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广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期第二次段考数学试卷(文科)


广东省揭阳一中 2014-2015 学年高二上学期第二次段考数学试卷 (文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. (3 分)记集合 M={x|x>2},N={x|x ﹣3x≤0},则 M∩N=() A.{x|2<x≤3} B.{x|x>0 或 x<﹣2}C.{x|﹣2<x≤3}
2

D.{x|0<x<2}



2. (3 分)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()

A.

B.

C.

D.

3. (3 分)两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km) ,灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南偏东 60°,则 A,B 之间相距() A.a(km) B. a(km) C. a(km) D.2a(km)

4. (3 分)已知平面向量 =(1,2) , =(2,﹣m)且 ⊥ ,则 3 +2 =() A.(﹣4,﹣10) B.(﹣4,7) C.(﹣3,﹣6) D.(7,4)

5. (3 分)设定点 F1(0,﹣3) 、F2(0,3) ,动点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+ (a>0) ,则点 P 的轨迹是() A.椭圆

B.线段

C.不存在

D.椭圆或线段

6. (3 分)下列结论,不正确的是() A.若 p 是假命题,q 是真命题,则命题 p∨q 为真命题 B. 若 p∧q 是真命题,则命题 p 和 q 均为真命题 C. 命题“若 sinx=siny,则 x=y”的逆命题为假命题 2 2 2 2 D.命题“?x,y∈R,x +y ≥0”的否定是“?x0,y0∈R,x0 +y0 <0” 7. (3 分) 某学校组织学生参加英语测试, 成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组依次为[20, 40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100],若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是()

A.45

B.50

C.55

D.60

8. (3 分)在等差数列{an}中,a1>0,a10?a11<0,若此数列的前 10 项和 S10=36,前 18 项和 S18=12,则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是() A.24 B.48 C.60 D.84

9. (3 分)已知椭圆 A. B.

与双曲线 C. 4

有相同的焦点,则 a 的值为() D.10

10. (3 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且

BF⊥x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若 A. B.

=2

,则椭圆的离心率是() C. D.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上). 11. (5 分)在等比数列{an}中,若公比 q=4,前 3 项的和等于 21,则该数列的通项公式 an=.

12. (5 分)若方程

+

=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则实数 k 的取值范围是.

13. (5 分)已知 x>0,y>0,且 2x+5y=20,则 lgx+lgy 的最大值为.

14. (5 分)如图,把椭圆

的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆

的上半部分于 P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7 七个点,F 是椭圆的一个焦点,则 |P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (12 分)已知数列{an}中,a1=2,点(1,0)在函数 f(x)=2anx ﹣an+1x 的图象上. (1)求数列{an}的通项; (2)设 bn=log2a2n﹣1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 16. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 是角 A,B,C 所对的边,且满足 a +c ﹣b =ac. (1) 求角 B 的大小; (2) 设 ,求 的最小值.
2 2 2 2

17. (14 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AA1=1,AD=2,E 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证:直线 BB1∥平面 D1DE; (Ⅱ)求证:平面 A1AE⊥平面 D1DE; (Ⅲ)求三棱锥 A﹣A1DE 的体积.

18. (14 分)设 F1,F2 分别为椭 C: 点 到两点的距离之和等于 4.

(a>b>0)的左、右两个焦点,椭圆 C 上的

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (Ⅱ)设点 P 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点 求|PQ|的最大值.

19. (14 分)已知点(1, )是函数 f(x)=a (a>0) ,且 a≠1)的图象上一点,等比数列{an} 的前 n 项和为( f n) ﹣c. 数列{bn( } bn>0) 的首项为 c, 且前 n 项和 Sn 满足 Sn﹣Sn﹣1= (n≥2) . (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; +

x

(2)若数列{

}前 n 项和为 Tn,问 Tn>

的最小正整数 n 是多少?

