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导数的几何意义(说课)


数学与信息科学学院

说 课 稿
课 系 专 题 别 业 导数的几何意义 数学与信息科学学院 数学与应用数学 武 菊

指导教师 班 姓 学 级 名 号

2009 级 2 班 陈 建

20090241017

2012 年 5 月 30 日

数的几何意义
一、 教材分析
选自人民教育出版社 A 版普通高中课程标准实验教科书《数学.选修 2-2》 第一章第一节——导数的几何意义。 1、教材的地位和作用 导数是微积分的核心概念之一,有极其丰富的实际背景和广泛的应用。导数 的几何意义是学生在学习了函数瞬时变化率就是导数之后的内容, 这是一个用代 数方法研究几何知识的思维方式。通过这部分内容的学习,可以帮助学生更好的 理解导数的概念及导数是研究函数的单调性、 变化快慢和极值等性质最有效的工 具,是本章的关键内容,更是函数系统里一块必不可少的基石。 2、重点与难点 教学重点: 导数的几何意义的正确理解, 对后继学习利用导数研究函数的性质具 有至关重要的作用,所以将其作为本节课的一个重点知识。同时让学 生体会到导数几何意义的应用也是这节课的重点教学内容,所以利用 其求解曲线的切线方程是本节课的一个重要的解题方法。 教学难点: 在推导导数几何意义的这个过程, 我们大量运用的是一种极限的思想, 对学生来说太过抽象,所以推导思路的理解是本节课教学的难点。 3、教学目标 知识与技能:通过实验探求和理解导数的几何意义,了解导数在研究函数性质 中的作用,培养学生分析、抽象、概括等思维能力。 过程与方法:在研究分析图像的过程中,使学生通过有限认识无限,发现数学 的美;通过“以直代曲”思想的具体运用,使学生达到思维方式 的迁移,了解科学的思维方法。 情感与态度:在导数几何意义的推导过程中,渗透着逼近和以直代曲的思想, 使学生了解近似与精确间的辨证关系,激发学生勇于探索、勤于 思考的精神;通过讨论、交流、合作、实验操作等活动激发学生 学习数学的兴趣;培养学生合作学习和数学交流的能力。

二、 教学法分析

1、教法 建构主义教学理论认为, 教学不仅是教与学的过程,而是学习者主动学习的 过程,因而在对新知识的学习时,我将采用讲解法为主发现法为辅,根据学生的 自身情况,引导学生自主建立对新知识的结构。所以在复习旧知时,铺垫导入新 知识、激发学生的学习动机、培养学习兴趣,充分调动学生的积极性。引导学生 观察分析图像, 指导学生讨论交流从而发现规律、 培养学生探究问题的习惯和意 识。 2、学法 根据新课标理念,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。学生之间相 互交流、共同探索,就老师提出的问题积极思考、大胆想象,利用已学的知识敢 于尝试创新,得出自己的结论。这样学生就能很自然、主动地融入整个教学活动 中,真正地成为学的主体。 3、教学手段 利用多媒体教学手段 (或彩色粉笔)向学生演示割线不断接近切线的变化过 程, 让学生更直观地体会到逼近的思想方法,并且引导学生发现切线斜率与该点 导数值之间的关系,让学生能更容易理解到导数的几何意义。使问题变得浅显明 了,易于让学生突破难点,掌握重点。

三、教学过程
为了完成预定的教学目标, 达到知识的统一和深化,在充分优化教法和学法 的基础之上,我设计了以下六个教学环节: 1、复习旧知,铺垫导入 苏霍姆林斯基曾说过: “教给学生能借助已有的知识获得新的知识,这是最 高的教学技巧所在。 ”根据这一伟大理念,我把导入设计成,从上节课的知识点 出发, 让学生更加紧密地联系着导数的定义学习,始终使学生明确本节课的研究 方向。这样既能打开学生思维的桎梏,也不至于使学生的思维天马行空,脱离本 堂课的学习主线、有效地让学生借助原认知来获得新知识,体会到思考的乐趣。 2、图像分析,新课学习 这节课主要是要利用到逼近的一种极限思想, 对于现阶段的学生具有较高的 抽象性, 所以我先以一幅函数图像的 4 个变化情况为研究对象,把我们需要的一

