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广东省揭阳一中2014-2015学年高一上学期第二次段考数学试卷


广东省揭阳一中 2014-2015 学年高一上学期第二次段考数学试卷
一、选择题: (每题 5 分,共 50 分) x 1. (5 分)函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) 2. (5 分)设 P={x|( ) > },Q={x|x <4},则() A.P?Q B.Q?P C.P??RQ D.Q??

RP
x 2

D.(1,2)

3. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点(3, A. B. ﹣ C. 2

) ,则 log4f(2)的值为() D.﹣2

4. (5 分)函数 f(x)=|log0.5x|﹣ A.1 B. 2

的零点个数为() C. 3 ) (x∈R)的奇偶性为() B. 奇函数 D.既是奇函数又是偶函数 D.4

5. (5 分)函数 f(x)=log2(x+ A.偶函数 C. 非奇非偶函数

6. (5 分)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调增加,则满足 f(2x﹣1)<f( )的 x 取 值范围是() A.( , ) B. [ , ) C. ( , ) D.[ , )

7. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是()

A.

B.

C.8﹣2π

D.

8. (5 分)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示该四棱锥侧 面积和体积分别是()

A.4

,8

B.

C.

D.8,8

9. (5 分)如图所示,矩形 O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图,其中 O′A′=6,O′C′=2, 则原图形是()

A.正方形 C. 菱形

B. 矩形 D.一般的平行四边形
x

10. (5 分)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,设 f(x)=min{2 ,x+2,10﹣ x}(x≥0) ,则 f(x)的最大值为() A.4 B. 5 C. 6 D.7

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)设一个球的表面积为 S1,它的内接正方体的表面积为 S2,则 的值等于.

12. (5 分)如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2cm,高为 5cm,一质点自 A 点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点的最短路线的长为 cm.

13. (5 分)已知函数 f(x)= 为.

,则不等式 f(a ﹣4)>f(3a)的解集

2

14. (5 分)关于 x 的方程(m+3)x ﹣4mx+2m﹣1=0 的两根异号,且负数根的绝对值比正数 根大,那么实数 m 的取值范围是.

2

三、解答题: (共 80 分) 15. (12 分)已知集合 A={x|a≤x≤a+3},B={x|log2(x ﹣4x+3)>3}. (1)若 a=﹣2,求 A∩?RB; (2)若 A?B,求 a 的取值范围. 16. (12 分)如图所示的三个图中,左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.它 的正视图和侧视图在右边画出(单位:cm) . (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积.
2

17. (14 分)若二次函数满足 f(x+1)﹣f(x)=2x 且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[﹣1,1]上不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 18. (14 分)据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速 度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km) . (1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城, 如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.

19. (14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数.

(1)求 a,b 的值; (2)用定义证明 f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数; 2 2 (3)若对于任意 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的范围. 20. (14 分)已知函数 f(x)=4 +a?2 +4 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的值域; (2)若关于 x 的方程 f(x)=0 有两个大于 0 的实根,求 a 的取值范围; (3)当 x∈[1,2]时,求函数 f(x)的最小值.
x x+1

广东省揭阳一中 2014-2015 学年高一上学期第二次段考数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (每题 5 分,共 50 分) x 1. (5 分)函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)

D.(1,2)

考点: 函数的零点与方程根的关系;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 根据函数零点的判定定理求得函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间. 解答: 解:由 ,以及及零点定理知,f(x)的零点在

区间(﹣1,0)上, 故选 B. 点评: 本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题.
x 2

2. (5 分)设 P={x|( ) > },Q={x|x <4},则() A.P?Q B.Q?P C.P??RQ D.Q??RP

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题;集合. 分析: 化简集合 P,Q,再判断 P,Q 的关系. 解答: 解:P={x|( ) > }={x|x<3}, Q={x|x <4}={x|﹣2<x<2}, 故 Q?P;
2 x

故选 B. 点评: 本题考查了集合的化简与关系的判断,属于基础题. 3. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点(3, A. B. ﹣ C. 2 ) ,则 log4f(2)的值为() D.﹣2

考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 用待定系数法求出幂函数的解析式,计算 log4f(2)的值. α 解答: 解:设幂函数 y=f(x)=x , 图象过点(3, ) , α ∴3 = , ∴α= , ∴f(x)= (x≥0) ; = log42= × = ;

∴log4f(2)=log4

故选:A. 点评: 本题考查了用待定系数法求出函数的解析式以及利用函数解析式求值的问题,是基 础题.