20. (14 分)已知 的轨迹为 E. (1)求 E 的方程;

,动点 P 满足|PF1|+|PF2|=4,记动点 P

(2)曲线 E 的一条切线为 l,过 F1,F2 作 l 的垂线,垂足分别为 M,N,求|F1M|?|F2N|的值; (3)曲线 E 的一条切线为 l,与 x 轴分别交于 A,B 两点,求|AB|的最小值,并求此时切线的 斜率.

广东省揭阳一中 2014-2015 学年高二上学期第二次段考数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. (3 分)记集合 M={x|x>2},N={x|x ﹣3x≤0},则 M∩N=() A.{x|2<x≤3} B.{x|x>0 或 x<﹣2}C.{x|﹣2<x≤3} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 先求出 x ﹣3x≤0 的解集 N,再由交集的运算求出 M∩N. 2 解答: 解:由 x ﹣3x≤0 得,0≤x≤3,则 N={x|0≤x≤3}, 又集合 M={x|x>2},则 M∩N={x|2<x≤3}, 故选:A. 点评: 本题考查交集及其运算,属于基础题. 2. (3 分)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()
2 2

D.{x|0<x<2}

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 作图题.

分析: 由图可知,此几何体为组合体,对照选项分别判断组合体的结构,能吻合的排除, 不吻合的为正确选项 解答: 解:依题意,此几何体为组合体,若上下两个几何体均为圆柱,则俯视图为 A 若上边的几何体为正四棱柱,下边几何体为圆柱,则俯视图为 B; 若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱,下面的几何体为正四棱柱时,俯视图 为 C; 若俯视图为 D,则正视图中上图中间还有一条实线,故该几何体的俯视图不可能是 D 故选 D 点评: 本题考查三视图与直观图的关系,考查空间想象能力,作图能力. 3. (3 分)两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km) ,灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南偏东 60°,则 A,B 之间相距() A.a(km) B. a(km) C. a(km) D.2a(km) 考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 由两个方位角的度数得出∠ACB=90°,又知 AC=BC=5,△ ACB 为等腰直角三角形, 有勾股定理可得边 AB 的长度. 解答: 解:由图知:∠ACB=90°,在 Rt△ ACB 中, AB =AC +BC =a +a =2a ∴AB= a 故答案为 C.
2 2 2 2 2 2

点评: 本题考查解三角形的实际应用,关键是如何把实际问题转化为数学问题,然后套用 题目提供的对应关系解决问题,画出简图,一目了然.

4. (3 分)已知平面向量 =(1,2) , =(2,﹣m)且 ⊥ ,则 3 +2 =() A.(﹣4,﹣10) B.(﹣4,7) C.(﹣3,﹣6) D.(7,4)

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用斜率的所了解清楚 m,然后通过坐标运算求解即可. 解答: 解:平面向量 =(1,2) , =(2,﹣m)且 ⊥ , 所以 2﹣2m=0,解得 m=1,

3 +2 =3(1,2)+2(2,﹣1)=(7,4) . 故选:D. 点评: 本题口才训练的数量积的运算,向量的坐标运算,基本知识的考查.

5. (3 分)设定点 F1(0,﹣3) 、F2(0,3) ,动点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+ (a>0) ,则点 P 的轨迹是() A.椭圆 考点: 轨迹方程. 专题: 计算题. 分析: 由基本不等式可得 a+ ≥6,当 a+ =6 时,点 P 满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|,P 的轨迹是线 段 F1F2;a+ >6 时,点 P 满足|PF1|+|PF2|为常数,且大于线段|F1F2|的长,P 的轨迹是椭圆. 解答: 解:∵a>0,∴a+ ≥2 =6.