些变化过程较为清晰、具体的展现在同学们的眼前;提出问题“当点 p n 沿曲线
y ? f ( x) 逐渐接近点 P 时,同学们能从图中找到哪些变化规律呢?”让学生通过

自己的观察找出变化规律,老师加以总结,得到我们需要的结论。 然后鼓励学生发挥想象,从有限中认识无限,把原问题的有限变化扩展到 无限变化的情况“当点 p n 沿着曲线在无限趋近于点 P 时,又有怎样的变化规 律?”以问题驱动思考潜移默化地引导学生,巧妙地突出图像的研究关键点,进 而顺理成章地就确定了研究的方向。最后得出一个重要的结论: “在上述变化过 程中,割线 ppn 的斜率 k ppn 无限接近切线 PT 的斜率 k PT 。 ” 3、回归主题,归纳建构 接下来是,怎样让刚才的研究结果与导数的几何意义建立联系的教学,也是 把问题由具体转到抽象的过程。仍然以提出质疑的方式,引导学生结合导数的定 义思考,提醒学生把关键点落在割线与切线的斜率上,发现其中的联系。把研究 方向转到导数与其几何意义上, 这是一个重要的承接教学过程,所以不能操之过 急,所以我要对学生循循善诱,把问题抽丝剥茧。首先根据原问题的已知条件, 求得割线 ppn 的斜率 k ppn ?

f ( x n ) ? f ( x0 ) ,然后以“点 p n 沿着曲线在无限趋近于 x n ? x0

点 P”为条件,以函数的平均变化率为中介,得出 k ppn 的极限值就是函数 f ( x) 在

x0 处的导数值,也就是切线的斜率 k PT 。
这样能做到把知识循序渐进地教授给学生, 一直使学生的思维跟着问题的主 线积极活动。不仅条理清楚,而且有利于学生提高数形结合思想的应用。紧接着 我给出了一个例题和一个练习题,让学生加深对导数几何意义的理解记忆,同时 提高他们的学以致用的能力,也能避免了课堂讲解的冷淡,调动了学生思考的热 情。 4、例题讲解,巩固新知 例 求曲线 y ? f ( x) ? x 2 ? 1 在点 p(1,2) 处的切线方程。 练 抛物线的 y ? x 2 在点 p 处的切线平行于直线 y ? 2 x ? 3 ,求点 p 的坐标 设计意图: 例题是一个简单的求曲线在某点切线的方程,我将在讲解题的时

候和学生一起总结出它蕴含的三个知识点:求函数导数,运用几何意义得到切线 斜率,利用点斜式求直线方程,这也是我们以后求曲线的切线方程的一般步骤。 练习题请同学黑板上完成, 它是和例题的求解过程相反的一道题,但是它们的解 题方法都是一样。这样设计更能调动学生的解题积极性,激活解题思维,有利于 他们对知识的灵活运用,拒绝死板的思考模式。 5、课堂小结,加深记忆 以总结求切线方程的一般步骤为主线,把导数几何意义加入其中,最后提醒 学生再认真体会一下本节课上所用到的推导方法。 这样把本节的重点和难点都加 以总结了,使学生对新知识得到更多的认知,也促进学生建立了新的知识结构。 6、学以致用,布置作业 (1)复习本节课的知识和方法; (2) p10 ?11 必做 A 组 3、5、6 ;选做 B 组 3; (3)预习下节课的内容; 设计意图:这样安排作业能让所有学生对所学知识有所巩固,选做部分作业 的布置,注重了个体差异,为学有余力的学生留有自由发展的空间。

四、板书设计
为了学生能对新知识有直观的认识,我将板书分为了四个版块: 2.2.1 导数的几何意义 一、分析图像 研究结果 二、1、归纳建构 2 、导数的几 何意义 三、例题 练习题 四、总结解题步 骤 作业:

五、教学评价
本堂课的研究对象具有一定的抽象性,所以在教学过程中,我的重点把握是 利用图像分析并鼓励学生大胆想象, 有效地把具体的现象研究缓缓地过渡到抽象 的极限思维。其中在图像分析的过程中,发散学生思维,尽可能多的发现图中变 化规律,根据关键结论“ k ppn 无限接近 k PT ”与导数几何意义建构,使学生体会 到了数学思维的科学性。 在这节课的讲解中以问题驱动思考并确定研究方向,老 师和学生合力推导, 共同见证新知识的产生,整个过程学生都占据着重要的主体 地位。


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