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正弦定理和余弦定理


正弦定理和余弦定理要点梳理 1.正弦定理 其中 R 是

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为: (2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;

(1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;

a b c (3)sin A= ,sin B= ,sin C= 等形式,以解决不同的三角形问题. 2R 2R 2R 2.三角形面积公式 1 1 1 abc 1 S△ ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R、r. 2 2 2 4R 2 3.余弦定理:

a 2=b2+c2-2bccos A,b2=a 2+c2-2accos B,c2=a 2+b2-2abcos C .
余弦定理可以变形为:

b2 ? c2 ? a 2 cos A= 2bc

a 2 ? c2 ? b2 ,cos B= 2ac

a 2 ? b2 ? c2 ,cos C= 2ab

.

4.在解三角形时,正弦定理可解决两类问题: (1)已知两角及任一边,求其它边或角; (2)已知两边及一边的对角,求其它边或角.

情况(2)中结果可能有一解、二解、无解,应注意区分. 余弦定理可解决两类问题: (1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题; 基础自测 2π 1.在△ ABC 中,若 b=1,c= 3,C= ,则 a= 3 . (2)已知三边问题.

2.已知△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c= 2,b= 6,B=120° ,则 a=________. 9 3.在△ ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= ,则 BC=________ . 10 4.已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 2,则三角形的面积为( A.2 2 题型分类 题型一 例1 B.8 2 深度剖析 利用正弦定理求解三角形 C. 2 D. 2 2 )

在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45°.求角 A、C 和边 c.

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变式训练 1 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3,A+C=2B,则 A = 题型二 利用余弦定理求解三角形

cos B ? 例 2 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 = cos C (1)求角 B 的大小;

b . 2a ? c

(2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

变式训练 2 已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a、b、c,且 2cos (1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积.

2

A +cos A=0 . 2

题型三

正、余弦定理的综合应用

例 3. 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边 已知 2 2(sin 2 A ? sin 2 C) ? (a ? b)sin B ,

△ABC 外接圆半径为
(1)求角 C 的大小;

2.
(2)求△ABC 面积的最大值.

变式训练 3 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状.

1 例 4 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 acosC+ c=b. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 的周长 l 的取值范围.

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