B.线段

C.不存在

D.椭圆或线段

当 a+ =6=|F1F2|时,由点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+ =|F1F2|得,点 P 的轨迹是线段 F1F2. 当 a+ >6=|F1F2|时,由点 P 满足条件|PF1|+|PF2|=a+ >|F1F2|得,点 P 的轨迹是以 F1、F2 为 焦点的椭圆. 综上,点 P 的轨迹是线段 F1F2 或椭圆, 故选 D. 点评: 本题考查椭圆的定义, 基本不等式的应用, 体现了分类讨论的数学思想, 确定 a+ 的 范围是解题的关键. 6. (3 分)下列结论,不正确的是() A.若 p 是假命题,q 是真命题,则命题 p∨q 为真命题 B. 若 p∧q 是真命题,则命题 p 和 q 均为真命题 C. 命题“若 sinx=siny,则 x=y”的逆命题为假命题 2 2 2 2 D.命题“?x,y∈R,x +y ≥0”的否定是“?x0,y0∈R,x0 +y0 <0” 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据复合命题的真值表判断 A、B;由逆命题和正弦函数的性质判断 C;由全称命题 的否定判断 D. 解答: 解:对于 A,因为若 p 是假命题,q 是真命题,所以命题 p∨q 为真命题,则 A 不符 合题意; 对于 B,因为若 p∧q 是真命题,则命题 p 和 q 均为真命题,则 B 不符合题意; 对于 C,已知命题的逆命题:若 x=y,则 sinx=siny,是真命题,显然 C 符合题意; 2 2 对于 D,由全称命题的否定得:“?x0,y0∈R,x0 +y0 <0”正确,则 D 不符合题意;

故选:C. 点评: 本题考查复合命题的真假,复合命题的真假与构成的简单命题真假相关,有真值表 一定要记住; 特称命题的否定是全称命题, 全称命题的否定是特称命题, 两种命题的一般形式, 都是记忆点. 7. (3 分) 某学校组织学生参加英语测试, 成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组依次为[20, 40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100],若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是()

A.45

B.50

C.55

D.60

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 由已知中的频率分布直方图,我们可以求出成绩低于 60 分的频率,结合已知中的低 于 60 分的人数是 15 人,结合频数=频率×总体容量,即可得到总体容量. 解答: 解:∵成绩低于 60 分有第一、二组数据, 在频率分布直方图中,对应矩形的高分别为 0.005,0.01, 每组数据的组距为 20 则成绩低于 60 分的频率 P=(0.005+0.010)×20=0.3, 又∵低于 60 分的人数是 15 人, 则该班的学生人数是 =50.

故选:B. 点评: 本题考查的知识点是频率分布直方图,结合已知中的频率分布直方图,结合频率=矩 形的高×组距,求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键. 8. (3 分)在等差数列{an}中,a1>0,a10?a11<0,若此数列的前 10 项和 S10=36,前 18 项和 S18=12,则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是() A.24 B.48 C.60 D.84 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据已知条件,求出其正负转折项,然后再求数列{|an|}的前 18 项和. 解答: 解:∵a1>0,a10?a11<0, ∴d<0,a10>0,a11<0, ∴T18=a1+…+a10﹣a11﹣…﹣a18=S10﹣(S18﹣S10)=60. 故选 C. 点评: 求数列{|an|}的前 n 项和,关键是求出其正负转折项,然后转化成等差数列求和.

9. (3 分)已知椭圆 A. B.

与双曲线 C. 4

有相同的焦点,则 a 的值为() D.10

考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 计算题. 分析: 求出双曲线的两焦点坐标,即为椭圆的焦点坐标,即可得到 c 的值,然后根据椭圆的 定义得到 a,最后利用 a,b,c 的关系即可求出 a 的值. 解答: 解:双曲线方程化为 , (1 分)

由此得 a=2,b= , (3 分) c= , 焦点为(﹣ ,0) , ( ,0) . (7 分) 2 2 2 椭圆中,则 a =b +c =9+7=16. (11 分) 则 a 的值为 4. 故选 C. 点评: 此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征,会求椭圆的标准方程,是一道综合题.本 题还考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,利用条件求出 a,b,c 值,是解 题的关键.

10. (3 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且

BF⊥x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若 A. B.

