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无穷递缩等比数列各项和


几个基本数列的极限
1 lim ? 0 n ?? n
q ? 1时, lim q ? 0
n n ??

c为常数 , lim c ? c
n ??

引例:把无限循环小数 0.333· · · · · 化为一个分数.

定义:我们把|q|<1的无穷等比数列前 n的和Sn,当n→∞时的极限叫做无穷 等比数列各项和.
a1 a1 n S ? lim Sn ? lim ? (1 ? q ) ? n ?? n ?? 1 ? q 1? q

a1 S? , ( q ? 1) 1? q

注意: (1)当|q|<1无穷等比数列称为无穷递缩等 比数列,它的前n项和的极限才存在; 当|q|≥1无穷等比数列它的前n项和的 极限是不存在的。 (2)S是表示无穷等比数列的所有项的和, 这种无限个项的和与有限个项的和 从意义上来说是把不一样的,S是前n项 Sn 和Sn当n→∞的极限,即S= lim n ??

?an ?是首项为a1,公比为q? q ? 1?的等比数列 求该数列的?1?前n项的和 ?2?所有项的和?各项的和? ?3?lim S n
n ??

1 1 1 1 例1.求数列 , , , ? n ?的所有项的和 . 2 4 8 2
1 1 解: ? a1 ? , q ? 2 2 1? 1 ? ?1 ? n ? 1 2? 2 ? ? sn ? ? 1? n 1 2 1? 2

1 ? ? ? S ? lim sn ? lim ?1 ? n ? ? 1 n ?? n ?? 2 ? ?

例2.求无穷等比数列 2 ? 1 ,2 ?1 , ?的各项的和 .

解: ? a1 ? 2 ? 1, a2 ? 2 ?1
2 ?1 ?q ? ? 3? 2 2 2 ?1

2 ?1 ?S ? 1? 3 ? 2 2

?

?

3? 2 2 ? 2

使用公式

a1 S? 1?q

要注意三个问题:

(1)所给数列是等比数列; (2)公比的绝对值小于1; (3)前n项和与所有项和的关系: a1 S ? lim Sn ? n?? 1? q

例3.把下列各数化为分数 ? ? ?1?0.38 ? ? ?2?1.243 ?3?0.7 ? 0.07 ? 0.007 ? ? ? ? ? ?4?0.7 ? 0.07 ? 0.007 ? ?

?8 ? ? 0.38 ? 0.0038? 0.000038 解: 0.3 ? 0.00000038 ??
0.38 38 ? ? 1 ? 0.01 99

? 43 ? ? 1 ? 0.243? 0.000243 1.2 ? 0.000000243 ??

7 0.7 ? 0.07 ? 0.007 ? ? ? 9 ? ? 0.07 ? ? 0.007 ? ?? 0.7 7
10

243 46 ? ? 1? 999 37

70 7 7 7 9 ? ? ? ? ?? ? 1 9 90 900 81 1?

例4.设无穷等比数列所有奇数项 之和为15,所有偶数项之和为3,求首项a1. 例5.已知无穷等比数列的首项 a1等于后面的各项之和k倍,求 k的取值范围.

例6.设首项为 1,公比为q?q ? 0?的等比数列的前 n项的和 S n ?1 为S n,设Tn ? ,n ? N , 求 lim Tn . Sn n ??

?1? q ? 1 解:
?2?

lim
n ??

Tn ? lim
n ??

n ?1 ?1 n

1? qn 1 ? q n?1 q ?1 Sn ? , S n?1 ? 1? q 1? q ? 0 ? q ? 1? 1 ? q n ?1 ?1 Tn ? lim lim n ? ? n ?? n ?? 1 ? q ?q ? 1? ?q

?1 ?lim Tn ? ? n?? ?q

?0 ? q ? 1? ?q ? 1?

练习
1、等比数列的首项a1=-1,前项和为Sn,若 S10 = 31 ,则 lim S 等于 。 n
S5
32
n ??

2、等比数列 {an } 中,它的各项和S=1/4,求 首项a1的取值范围。

与平面几何(或其他知识)有关 的几何量的求和问题:
问题可化归为无穷等比数列各项的和, 其一般方法是: (1)构造这一系列的几何量组成的数列a1, a2,a3,……,an,……; (2)先求出a1,并求出an+1与an之间的递推 关系,进而证明数列{an}是等比数列,且 0 ? q ?1 (3)利用 S ?
a1

1? q

求解。

例7、(课本P46例2)

例8、(课本P48例4 )

课堂练习:1、 P47 1、2、3 2、P481、2、3

例7.在直角坐标系中,一个粒子从原点 出发,沿x轴向右前进1个单位到点P1, 接着向上前进1/2单位到点P2,再向 左前进个1/4单位到点P3,又向下前 进1/8单位到点P4 ,以后的前进方向 按向右,向上,向左,向下的顺序, 每次前进的距离为前一次前进的距离 的一半。这样无限地继续下去,求粒 子到达的极限位置的坐标.

例8.圆01是边长为a的正三角形 ABC的内切圆, 圆O2与圆O1外切, 且与AB、AC相切,圆O3与圆O2 外切,且与AB、AC相切,如此 无限继续下去,求所有圆面积 之和S。


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