4. (5 分)函数 f(x)=|log0.5x|﹣ A.1 B. 2

的零点个数为() C. 3 D.4

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)=|log0.5x|﹣ y=|log0.5x|与 y= 的图象解答. 的零点个数即 y=|log0.5x|与 y= 的图象的交点的个数, 的零点个数即 y=|log0.5x|与 y= 的图象的交点的个数,作

解答: 解:函数 f(x)=|log0.5x|﹣ 作 y=|log0.5x|与 y= 的图象如下,

由图象可知,有 3 个不同的交点, 故函数 f(x)=|log0.5x|﹣ 的零点个数为 3;

故选 C. 点评: 本题考查了函数的零点与图象的关系及学生的作图能力,属于基础题. ) (x∈R)的奇偶性为() B. 奇函数 D.既是奇函数又是偶函数

5. (5 分)函数 f(x)=log2(x+ A.偶函数 C. 非奇非偶函数

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 解答: 解:f(﹣x)=log2(﹣x+ )=log2(﹣ )=log2



)=log2(x+

) =﹣log2(x+

﹣1

)=﹣f(x) ,

即 f(x)是奇函数, 故选:B 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,根据对数的性质结合分子有理化是解决本题的关 键.

6. (5 分)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调增加,则满足 f(2x﹣1)<f( )的 x 取 值范围是() A.( , ) B. [ , ) C. ( , ) D.[ , )

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 压轴题. 分析: 由题设条件偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调增加可得出此函数先减后增,以 y 轴 为对称轴,由此位置关系转化不等式求解即可 解答: 解析:∵f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|) ∴f(2x﹣1)=f(|2x﹣1|) ,即 f(|2x﹣1|)<f(| |) 又∵f(x)在区间[0,+∞)单调增加 得|2x﹣1|< ,解得 <x< . 故选 A. 点评: 本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式,在这里要注意本题与下面这道题 的区别:已知函数 f(x)在区间[0,+∞)单调增加,则满足 f(2x﹣1)< 范围是() 7. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是() 的 x 取值

A.

B.

C.8﹣2π

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 三视图复原的几何体是正方体,除去一个倒放的圆锥,根据三视图的数据,求出几 何体的体积. 解答: 解:三视图复原的几何体是棱长为:2 的正方体, 除去一个倒放的圆锥,圆锥的高为: 2,底面半径为:1;

所以几何体的体积是:8﹣

=

故选 A. 点评: 本题是基础题,考查三视图复原几何体的判定,几何体的体积的求法,考查空间想 象能力,计算能力,常考题型. 8. (5 分)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示该四棱锥侧 面积和体积分别是()

A.4

,8

B.

C.

D.8,8

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 立体几何. 分析: 由题意可知原四棱锥为正四棱锥,由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高, 则其侧面积和体积可求. 解答: 解:因为四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,所以该四棱锥为正四棱锥, 其主视图为原图形中的三角形 PEF,如图, 由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长 AB=2, 高 PO=2, 则四棱锥的斜高 PE= 所以该四棱锥侧面积 S= 体积 V= 故选 B. . . ,

点评: 本题考查了棱锥的体积,考查了三视图,解答的关键是能够由三视图得到原图形, 是基础题.

9. (5 分)如图所示,矩形 O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图,其中 O′A′=6,O′C′=2, 则原图形是()

A.正方形 C. 菱形

B. 矩形 D.一般的平行四边形

考点: 平面图形的直观图. 专题: 规律型. 分析: 根据斜二测画法的原则:平行于坐标轴的线段依然平行于坐标轴,平行于 x 轴的线 段长度不变,平行于 y 轴的线段长度减半可判断原图形的形状. 解答: 解:∵矩形 O'A'B'C'是一个平面图形的直观图,其中 O'A'=6,O'C'=2, 又∠D′O′C′=45°,∴O′D′= , 在直观图中 OA∥BC,OC∥AB,高为 OD=4 ,CD=2, ∴OC= =6. ∴原图形是菱形. 故选 C. 点评: 本题考查平面图形的直观图,熟练掌握直观图的画法是解题的关键. 10. (5 分)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,设 f(x)=min{2 ,x+2,10﹣ x}(x≥0) ,则 f(x)的最大值为() A.4 B. 5 C. 6 D.7 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 在同一坐标系内画出三个函数 y=10﹣x,y=x+2,y=2 的图象,以此作出函数 f(x) 图象,观察最大值的位置,通过求函数值,解出最大值. x 解答: 解: 10﹣x 是减函数, x+2 是增函数, 2 是增函数, 令 x+2=10﹣x, x=4, 此时, x+2=10 ﹣x=6,如图:
x x