=2

,则椭圆的离心率是() C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先求出点 B 的坐标,设出点 P 的坐标,利用 出离心率. 解答: 解:如图,由于 BF⊥x 轴,故 xB=﹣c,yB = ∵ =2 , ﹣t) . ,设 P(0,t) , =2 ,得到 a 与 c 的关系,从而求

∴(﹣a,t)=2(﹣c, ∴a=2c, ∴e= = ,

故选 D.

点评: 本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用,体现了数形结合的 数学思想. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上). 11. (5 分)在等比数列{an}中,若公比 q=4,前 3 项的和等于 21,则该数列的通项公式 an=4 ﹣1 . 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的通项公式,把 q 代入前 3 项的和,进而求得 a1 则数列的通项公式可 得. 解答: 解:由题意知 a1+4a1+16a1=21, 解得 a1=1, n﹣1 所以通项 an=4 . n﹣1 故答案为:4 . 点评: 本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用,属基础题.
n

12. (5 分)若方程 3) .

+

=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则实数 k 的取值范围是(﹣3,

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由于方程 围. 解答: 解:∵方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线 + =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线故 k﹣3<0 且 k+3>0 求出 k 的范





∴﹣3<k<3. 故答案为: (﹣3,3) .

点评: 此题考查了双曲线焦点的归属问题.解决此类问题只需理解 y 的系数为正,x 的系 数为负则焦点就在 Y 轴上反之就在 X 轴上. 13. (5 分)已知 x>0,y>0,且 2x+5y=20,则 lgx+lgy 的最大值为 1. 考点: 基本不等式;对数的运算性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用基本不等式先求出 xy 的范围, 再根据对数的运算性质进行化简即可求得最大值, 注意等号成立的条件. 解答: 解:∵知 x>0,y>0,且 2x+5y=20, ∴2x+5y=20≥2 , 即 xy≤10. 当且仅当 2x=5y,即 x=5,y=2 时,取等号. ∴lgx+lgy=lgxy≤lg10=1, 即最大值为 1. 故答案为:1. 点评: 本题主要考查了函数的最值及其几何意义,最值问题是函数常考的知识点,属于基 础题.

2

2

14. (5 分)如图,把椭圆

的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆

的上半部分于 P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7 七个点,F 是椭圆的一个焦点,则 |P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=35.

考点: 椭圆的定义. 专题: 计算题. 分析: 根据椭圆的对称性知,|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F2|=2a,同理其余两对的和也是 2a,又 |P4F|=a,由此可得答案. 解答: 解:如图,把椭圆 的长轴 AB 分成 8 等份,

过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7 七个点,F 是椭圆 的一个焦点, 则根据椭圆的对称性知,|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F2|=2a, 同理其余两对的和也是 2a, 又|P4F|=a, ∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F| =7a=35, 故答案为 35.

点评: 本题考查了椭圆的定义,解题过程中结合图象,数形结合,会使得问题简单化,数 形结合是数学中的重要思想. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 2 15. (12 分)已知数列{an}中,a1=2,点(1,0)在函数 f(x)=2anx ﹣an+1x 的图象上. (1)求数列{an}的通项; (2)设 bn=log2a2n﹣1,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: (1)由于点(1,0)在函数 f(x)=2anx ﹣an+1x 的图象上.可得 an+1=2an.利用等 比数列的通项公式即可得出. (2)bn=log2a2n﹣1= =2n﹣1.利用等差数列的前 n 项和公式可得数列{bn}的前 n

项和 Tn. 2 解答: 解: (1)∵点(1,0)在函数 f(x)=2anx ﹣an+1x 的图象上. ∴2an﹣an+1=0,即 an+1=2an. 又 a1=2, ∴数列{an}是等比数列, n ∴an=2 . (2)bn=log2a2n﹣1= =2n﹣1. =n .
2

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=1+3+5+…+(2n﹣1)=

点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和公式、对数的运算性质,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题. 16. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 是角 A,B,C 所对的边,且满足 a +c ﹣b =ac. (1) 求角 B 的大小; (2) 设 ,求 的最小值.
2 2 2

