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高三理科模拟十(含答案)


数 学(理科)
第Ⅰ卷 选择题(共 50 分) 一、选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
2013 1.若复数 z ? (a 2 ? 2) ? (a ? 2 )i 为纯虚数,则 a ? i 的虚部为( 2 ?i



A. 2 2 2.若 a ?

3
sin 60?

B. 2 2i

C.

2 2 3

D. )

2 2 i 3

, b ? log 1 cos 60? , c ? log 2 tan 30? ,则(
3

A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

C. c ? b ? a

D. b ? a ? c )

3.设 x, y 是两个实数,命题:“ x, y 中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件是( A. x ? y ? 2 B. x ? y ? 2 C. x2 ? y 2 ? 2 D. xy ? 1

4.设函数 f ( x) ? 3sin(2 x ?

?
4

) ? 1 ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位,使得到的


图像关于 y 对称,则 ? 的最小值为( A.

? 3? ? 3? B. C. D. 8 4 8 4 1 5 5. (ax ? )(2 x ? 1) 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( x
A. ? 20 B. ? 10 C.10 D.20



6.如右图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是 边长为 3 的正方形, EF // AB , EF ? 1.5 , EF 与 面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为( ) A. 4 .5 B.5 C.6 D. 7.5 7.已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,且满足 f (4) ? 1 , f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数,又知 y ? f ?( x) 的图象如右图所示, 若两个正数 a , b 满足, f (2a ? b) ? 1 ,则 值范围是( A. [ ,6 ] ) B. (?? , ) ? (6,?? )

b?2 的取 2a ? 2
C. [ , ]

2 3

2 3

1 3 6 2

D. ( ,3)

1 3

8.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支 a2 b2
) D. [2,??) B. (?1,2) C. (2,??)

有且只有一个交点,则此双曲线离心率 e 的取值范围是( A. (1,2)

9.已知 f ( x) 是定义 R 上的不恒为零的函数,且对于任意实数 a , b 满足:
页 1第

f (2 n ) f (2 n ) f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) , f (2) ? 2 , an ? (n ? N ? ) , bn ? (n ? N ? ) , n 2n
考察下列四个结论: ① f (0) ? f (1) ; ② f ( x) 为偶函数; ③数列 {an } 为等比数列; ④数列 {bn } 为等差数列。 其中正确的结论是( )

A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①④ ? 10.在集合 {1, 2,3, 4,5,6} 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 ? ? (a, b) ,从所有得到的 以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形 ,记所有作成的平行四边形的个数为 t ,在区

t x2 y2 [ 1 , ] 间 和 [2,4] 分别各取一个数,记为 m 和 n ,则方程 2 ? 2 ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆的概率是 5 m n
( A. )

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

第Ⅱ卷 非选择题(共 100 分) 二、填空题: 把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.如右图所示的流程图中,循环体执行的次数是 12.为了做一项调查,在 A 、 B 、 C 、 D 四个单位回收 的问卷数依次成等差数列,再从回收的问卷中按单位 分层抽取容量为 100 的样本,若在 B 单位抽取 20 份 问卷,则在 D 单位抽取的问卷份数是 . 13.如右图所示,过抛物线 y ?
2 2

.

1 2 x 的焦点 F 的直线 l 与 4

抛物线和圆 x ? ( y ? 1) ? 1 交于 A, B, C , D 四点, 则 AB ? DC ?
2

. .

14.抛物线 y ? x ? 1 与其过原点的切线所围成的图形面积为

15. 选做题:(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) A.(选修 4—5 不等式选讲)已知 a ? R ,若关于 x 的方程 x ? 2x ? a ? 1 ? a ? 0 有实根,则 a 的取值范围
2



.
D C

B.(选修 4 ? 1 几何证明选讲)如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连接 EC 、

ED ,则 sin ?CED ?

.

E

A

B

C.(选修 4—4 坐标系与参数方程)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重 合,曲线 C 的参数方程为

?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 4 2 .点 P 在 y ? 3sin ? 4
.

曲线 C 上,则点 P 到直线 l 的距离的最小值为

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分)
页 2第

16.(本小题满分 12 分)已知锐角 ?ABC 中内角 A 、 B 、 C 所对边的边长分别为 a 、 b 、 c ,满足

a 2 ? b2 ? 6ab cos C ,且 sin 2 C ? 2sin A sin B .
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
6

) ? cos ? x(? ? 0) , 且f ( x) 图象上相邻两最高点间的距

离为 ? ,求 f ( A) 的取值范围. 解: (Ⅰ)因为 a ? b ? 6ab cosC ,由余弦定理知 a ? b ? c ? 2ab cosC
2 2 2 2 2

所以 cosC ?
2

c2 4ab
2

………2 分

又因为 sin C ? 2 sin A sin B ,则由正弦定理得: c ? 2ab , 所以 cosC ?