y=x+2 与 y=2 交点是 A、B,y=x+2 与 y=10﹣x 的交点为 C(4,6) , 由上图可知 f(x)的图象如下:

x

C 为最高点,而 C(4,6) ,所以最大值为 6. 故选:C 点评: 本题考查了函数的概念、图象、最值问题.利用了数形结合的方法.关键是通过题 意得出 f(x)的简图. 二、填空题: (每题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)设一个球的表面积为 S1,它的内接正方体的表面积为 S2,则 的值等于 .

考点: 球内接多面体. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 设出正方体的棱长,然后求出正方体的表面积,求出正方体的体对角线的长,就是 球的直径,求出球的表面积,即可得到二者的比值. 解答: 解:设正方体的棱长为:1, 所以正方体的表面积为:S2=6; 正方体的体对角线的长为: ,就是球的直径, 所以球的表面积为:S1=4π( 所以 = = . ) =3π.
2

故答案为: 点评: 本题考查球的体积表面积,正方体的外接球的知识,仔细分析,找出二者之间的关 系:正方体的对角线就是球的直径,是解题关键,本题考查转化思想,是基础题. 12. (5 分)如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2cm,高为 5cm,一质点自 A 点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点的最短路线的长为 13cm.

考点: 多面体和旋转体表面上的最短距离问题. 专题: 计算题. 分析: 将三棱柱展开两次如图,不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线,正好相当于 绕三棱柱转两次的最短路径. 解答: 解:将正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示,

在展开图中,最短距离是六个矩形对角线的连线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的 最小值. 由已知求得矩形的长等于 6×2=12,宽等于 5,由勾股定理 d= =13

故答案为:13. 点评: 本题考查棱柱的结构特征,空间想象能力,几何体的展开与折叠,体现了转化(空 间问题转化为平面问题,化曲为直)的思想方法.

13. (5 分)已知函数 f(x)= 为(﹣1,4) .

,则不等式 f(a ﹣4)>f(3a)的解集

2

考点: 函数单调性的性质;一元二次不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 画出函数 f(x)=
2

的图象,分析出函数的在 R 上为减函数,

进而将原不等式化为 a ﹣3a﹣4<0,解二次不等式可得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)= 的图象如下图所示:

由图可得:函数 f(x)= 若 f(a ﹣4)>f(3a) , 2 2 则 a ﹣4<3a,即 a ﹣3a﹣4<0, 解得:﹣1<a<4,
2

在 R 上为减函数,

故不等式 f(a ﹣4)>f(3a)的解集为: (﹣1,4) , 故答案为: (﹣1,4) 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,一元二次不等式的解法,其中判断出函数 的在 R 上为减函数,是解答的关键. 14. (5 分)关于 x 的方程(m+3)x ﹣4mx+2m﹣1=0 的两根异号,且负数根的绝对值比正数 根大,那么实数 m 的取值范围是(﹣3,0) . 考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得判别式大于零、两根之和小于零,两根之积小于零,解不等式组求出实 数 m 的取值范围.
2

2

解答: 解:由题意可得

,解得﹣3<m<0,

故答案为 (﹣3,0) . 点评: 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系,体现了转化的数学思想,属于 中档题. 三、解答题: (共 80 分) 2 15. (12 分)已知集合 A={x|a≤x≤a+3},B={x|log2(x ﹣4x+3)>3}. (1)若 a=﹣2,求 A∩?RB; (2)若 A?B,求 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算.

专题: 集合. 分析: (1)把 a=﹣2 代入 A,求解对数不等式化简 B,然后由交集和补集运算得答案; (2)由 A?B 转化为两集合端点值间的关系列不等式求解 a 的范围. 解答: 解: (1)当 a=﹣2 时,A={x|﹣2≤x≤1}, 2 2 由 log2(x ﹣4x+3)>3,得 x ﹣4x﹣5>0,解得:x<﹣1 或 x>5. ∴B={x|x<﹣1 或 x>5}. ∴?RB={x|﹣1≤x≤5}. ∴A∩?RB={x|﹣1≤x≤1}. (2)∵A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<﹣1 或 x>5},且 A?B, ∴a+3<﹣1 或 a>5, ∴a<﹣4 或 a>5. 点评: 本题考查了交、并、补集的混合运算,考查了对数不等式的解法,是基础题. 16. (12 分)如图所示的三个图中,左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图.它 的正视图和侧视图在右边画出(单位:cm) . (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积.