考点: 余弦定理的应用;三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用题设等式和余弦定理求得 cosB 的值,进而求得 B. (2)利用向量的数量积的运算,求得 的表达式,进而利用二倍角公式整理,利用 A 的范

围确定 sinA 的范围,利用二次函数的性质求得其最小值. 解答: 解: (1)∵a +c ﹣b =ac,∴ 又∵0<B<π,∴ (2) .
2 2 2



= ∵ ,



∴0<sinA≤1. ∴当 sinA=1 时,取得最小值为﹣5. 点评: 本题主要考查了余弦定理的运用,三角函数的最值.注重了基本的知识运用和基本 的运算能力. 17. (14 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AA1=1,AD=2,E 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证:直线 BB1∥平面 D1DE; (Ⅱ)求证:平面 A1AE⊥平面 D1DE; (Ⅲ)求三棱锥 A﹣A1DE 的体积.

考点: 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;证明题. 分析: (I)根据长方体的几何特征,我们易得到 BB1∥DD1,结合线面平行的判定定理, 即可得到直线 BB1∥平面 D1DE; (Ⅱ)由已知中长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AA1=1,AD=2,E 是 BC 的中点,利用勾 股定理,我们易证明出 AE⊥DE,及 DD1⊥AE,根据线面垂直的判定定理,可得 AE⊥平面 D1DE,进而由面面垂直的判定定理得到平面 A1AE⊥平面 D1DE; (Ⅲ)三棱锥 A﹣A1DE 可看作由 AA1 为高,以三角形 ADE 为底面的棱锥,分别求出棱锥的 高和底面面积,代入棱锥的体积公式即可得到答案. 解答: 解: (Ⅰ)证明:在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,BB1∥DD1, 又∵BB1?平面 D1DE,DD1?平面 D1DE ∴直线 BB1∥平面 D1DE(4 分) (Ⅱ)证明:在长方形 ABCD 中,∵AB=AA1=1,AD=2, ∴ , 2 2 2 ∴AE +DE =4=AD ,故 AE⊥DE, (6 分) ∵在长方形 ABCD 中有 DD1⊥平面 ABCD,AE?平面 ABCD, ∴DD1⊥AE, (7 分) 又∵DD1∩DE=D, ∴直线 AE⊥平面 D1DE, (8 分) 而 AE?平面 A1AE, 所以平面 A1AE⊥平面 D1DE. (10 分)

(Ⅲ)

=

=

. (14 分) .

点评: 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,棱锥的体积,直线与平面平行的判定, 其中熟练掌握空间直线与平面平行、 垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理及长方体的 几何特征是解答本题的关键.

18. (14 分)设 F1,F2 分别为椭 C: 点 到两点的距离之和等于 4.

(a>b>0)的左、右两个焦点,椭圆 C 上的

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (Ⅱ)设点 P 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点 求|PQ|的最大值.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)依题意可求得 a=2,b =3,从而可求得椭圆 C 的方程和焦点坐标; (Ⅱ)利用椭圆的参数方程,利用配方法与正弦函数的性质即可求得|PQ|的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆 C 上的点 A(1, )到椭圆 的距离之和等于 4, ∴2a=4,a=2. + =1(a>b>0)两焦点 F1,F2
2


2

+

=1,

∴b =3, ∴椭圆的方程为: (Ⅱ)设 P(2cosθ, ∵Q(0, ) , ∴|PQ| =4cos θ+ =4﹣4sin θ+3sin θ﹣ =﹣sin θ﹣
2 2 2 2 2

+

=1,其焦点坐标为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ; sinθ) ,

sinθ+

sinθ+

=﹣

+5≤5.

