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甘肃省武威市凉州区2014届高三下学期第一次诊断考试数学(文)试题Word版含答案


一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x | 2 x ? 1} ,集合 N ? {x | log 2 x ? 1} ,则下列结论中成立的是 ( ) A. M ? N ? M D.(CU M ) ? N ? ? ( D.第四象限 ( ) ) B. M ?

N ? N C. M ? (CU N ) ? ? 1? i 2.已知 i 为虚数单位, 则z? 在复平面内对应的点位于 i A. 第一象限 A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q) 是真命题 4.已知 B.第二象限 C.第三象限
2

3.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x , 命题 q : ?x ? R, x ? 0 , 则 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q) 是假命题 ( )

sin ? ? 3cos ? ? 5 ,则 sin 2 ? ? sin ? cos ? 的值是 3cos ? ? sin ? 2 2 A. B. ? C. ? 2 D. 2 5 5
A. 8 ?

5.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是

2? 3

B. 8 ? D.

?




开始 i=1,S=0

C. 8 ? 2?

2? 3

3

6. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.

( D. 1



3 4

B.

4 5

C.

5 6

S?S?

1 i (i ? 1)

7.函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1(a ? 0, 且a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 m,n 均大于 0,则 值为

i=i+1

1 2 ? 的最小 m n


i≥5
是 输出 S 结束





A.2

B.4

C.8

D.16 )

8. 已知等比数列{ an }的公比 q ? 2 ,且 2a4 , a6 ,48 成等差数列,则{ an }的前 8 项和为( A.127 9.已知 f ? x ? ? B.255 C.511 D.1023

1 2 ?? ? x ? sin ? ? x ? , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图像是( 4 ?2 ?



10.设函数 f ( x ) ? cos ? x(? ? 0) , 将 y=f(x)的图象向右平移 得的图象与原图象重合,则 ? 的最小值等于 A. 1 3 B.3 C.6

? 个单位长度后, 所 3
( )

D.9

11. 点 P 在双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上, F1, F2 是这条双曲线的两个焦点, ∠F1PF2 a 2 b2
) B. 3 C.4 D.5

=90°,且△F1PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是 ( A.2

12.定义方程 f ( x) ? f ?( x) 的实数根 x0 叫做函数的“新驻点” ,若函数
g ( x) ? sin x (0 ? x ? ? ) ,
h( x) ? ln x ( x ? 0), ? ( x) ? x3 ( x ? 0) 的“新驻点”分别为 a , b , c ,则 a , b , c 的大小

关系为 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. a ? c ? b





D. b ? a ? c

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在横线上). 13.若圆 C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则该圆的 标准方程是_______________.
14.若向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |?

?

?

?

?

? ? ? ? ? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则 a 与 b 的夹角为

?x ? y ? 4 ? 0 ? 15.若函数 y ? log3 x 的图像上存在点 ( x, y ) ,满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则实数 m 的 ?y ? m ?
最大值为

16.在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,S 为△ABC 的面积.若向量 p =(4,a2+b2-c2), q =( 3,S),满足 p ∥ q ,则角 C= .

三、解答题 (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.共 70 分) 17.(本题满分 12 分) 等差数列 {an } 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1,a3,a9 成等比
2 数列, S 5 ? a5 .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? 18.(本小题满分 12 分)

n2 ? n ?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项的和. a n ? a n?1

为了了解甘肃各景点在大众中的熟知度,随机对 15~65 岁的人群抽样了 n 人,回答 问题“甘肃省有哪几个著名的旅游景点?”统计结果如下图表.

组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组

分组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65]

回答正确 的人数 a 18 b 9 3

回答正确的人数 占本组的频率 0.5
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

频率 组距

x
0.9 0.36

y
15 25 35
45 55 65 年龄

(Ⅰ)分别求出 a,b,x,y 的值;

(Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,求第 2,3,4 组每 组各抽取多少人? (Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的 6 人中随机抽取 2 人,求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率. 19.(本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱(底面为正三角形,侧棱垂直于底面)

ABC ? A1B1C1 中, D 是 BC 的中点, AA1 ? AB ? a
(Ⅰ)求证: AD ? B1D ; (Ⅱ)求证: A1C ∥平面 AB1D ; (Ⅲ)求三棱锥 C ? AB1D 的体积.