考点: 由三视图求面积、体积;简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;作图题. 分析: (1)依据画图的规则作出其俯视图即可; (2)此几何体是一个长方体削去了一个角,由图中的数据易得几何体的体积. 解答: 解: (1)如图 (2)它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥, 3 设长方体体积为 V1,小三棱锥的体积为 V2,则根据图中所给条件得:V1=6×4×4=96(cm ) , ; ∴ =94 =

点评: 本题考查由三视图求面积、体积,求解的关键是由视图得出几何体的长、宽、高等 性质,熟练掌握各种类型的几何体求体积的公式,可使本题求解更快捷. 17. (14 分)若二次函数满足 f(x+1)﹣f(x)=2x 且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[﹣1,1]上不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;待定系数法. 分析: (1)利用待定系数法求解.由二次函数可设 f(x)=ax +bx+c,由 f(0)=1 得 c 值, 由 f(x+1)﹣f(x)=2x 可得 a,b 的值,从而问题解决; (2)欲使在区间[﹣1,1]上不等式 f(x)>2x+m 恒成立,只须 x ﹣3x+1﹣m>0,也就是要 2 2 x ﹣3x+1﹣m 的最小值大于 0 即可,最后求出 x ﹣3x+1﹣m 的最小值后大于 0 解之即得. 2 解答: 解: (1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,由 f(0)=1, 2 ∴c=1,∴f(x)=ax +bx+1 ∵f(x+1)﹣f(x)=2x,∴2ax+a+b=2x, ∴ ∴f(x)=x ﹣x+1(5 分) 2 (2)由题意:x ﹣x+1>2x+m 在[﹣1,1]上恒成立, 即 x ﹣3x+1﹣m>0 在[﹣1,1]上恒成立 其对称轴为 ,∴g(x)在区间[﹣1,1]上是减函数,
2 2 2 2

∴g(x)min=g(1)=1﹣3+1﹣m>0, ∴m<﹣1(10 分) . 点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质等基础知识,考查运算求解能 力、化归与转化思想.属于基础题. 18. (14 分)据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速 度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km) . (1)当 t=4 时,求 s 的值;

(2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城, 如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 压轴题. 分析: (1)设直线 l 交 v 与 t 的函数图象于 D 点.由图象知,点 A 的坐标为(10,30) , 故直线 OA 的解析式为 v=3t,当 t=4 时,D 点坐标为(4,12) ,OT=4,TD=12,S= ×4×12=24 (km) ; (2)分类讨论:当 0≤t≤10 时;当 10<t≤20 时;当 20<t≤35 时; (3)根据 t 的值对应求 S,然后解答. 解答: 解:设直线 l 交 v 与 t 的函数图象于 D 点, (1)由图象知,点 A 的坐标为(10,30) ,故直线 OA 的解析式为 v=3t, 当 t=4 时,D 点坐标为(4,12) , ∴OT=4,TD=12, ∴S= ×4×12=24(km) ; (2 分)

(2)当 0≤t≤10 时,此时 OT=t,TD=3t(如图 1) ∴S= ?t?3t= (4 分)

当 10<t≤20 时,此时 OT=t,AD=ET=t﹣10,TD=30(如图 2) ∴S=S△ AOE+S 矩形 ADTE= ×10×30+30(t﹣10)=30t﹣150(5 分) 当 20<t≤35 时,∵B,C 的坐标分别为, (35,0) ∴直线 BC 的解析式为 v=﹣2t+70 ∴D 点坐标为(t,﹣2t+70) ∴TC=35﹣t,TD=﹣2t+70(如图 3)

∴S=S 梯形 OABC﹣S△ DCT= (10+35)×30﹣ (35﹣t) (﹣2t+70)=﹣(35﹣t) +675; (7 分) (3)∵当 t=20 时,S=30×20﹣150=450(km) , 2 当 t=35 时,S=﹣(35﹣35) +675=675(km) ,而 450<650<675, ∴N 城会受到侵袭,且侵袭时间 t 应在 20h 至 35h 之间, (8 分) 2 由﹣(35﹣t) +675=650,解得 t=30 或 t=40(不合题意,舍去) . ∴在沙尘暴发生后 30h 它将侵袭到 N 城. 点评: 本题考查的是一次函数在实际生活中的运用,比较复杂,解答此题的关键是根据图 形反映的数据进行分段计算,难度适中.

