 切⊙O 于点 D,直线 CD 交 AB 于点 E.若 AB=3,ED=2, 则 CB 的长为________.

[答案] 3 [解析] 由切割线定理得,ED2=EA· EB, ∴4=EA(EA+3), ∴EA=1,∵CB 是⊙O 的切线,∴EB⊥CB, ∴EB2+CB2=CE2, 又∵CD 是⊙O 的切线,∴CD=CB, ∴42+CB2=(CB+2)2,∴CB=3. 7. (2011· 天津文, 13)如图, 已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F, E 是 AB 延长线上一点,且 DF=CF= 2,AF:FB:BE=4:2:1.若 CE 与 圆相切,则线段 CE 的长为________.

[答案]

7 2

[解析]

FB=DF· FC=2, ?AF· 由题意:?AF ?FB=2.

∴AF=2,FB=1, 1 7 ∴BE=2,AE=AF+BF+BE=2. 1 7 7 由切割线定理得:CE2=BE· AE=2×2=4. 7 ∴CE= 2 . 8.如图,AB 是⊙O 的直径,点 P 在 AB 的延长线上,PC 与⊙O 相切于点 C,PC=AC=1,求⊙O 的半径.

[解析] 连接 OC. 设∠PAC=θ.因为 PC=AC,所以∠CPA=θ,∠COP=2θ. 又因为 PC 与⊙O 相切于点 C,所以 OC⊥PC. 所以 3θ=90° .所以 θ=30° . 设⊙O 的半径为 r,在 Rt△POC 中, 3 3 r=CP· tan30° =1 × 3 = 3 . 9.如图,圆 O 的直径 AB=8,C 为圆周上一点,BC=4,过 C 作 圆的切线 l, 过 A 作直线 l 的垂线 AD, D 为垂足, AD 与圆 O 交于点 E, 求线段 AE 的长.

[解析]

连接 OC、BE、AC,则 BE⊥AE. ∵BC=4,∴OB=OC=BC=4,即△OBC 为正三角形, ∴∠CBO=∠COB=60° , 又直线 l 切⊙O 于 C, ∴∠DCA=∠CBO=60° , ∵AD⊥l,∴∠DAC=90° -60° =30° , 1 而∠OAC=∠ACO=2∠COB=30° ,∴∠EAB=60° , 1 在 Rt△BAE 中,∠EBA=30° ,∴AE=2AB=4. 10.如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.

(1)证明:△ABE

△ADC;

1 (2)若△ABC 的面积 S=2AD· AE,求∠BAC 的大小. [解析] (1)∵AD 为∠BAC 的角平分线 ∴∠BAE=∠CAD 又∵∠AEB 与∠ACB 为 AB 所对的圆周角 ∴∠AEB=∠ACD,∴△ABE △ADC. AB AD (2)由(1)可知△ABE △ADC,故AE= AC, 即 AB· AC=AD· AE ①

1 1 又 S=2AB· ACsin∠BAC 且 S=2AD· AE 1 1 ∴2AB· ACsin∠BAC=2AD· AE 由①②式得 sin∠BAC=1 ②

∵∠BAC 为三角形内角,∴∠BAC=90° 11.(2011· 新课标全国文,22)如图,D、E 分别为△ABC 的边 AB、 AC 上的点,且不与△ABC 的顶点重合,已知 AE 的长为 m,AC 的长 为 n,AD、AB 的长是关于 x 的方程 x2-14x+mn=0 的两个根.

(1)证明:C、B、D、E 四点共圆; (2)若∠A=90° ,且 m=4,n=6,求 C、B、D、E 所在圆的半径. [解析]

(1) 连接 DE ,根据题意在△ ADE 和△ ACB 中, AD×AB = mn = AE×AC, AD AE 即AC =AB.又∠DAE=∠CAB,

从而△ADE △ACB. 因此∠ADE=∠ACB. 所以 C、B、D、E 四点共圆。 (2)m=4,n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12. 解法 1:取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G、F 作 AC、AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C、B、D、E 四点共圆,

所以 C、B、D、E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH,由于∠A=90° , 1 故 GH∥AB,HF∥AC.从而 HF=AG=5,DF=2(12-2)=5. 故 C、B、D、E 四点所在圆的半径为 5 2. 解法 2:∵AE=4,AD=2,∠A=90° ,∴DE=2 5, 5 又 B、C、E、D 四点共圆,∴sin∠B=sin∠AED= 5 , 又 DC= AC2+AD2=2 10, ∴ 2 10 =2R,∴R=5 2. 5 5

故 C、B、D、E 四点所在圆的半径为 5 2. 12.(2012· 新疆古拉玛依实验中学模拟)如图,AB 是⊙O 的直径, 弦 BD、CA 的延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F.求证:

(1)∠DEA=∠DFA; (2)AB2=BE· BD-AE· AC. [证明] (1)连接 AD,因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90° ,又 EF⊥AB,∠EFA=90° ,则 A、D、E、F 四点共圆, ∴∠DEA=∠DFA.

(2)由(1)知,BD· BE=BA· BF, AB AC 又△ABC △AEF∴AE=AF , 即:AB· AF=AE· AC, ∴BE· BD-AE· AC =BA· BF-AB· AF=AB(BF-AF)=AB2.


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