20.(本小题 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 短轴长为 4, 且有一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 5 x 的焦 点重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知经过定点 M(2,0)且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问在 x 轴上是否另存在一个定点 P 使得 PM 始终平分 ?APB ?若存在,求出 P 点坐标;若不

存在,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? 2)e x 在 x ? 1 处取得极值. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 ? m, m ? 1? 上的最小值; (Ⅲ)求证:对任意 x1 , x2 ? [0, 2] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e . 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E, D, 连接 EC,CD. (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; 1 (Ⅱ)若 tan∠CED= ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

? x ? 2 cos ? (? 为参数) .以 ? y ? sn ? 直角坐标系原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为
在平面直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? cos(? ? ) ? 2 2
4

(Ⅰ)求直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; ? a 1? (Ⅱ)设 a>-1,且当 x∈?- , ?时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? 2 2?

凉州区 2014 届高三年级第一次诊断考试







卷(文)答案

一 、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 题号 1 答案 D 2 D 3 C 4 A 5 A 6 B 7 C 8 B 9 A 10 C 11 D 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

∵ d ? 0 ,∴ a1 ? d
2 ∵ S 5 ? a5



5? 4 ② ? d ? (a1 ? 4d ) 2 2 3 3 由①②得: a1 ? , d ? ???????5 分 5 5 3 3 3 ∴ a n ? ? (n ? 1) ? ? n ???????6 分 5 5 5 n2 ? n ? 1 25 n 2 ? n ? 1 25 1 1 (Ⅱ) bn ? ? ? ? (1 ? ? ) 3 3 9 n(n ? 1) 9 n n ? 1 ???????8 分 n ? (n ? 1) 5 5 25 1 1 1 1 1 ∴ b1 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn ? [n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )] 9 2 2 3 n n ?1 25 1 25 n 2 ? 2n ? (n ? 1 ? )? ? ???????12 分 9 n ?1 9 n ?1

∴ 5a1 ?

(Ⅱ)因为第 2,3,4 组回答正确的人数共有 54 人, 所以利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为: 第 2 组: 第 3 组: 第 4 组:

18 ? 6 ? 2 人; 54 27 ? 6 ? 3 人; 54 9 ?6 ?1人 54
???????8 分

19.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵ABC—A1B1C1 是正三棱柱, ∴BB1⊥平面 ABC,∴BB1⊥AD 在正△ABC 中,∵D 是 BC 的中点,∴AD⊥BD, ∴AD⊥平面 BB1 CC1, ∵B1D 平面 BB1 CC1,

???????4 分 (Ⅱ)解:连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. ∵AA1=AB ∴四边形 A1ABB1 是正方形, ∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C. ?????????? 7 分 ∵DE 平面 AB1D,A1C 平面 AB1D,

∴AD⊥B1D

∴A1C∥平面 AB1D. ????????9 分

1 3 3 VC ? AB1D ? VB1 ? ADC ? S? ADC ? BB1 ? a ??12 分 3 24
20.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵短轴短轴长为 4,∴2b=4,解得 b=2.
2 又抛物线 y ? 4 5 x 的焦点为(错误!未找到引用源。 ,0)

∴c=4,则错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=9, ∴椭圆方程为:错误!未找到引用源。. ???????? 5 分 (Ⅱ)设 l : x ? my ? 2 ,代入椭圆方程整理: (4m2 ? 9) y 2 ? 16my ? 20 ? 0 ,

16m ? y1 ? y2 ? ? ? ? 4m 2 ? 9 则? , 20 ? y1 y2 ? ? ? 4m 2 ? 9 ?

???????? 7 分

假设存在定点 P(t,0) 使得 PM 始终平分 ?APB , 则 kPA ? kPB ? 0 ?

y1 y ? 2 ? 0 ? y1 (my2 ? 2 ? t ) ? y2 (my1 ? 2 ? t ) ? 0 ?? 8 分 x1 ? t x2 ? t

? 2my1 y2 ? (2 ? t )( y1 ? y2 ) ? 0 ? m(2t ? 9) ? 0 ①,???? 10 分
要使得①对于 ?m ? R 恒成立,则 t ?

9 , 2
?9 ?2 ? ?