2

19. (14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数.

(1)求 a,b 的值; (2)用定义证明 f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数; 2 2 (3)若对于任意 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的范围. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)根据奇函数定义,利用 f(0)=0 且 f(﹣1)=﹣f(1) ,列出关于 a、b 的方程 组并解之得 a=b=1; (2)根据函数单调性的定义,任取实数 x1、x2,通过作差因式分解可证出:当 x1<x2 时,f (x1)﹣f(x2)>0,即得函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数; 2 2 2 (3)根据函数的单调性和奇偶性,将不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 转化为:k<3t ﹣2t 对任意的 t∈R 都成立,结合二次函数的图象与性质,可得 k 的取值范围. 解答: 解: (1)∵f(x)为 R 上的奇函数,∴f(0)=0,可得 b=1 又∵f(﹣1)=﹣f(1) ∴ =﹣ ,解之得 a=1

经检验当 a=1 且 b=1 时,f(x)=

,满足 f(﹣x)=﹣f(x)是奇函数.

…(4 分)

(2)由(1)得 f(x)= 任取实数 x1、x2,且 x1<x2 则 f(x1)﹣f(x2)= ﹣

=﹣1+



=

∵x1<x2,可得

,且 …

∴f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ,函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数; (8 分)

(3)根据(1) (2)知,函数 f(x)是奇函数且在(﹣∞,+∞)上为减函数. ∴不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,即 f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k)=f(﹣2t +k) 2 2 也就是:t ﹣2t>﹣2t +k 对任意的 t∈R 都成立. 2 变量分离,得 k<3t ﹣2t 对任意的 t∈R 都成立, ∵3t ﹣2t=3(t﹣ ) ﹣ ,当 t= 时有最小值为﹣ ∴k<﹣ ,即 k 的范围是(﹣∞,﹣ ) . …(12 分)
2 2 2 2 2 2 2

点评: 本题以含有指数式的分式函数为例,研究了函数的单调性和奇偶性,并且用之解关 于 x 的不等式,考查了基本初等函数的简单性质及其应用,属于中档题. 20. (14 分)已知函数 f(x)=4 +a?2 +4 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的值域; (2)若关于 x 的方程 f(x)=0 有两个大于 0 的实根,求 a 的取值范围; (3)当 x∈[1,2]时,求函数 f(x)的最小值. 考点: 函数的值域;二次函数在闭区间上的最值;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. x 2 分析: (1)设 t=2 >0,则 y=g(t)=t +2at+4,转化为求函数 g(t) (t>0)的值域即可; 2 (2)由 x>0 得 t>1,方程 f(x)=0 有两个大于 0 的实根?方程 g(t)=t +2at+4=0 有两个大 于 1 的实根,求出即可; 2 2 (3)由 x∈[1,2]得 t∈[2,4],而 g(t)=(t+a) +4﹣a ,因此需要对﹣a 与 2、4 的大小关系 进行分类讨论即可. x 2 解答: 解: (1)设 t=2 >0,则 y=g(t)=t +2at+4, 2 2 当 a=1 时,y=t +2t+4=(t+1) +3,对称轴为 t=﹣1,开口向上. ∴g(t)在(0,+∞)上单调递增,∴g(t)>g(0)=4. ∴函数 f(x)值域为(4,+∞) . (2)由 x>0 得 t>1. 2 ∴方程 f(x)=0 有两个大于 0 的实根等价于方程 g(t)=t +2at+4=0 有两个大于 1 的实根,
x x+1

则需

解得






2 2

(3)由 x∈[1,2]得 t∈[2,4],g(t)=(t+a) +4﹣a . ①当﹣a≥4,即 a≤﹣4 时,g(t)在[2,4]上单调递减, ∴g(t)min=g(4)=20+8a; ②当 2<﹣a<4,﹣4<a<﹣2 时, ③当﹣a≤2 即 a≥﹣2 时,g(t)在[2,4]上单调递增, ∴g(t)min=g(2)=8+4a. ;

点评: 利用换元法和对所给的区间与二次函数的顶点的横坐标的关系分类讨论其单调性是 解决问题的关键.


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