∴|PQ|的最大值为 . 点评: 本题考查椭圆的标准方程与性质,考查椭圆的参数方程及两点间的距离,考查配方 法与最值问题,属于难题.
x

19. (14 分)已知点(1, )是函数 f(x)=a (a>0) ,且 a≠1)的图象上一点,等比数列{an} 的前 n 项和为( f n) ﹣c. 数列{bn( } bn>0) 的首项为 c, 且前 n 项和 Sn 满足 Sn﹣Sn﹣1= (n≥2) . (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若数列{ }前 n 项和为 Tn,问 Tn> 的最小正整数 n 是多少? +

考点: 数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 综合题. 分析: (1)先根据点(1, )在 f(x)=a 上求出 a 的值,从而确定函数 f(x)的解析式, 再由等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)﹣c 求出数列{an}的公比和首项,得到数列{an}的通项 公式;由数列{bn}的前 n 项和 Sn 满足 Sn﹣Sn﹣1= 项为 1 公差为 1 的等差数列, 进而得到数列{ 的通项公式. (2)先表示出 Tn 再利用裂项法求得的表达式 Tn,根据 Tn> 解答: 解: (1)由已知 f(1)=a= ,∴f(x)= ﹣c= c, 求得 n. 可得到数列{ }构成一个首
x

}的通项公式, 再由 bn=Sn﹣Sn﹣1 可确定{bn}

,等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)

∴a1=f(1)= ﹣c,a2=[f(2)﹣c]﹣[f(1)﹣c]=﹣ ,a3=[f(3)﹣c]﹣[f(2)﹣c]=﹣

数列{an}是等比数列,应有 ∴首项 a1=f(1)= ﹣c=

=q,解得 c=1,q= .

∴等比数列{an}的通项公式为 (2)∵Sn﹣Sn﹣1= 又 bn>0, ∴数列{ >0,∴ =1;

= =

. (n≥2)

}构成一个首项为 1,公差为 1 的等差数列,



=1+(n﹣1)×1=n
2

∴Sn=n 当 n=1 时,b1=S1=1, 2 2 当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1=n ﹣(n﹣1) =2n﹣1 又 n=1 时也适合上式, ∴{bn}的通项公式 bn=2n﹣1. (2) ∴ = 由 故满足 = ,得 , , = =

的最小正整数为 112.

点评: 本题考查了求数列通项中的两种题型:构造等差(等比)数列法,利用 an,sn 的关 系求解.以及裂项法数列求和.与函数、不等式相联系,增加了综合性.要求具有综合分析问 题,解决问题的能力. 20. (14 分)已知 的轨迹为 E. (1)求 E 的方程; (2)曲线 E 的一条切线为 l,过 F1,F2 作 l 的垂线,垂足分别为 M,N,求|F1M|?|F2N|的值; (3)曲线 E 的一条切线为 l,与 x 轴分别交于 A,B 两点,求|AB|的最小值,并求此时切线的 斜率. 考点: 椭圆的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意可知 P 点轨迹是以 F1,F2 为焦点的椭圆, ,由此能求 出 E 的方程. (2)当切线斜率不存在时,切线为 x=±2,此时|F1M|?|F2N|=1.当切线斜率存在时,设切线方 程为 y=kx+b,则由题意可知, |F1M|?|F2N|=1. (3)由(2)知, , ,所以 ,动点 P 满足|PF1|+|PF2|=4,记动点 P

由此可求出 AB 的最小值为 3,此时斜率为 解答: 解: (1)∵



又∵ ∴P 点轨迹是以 F1,F2 为焦点的椭圆, 故椭圆方程为 (2)①当切线斜率不存在时,切线为 x=±2,此时|F1M|?|F2N|=1. ②当切线斜率存在时,设切线方程为 y=kx+b,
2 2 2



(1+4k )x +8kbx+4b ﹣4=0

2

2

2

△ =(8kb) ﹣4(1+4k ) (4b ﹣4)=0, ∴b =4k +1,
2 2





, 综上所述,|F1M|?|F2N|=1. (3)由(2)知, ,

当且仅当

,即

时取等号

故 AB 的最小值为 3,此时斜率为 点评: 本题综合考查直线和椭圆的位置关系,解题时要注意均值不等式的合理运用.

2


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