故存在定点 P 使得 PM 始终平分 ?APB ,它的坐标为 ? , 0 ? .???? 12 分 21. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f '( x) ? ae x ? (ax ? 2)e x ? (ax ? a ? 2)e x

由已知得 f '(1) ? 0 即 (2a ? 2)e x ? 0

解得: a ? 1 ??4 分

当 a ? 1 时,在 x ? 1 处函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x 取得极小值,所以 a ? 1
x (Ⅱ) f ( x) ? ? x ? 2 ? e ,

f'( x) ? e x + ? x ? 2 ? e x ? ? x ? 1? e x .
x

???? 5 分

(??,1)


1
0

(1, ??)
+ 增 ???? 6 分

f ?( x) f ( x)

所以函数 f ( x) 在 ? ??,1? 递减,在 ?1, ?? ? 递增 当 m ? 1 时, f ( x) 在 ? m, m ? 1? 单调递增,

f min ( x) ? f (m) ? (m ? 2)e m
当 0 ? m ? 1 时, m ? 1 ? m ? 1



f ( x) 在 ? m,1? 单调递减,在 ?1, m ? 1? 单调递增, f min ( x) ? f (1) ? ?e .
当 m ? 0 时, m+1 ? 1,

f ( x) 在 ? m, m ? 1? 单调递减, f min ( x) ? f (m ? 1) ? (m ? 1)em?1.
? (m ? 2)e m , m ? 1, ? ?e, 0 ? m ? 1, 综上 f ( x ) 在 ? m, m ? 1? 上的最小值 f min ( x) ? ? ?(m ? 1)e m ?1 , m ? 0. ?
x (Ⅲ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? x ? 2 ? e ,

???? 8 分

f'( x) ? e x + ? x ? 2 ? e x ? ? x ? 1? e x .
令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 因为 f (0) ? ?2, f (1) ? ?e, f (2) ? 0 所以 f max ( x) ? 0,

f min ( x) ? ?e



x2 ? ?0, 2? ,都有 所以,对任意 x1、 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f max ( x) ? f min ( x) ? e
???? 12 分

22.(本题满分 10 分) (Ⅰ)证明:连接 OC,∵OA=OB,CA=CB, ∴OC⊥AB,又∵OC 是圆的半径,∴AB 是圆的切线. (Ⅱ)∵ED 是直径,∴∠ECD=90° . ∴∠EDC+∠E=90° ,又∠BCD+∠OCD=90° ,∠OCD=∠ODC,∴∠BCD=∠E, 又∠CBD=∠EBC, BC BD CD ∴△BCD∽△BEC,∴BE =BC= EC ?BC2=BD· BE, CD 1 BD CD 1 又 tan∠CED= = ,∴ = = . EC 2 BC EC 2 设 BD=x,则 BC=2x,∵BC2=BD· BE, ∴(2x)2=x(x+6),∴BD=2, ∴OA=OB=BD+OD=2+3=5. 23.(本题满分 10 分)

? π? 解:(Ⅰ)ρcos?θ- 4 ?=2 ? ?

2化简为 ρcos θ +ρsin θ =4,????3 分

∴直线 l 的直角坐标方程为 x+y=4. ????5 分 (Ⅱ)设点 P 的坐标为(2cos α ,sin α ), |2cos α+sin α-4| 得 P 到直线 l 的距离 d= , ????7 分 2 | 5sin(α+φ)-4| 1 2 即 d= ,其中 cos φ = ,sin φ = .????8 分 2 5 5 10 当 sin(α+φ)=-1 时,dmax=2 2+ 2 . ????10 分 24.(本题满分 10 分) 解:(Ⅰ)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3, 1 -5x,x<2,

? 1 则 y=? -x-2,2≤x≤1, ?3x-6,x>1.

其图像如图所示,从图像可知,当且仅当 x∈(0,2)时,

y<0,所以原不等式的解集是{x|0<x<2}. a 1 (Ⅱ)当 x∈?-2,2?时,f(x)=1+a. ? ? 不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3. a 1 所以 x≥a-2 对 x∈?-2,2?都成立. ? ? a 4 故-2≥a-2,即 a≤3.

4? ? 从而 a 的取值范围是?-1,3?

?

?


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