? c2 2ab 1 ? ? ,所以 C ? 3 4ab 4ab 2

………6 分

? 3 3 ? (Ⅱ) f ( x) ? sin(? x ? ) ? cos ? x ? sin ? x ? cos ? x ? 3 sin(? x ? ) 6 2 2 3
? ? , ? ? 2 ,则 f ( A) ? 3 sin(2 A ? ), ? 3 ? 2? ? ? ? ? ? A ,由于 0 ? A ? , 0 ? B ? ,所以 ? A ? 因为 C ? , B ? 3 3 2 2 6 2 ? 2? 所以 0 ? 2 A ? ? ,根据正弦函数图象,所以 0 ? f ( A) ? 3 3 3
由已知

2?

?

………8 分 ………10 分

17.(本小题满分 12 分)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数:

? 2x ? 1 f1 ( x) ? x , f2 ( x) ? 5 , f3 ( x) ? 2, f 4 ( x) ? x , f5 ( x) ? sin( ? x), f6 ( x) ? x cos x . 2 2 ?1
3

x

(Ⅰ)从中任意拿取 2 张卡片,其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数,在此条件下,求两张卡片上 写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率; (Ⅱ)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取,否 则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望.
3 解: (Ⅰ) f1 ? x ? ? x 为奇函数, f 2 ? x ? ? 5 为偶函数, f3 ? x ? ? 2 为偶函数, f 4 ? x ? ?

x

2x ?1 为奇函数, 2x ? 1

f5 ? x ? ? sin( ? x) 为偶函数, f6 ? x ? ? x cos x 为奇函数 2
是奇函数,一个为偶函数;故基本事件总数为 C3C3 ? C3
1 1 2

?

………3 分

所有的基本事件包括两类:一类为两张卡片上写的函数均为奇函数;另一类为两张卡片上写的函数为一个



3第

2 满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数,故满足条件的基本事件个数为 C3

故所求概率为 P ?

C32 1 ? 1 1 2 C3C3 ? C3 4

………6 分

(Ⅱ) ? 可取 1,2,3,4.
1 1 1 C3 C3 C3 1 3 P(? ? 1) ? 1 ? , P(? ? 2) ? 1 ? 1 ? , C6 2 C6 C5 10 1 1 1 1 1 1 1 C3 C3 C3 C3 C2 C2 C1 3 1 ; ? ? ? , P ( ? ? 4 ) ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 C6 C5 C4 20 C6 C5 C4 C3 20

P(? ? 3) ?

………9 分

故 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

4

3 3 1 10 20 20 1 3 3 1 7 E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4? ? . ………1 2 10 20 20 4 n 18.(本小题满分 12 分)定义 为 n 个正数 p1 , p2 , ??? pn 的“均倒数”. p1 ? p2 ? ??? ? pn
已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项的“均倒数”为 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 dn ? 2n an ,试求数列 ?dn ? 的前 n 项和 Tn . 解:(Ⅰ) ∵

1 2

1 . 2n ? 1

n 1 ? a1 ? a2 ? ??? ? an 2n ? 1

?a1 ? a2 ????? an ? n ? 2n ?1? ? Sn ??3 分
??6 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 4n ? 1 当 n ? 1 时也成立, ? an ? 4n ? 1 (Ⅱ) Tn ? 3? 2 ? 7 ? 2 ?11? 2 ????? ? 4n ?1? ? 2
2 3 n

(1) ???9 分
n?1

2Tn ? 3? 22 ? 7 ? 23 ?11? 24 ????? ? 4n ?1? ? 2n?1 (2)
由(1)-(2)得 ?Tn ? 6 ? 4 ? (2 ? 2 ????? 2 ) ? ?4 n ?1? ?2
2 3 n

Tn ? ? 4n ? 5? ? 2n?1 ?10
19.(本小题满分 12 分)在四棱锥 PABCD 中, AB ? AD , CD ? AD , PA ? 平面 ABCD ,

PA ? AD ? CD ? 2 AB ? 2 , M 为 PC 的中点。
(Ⅰ)求证: BM // 平面 PAD ;
页 4第

(Ⅱ)平面 PAD 内是否存在一点 N ,使 MN ? 平面 PBD ? 若存在,确定点 N 的位置;若不存在,请说明理由。 (Ⅰ)证明 如图,取 PD 中点 E,连接 EM、AE, 1 1 ∴EM // CD,而 AB // CD, ∴EM//AB 2 2 ∴四边形 ABME 是平行四边形 , ∴BM∥AE ∵AE?平面 ADP,BM?平面 ADP, ∴ BM ∥ 平 PAD

面 ???5 分

(Ⅱ)解 ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AB,而 AB⊥AD,PA∩AD=A, ∴AB⊥平面 PAD,∴AB⊥PD ∵PA=AD,E 是 PD 的中点,∴PD⊥AE,AB∩AE=A,∴PD⊥平面 ABME 作 MN⊥BE,交 AE 于点 N, 则 MN⊥平面 PBD 1 易知△BME∽△MEN,而 BM=AE= 2,EM= CD=1, 2 2 2 EN EM ?EM? 1 2 由 = ,得 EN= = = ,∴AN= 2 , 即点 N 为 AE 的中点 。 EM BM BM 2 2 20.(本小题满分 13 分)设 x, y ? R, i, j 分别为直角坐标系中与 x 轴、 y 轴正半轴同方向的单位向量,若向 量 a ? xi ? ( y ? 2) j, b ? xi ? ( y ? 2) j, 且 | a | ? | b |? 8 . (Ⅰ)求点 M ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设抛物线 y ? ?

??

?

?

? ?

?

?

?

?

x2 ? 3 的顶点为 P ,焦点为 F .直线 l 过点 P 与曲线 C 交于 A, B 两点,是否存在 12

这样的直线 l ,使得以 AB 为直径的圆过点 F ,若存在,求出直线方程; 若不存在,请说明理由? ? ? 解: (1)∵ | a | ? | b |? 8 ,则 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 , 由两点间的距离公式得: (即动点到两定点的距离之和为定值)
2

y 2 x2 ? ?1 16 12

??5 分

(2)因抛物线方程为: x ? ?12( y ? 3) ,故 P(0,3), F (0,0) . 当直线 l ? x 轴时,不合题意。 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l 方程为: y ? kx ? 3 ,
? y ? kx ? 3 ? 2 ? (4 ? 3k 2 ) x 2 ? 18kx ? 21 ? 0, ?y x2 ? ? 1 ? ? 16 12

???7 分

设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,且△>0 恒成立,
页 5第

x1 ? x2 ? ?

18k 2 21 ; x1 x2 ? ? 2 , 又∵ FA ? FB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 2 3k ? 4 3k ? 4

???10 分

可得: k 2 ? 5 ? k ? ? 5 , 故所求的直线方程为: y ? ? 5 x ? 3 16 4 4 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? x , g ( x) ? ln x . (Ⅰ)若 f ( x) ? ag( x) 恒成立,求实数 a 的值;

???13 分

(Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? mg( x) (m ? R) 有两个极值点 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ),求实数 m 的取值范围,并证 明 F ( x2 ) ? ?

3 ? 4 ln 2 . 16

解: (Ⅰ)令 h ( x) ? f ( x) ? ag ( x),则 h(1) ? 0 . 所以 h( x) ? 0 即 h( x) ? h(1) 恒成立的必要条件是 h?(1) ? 0 , 又 h?( x) ? 2 x ? 1 ?

a ,由 h?(1) ? 2 ? 1 ? a ? 0 得: a ? 1 . x

????4 分

当 a ? 1 时, h?( x) ?

2 x2 ? x ? 1 ,知 h( x) min =h(1) ? 0 , x
????6 分

故 h( x) ? 0( x ? 0) ,即 f ( x) ? ag( x) 恒成立. (Ⅱ)由 F ( x) ? f ( x) ? m g( x) ? x ? x ? m ln x ,得
2

F ?( x) ?

2x 2 ? x ? m ( x ? 0) . x

????8 分

F ( x) 有两个极值点 x1 、 x2 等价于方程 2 x 2 ? x ? m ? 0 在 (0,??) 上有两个不等的正根,即:
? ?? ? 1 ? 8m ? 0 ? 1 1 ? , 解得 0 ? m ? . ? x1 ? x2 ? ? 0 8 2 ? m ? x1 x2 ? ? 0 ? ? 2
2 由 F ?( x2 ) ? 0 ,得 m ? ?2 x2 ? x2 ,其中 0 ? x1 ?

????10 分

1 1 ? x2 ? . 4 2
????12 分

所以 F ( x2 ) ? x2 ? x2 ? ( x2 ? 2x2 )ln x2 .
2 2

设 ? ( x) ? x ? x ? ( x ? 2 x ) ln x , (
2 2

1 1 ? x ? ) ,得 ? ?( x) ? (1 ? 4 x) ln x ? 0 , 4 2 3 ? 4 ln 2 1 3 ? 4 ln 2 所以 ? ( x) ? ? ( ) ? ? ,即 F ( x 2 ) ? ? . ????14 分 16 4 16
6第





7第


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